Zwaartekrachtversnelling op de maan en Mars

Laten ” s zien hoe de versnelling als gevolg van de zwaartekracht wordt verkregen voor elke planeet, en dan kunnen we dit toepassen op de aarde of de maan of wat we maar willen.

De zwaartekrachtwet van Newton vertelt ons dat de grootte van de zwaartekracht tussen objecten met massa $ m_1 $ en $ m_2 $ wordt gegeven door \ begin {align} F = G \ frac {m_1m_2} {r ^ 2}, \ end {align} waarbij $ r $ de afstand is tussen hun centra van massa. Stel nu dat object 1 een planeet is met massa $ m_1 = M $ en straal $ R $, en object 2 is een veel kleiner object met massa $ m_2 = m $ gelegen op een hoogte $ h $ boven het oppervlak van de planeet dat is klein in vergelijking met de straal van de planeet. De grootte van de zwaartekracht tussen de twee objecten zal daarentegen \ begin {align} F = G \ frac {Mm} {(R + h) ^ 2} \ end {align} zijn, zegt de Tweede Wet van Newton ons dat de versnelling van object 2 zal voldoen \ begin {align} F = ma \ end {align} Het combineren van deze feiten, namelijk het gelijk stellen van de rechterkant, zorgt ervoor dat de massa $ m $ uit de vergelijkingen valt, en de versnelling door de zwaartekracht van het massa-object wordt $ m $ \ begin {align} a = \ frac {GM} {(R + h) ^ 2} = \ frac {GM} {R ^ 2} \ left (1-2 \ frac {h} {R} + \ cdots \ right) \ end {align} waarbij ik in de tweede gelijkheid een Taylor-uitbreiding van het antwoord heb uitgevoerd in termen van het kleine getal $ h / R $. Merk op dat tot nul orde, namelijk de dominante bijdrage wanneer object 2 zich dicht bij het oppervlak van de planeet bevindt, is een constante die onafhankelijk is van de hoogte en alleen afhangt van de massa en straal van de planeet; \ begin {align} a_0 = \ frac {GM } {R ^ 2} \ end {align} Dit is precies wat we gewoonlijk de versnelling als gevolg van de zwaartekracht nabij de oppervlak van een planeet. Als je de getallen invoert voor Earth, krijg je \ begin {align} a_0 ^ \ mathrm {Earth} \ circa 9,8 \, \ mathrm {m} / \ mathrm {s} ^ 2 \ end {align} en ik ” Ik laat het aan jou over om het aantal andere planeten te bepalen. De belangrijke eigenschap van deze versnelling als gevolg van de zwaartekracht is dat het lineair schaalt met de massa $ M $ van de planeet, en het schaalt als de negatieve tweede macht van de straal van de planeet.

Opmerkingen

• Ik denk dat het ook nuttig is om de effecten van de middelpuntvliedende kracht te noemen, vanwege de hoeksnelheid van een hemellichaam. $ $ a_c = \ frac {v ^ 2} {R} $$ Een ander effect hiervan is dat het lichaam zelf uitpuilt rond de evenaar, waardoor de oppervlaktestraal nabij de evenaar groter wordt (lager nabij de polen).

De zwaartekrachtversnellingsconstante die voor de aarde is gedefinieerd als $ g $, hangt af van de massa van de aarde en de afstand ervan. De formule is $ g (r) = \ frac {GM (r)} {r ^ 2} $. (Zie Newtons L aw van Universal Gravitation voor meer details). Dus $ g $ is zelfs op aarde geen constante, maar hangt af van je hoogte, zij het nogal langzaam. Als je op de maan bent, is de massa van de maan $ (~ 10 ^ {22} kg) $ minder dan die van de aarde $ (~ 10 ^ {24} kg) $ en dus de zwaartekracht die je zou voelen, $ mg $ zou veel lager zijn omdat de $ g $ kleiner is, ongeveer $ 1,62 m / s ^ 2 $.

Bovendien zijn de eenheden $ g $ $ m / s ^ 2 $ en niet $ N / s ^ 2 $

Een gemakkelijke manier om hierover na te denken, is te bedenken dat de versnelling van de zwaartekracht, aan het oppervlak van bijvoorbeeld een planetair lichaam, in wezen afhangt van twee grootheden: de massa van het lichaam en de straal .

De oppervlakteversnelling neemt toe met de massa van het lichaam (als u de massa verdubbelt, verdubbelt u de versnelling) en neemt af met het kwadraat van de straal (als u de straal verdubbelt, wordt de versnelling in vieren gedeeld).

Dus, bijvoorbeeld, de straal van de maan is ongeveer 0,273 keer de straal van de aarde, maar de massa van de maan is ongeveer 0,0123 de massa van de aarde. Dus we verwachten dat de versnelling aan het oppervlak van de maan is

$ g_m = g_e (.0123) \ dfrac {1} {(. 273) ^ 2} \ approx \ dfrac {g_e} {6} $

en, ja hoor, de zwaartekracht van de maan is ongeveer $ 1,62 \ frac {m} {s ^ 2} $

Dus als je de massa kent en straal van bijvoorbeeld Mars, je kunt de zwaartekracht van Mars als volgt bepalen:

$ g_M = g_e \ dfrac {M_M} {M_e} \ cdot \ dfrac {R ^ 2_e} {R ^ 2_M} $