Zgodnie z modelem Sommerfelda elektrony na poziomie Fermiego mają relację
$$ \ epsilon_F = \ frac {\ hbar ^ 2k_F ^ 2} {2m_e} = \ frac {1} {2} m_ev_F ^ 2 $$
ie $ \ hbar k_F = m_ev_F $ z $ k_F = (3 \ pi ^ 2n) ^ {1/3} $
Ale jak się okazuje, obliczona energia Fermiego jest wyższa niż wartość eksperymentalna dla wielu metale. Teoria pasm energii tłumaczyła to, zastępując $ m_e $ przez $ [(m ^ *) ^ {- 1}] = \ nabla_ \ vec {k} \ nabla_ \ vec {k} \ epsilon / \ hbar ^ 2 $. Teraz, jeśli chcę obliczyć prędkość elektronów na poziomie Fermiego, czy muszę zamienić $ m_e $ na $ m ^ * $? Wydaje się, że tak, ale niektóre (niezbyt wiarygodne) źródło sugerowało inaczej. Czy istnieje jakaś podstawowa zależność, która zlikwidowała i powoduje, że elektrony na poziomie Fermiego zachowują się jak nagi elektron?
Dzięki!
Odpowiedź
Zwróć uwagę, że model Sommerfelda po prostu uogólnia Drude „teorię metali biorąc pod uwagę fakt, że elektrony są fermionami, więc wykluczenie Pauliego staje się bardzo ważnym czynnikiem. W modelu Sommerfelda nie ma masy efektywnej do omówienia, ponieważ zasadniczo ignoruje się atomy (jądra) w układzie i rozważa swobodne poruszanie się fermiony . Więc twoja prędkość Fermiego jest po prostu podana przez: $$ v_F = \ frac {\ hbar k_F} {m_e}. $$
Przy bardziej zaawansowanych modelach, takich jak ciasny łańcuch wiązania, zaczyna się biorąc pod uwagę okresowe środowisko elektronu, a mianowicie okresowy potencjał kulombowski $ V (\ mathbf {r}) = V (\ mathbf {r} + \ mathbf {R}) $ (wzięty teraz w $ \ mathcal {H} $ systemu), a przy pewnych wyedukowanych przybliżeniach do rozwiązania równania Schrödingera stosowane jest podejście LCAO (liniowa kombinacja orbitali atomowych). Jak już wiesz, wynikiem tego jest słynna struktura pasmowa elektronów w ciałach stałych, w której pojawia się energetyczna przerwa między pasmami walencyjnymi i przewodzącymi (półprzewodniki, izolatory). Ilekroć dół pasma (min. Pasma warunkowego lub maks. Pasma walencyjnego) można przybliżyć parabolą, wówczas dyspersję można zapisać jako część stałą plus człon kwadratowy: $$ E (k) \ propto cte + \ frac {\ hbar ^ 2 k ^ 2} {2m ^ *} $$ przy takim przybliżeniu elektron w ciasno wiążącym łańcuchu atomów można opisać jako swobodnie poruszający się, jeśli zostanie użyta odpowiednia masa efektywna $ m ^ * $. Zwróć uwagę, że termin $ cte $ to w rzeczywistości $ E_c $ lub $ E_v $ (tylko energie pasm opisujące lukę).
Podsumowując, jeśli mówisz o swobodnym elektronie w modelu struktury pasmowej, to masa efektywna . Dla większej intuicji, jeśli widziałeś niektóre z wyprowadzeń, być może zauważyłeś element macierzy przeskoków $ t $, który wyskakuje podczas rozwiązywania wartości własnych energii, w rzeczywistości jest to przeskok siła (prawdopodobieństwo przeskoczenia elektronu między atomami w łańcuchu, w modelu ciasnego wiązania), która określa, jak różni się efektywna masa $ m ^ * $ elektronu od jego masy spoczynkowej $ m_e. $ W większości przypadków ” są po prostu odwrotnie proporcjonalne $ m ^ * \ propto 1 / t, $ im większy $ t $, tym lżejsze czują się elektrony.