Określ $ X ( \ omega) $.
- $ g (t) $: Rozumiem, jak utworzyć prostokąt z [-1,1] amplitudy 1/2.
- $ x (t) = g (t) * g (t) $
- $ X (\ omega) = G (\ omega) G (\ omega) $
rozwiązanie, które widzę, mówi, że $ G (\ omega) = \ frac {2 \ sin (\ omega)} {2 \ omega} $
Nie rozumiem, skąd pochodzi $ \ sin $ od i że wartości 2s są skorelowane z. Widziałem dowody, ale czy ktoś może podać proste wyjaśnienie, jakie są zmienne. Dzięki
Odpowiedź
Trójkątną funkcję można wygenerować przez złożenie dwóch funkcji pudełkowych, jak pokazano poniżej.
Stąd pochodzi Twój Krok 2.
Transformacja Fouriera splotu $ g (t) \ ast g (t) $ można obliczyć mnożąc transformatę Fouriera z $ g (t) $ przez samą siebie, tj. $ G (\ omega) G (\ omega) $.
Przypomnij sobie, że transformata Fouriera box to funkcja Sinc ($ \ textrm {sinc} (x) = \ frac {\ textrm {sin} (x)} {x} $).
Stąd $ G (w) $ jest jakąś przeskalowaną wersją funkcji sinc, a transformata Fouriera funkcji trójkątnej to $ G (w) ^ 2 $.
Odpowiedź
OK, więc rozumiesz, że sygnał $ x (t) $ jest dany przez splot dwóch funkcji prostokątnych rozciągający się od -1 $ do 1 $ o wysokości 1/2 $. Jedyne, co pozostaje do zrobienia, to wyznaczenie transformaty Fouriera tej prostokątnej funkcji. Możesz to zrobić bardzo łatwo, stosując definicję transformaty Fouriera:
$$ G (\ omega) = \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} g (t) e ^ {- j \ omega t} dt = \ frac12 \ int _ {- 1} ^ {1} e ^ {- j \ omega t} dt $$
Jestem pewien, że możesz samodzielnie rozwiązać tę całkę. funkcja sinus wchodzi do gry, ponieważ
$$ \ sin \ omega = \ frac {e ^ {j \ omega} -e ^ {- j \ omega}} {2j} $$
Na koniec transformata Fouriera z $ x (t) $ jest dana wzorem
$$ X (\ omega) = G ^ 2 (\ omega) $$
Odpowiedź
Podstawowymi funkcjami w transformacie Fouriera są sinus i cosinus. Nie powinieneś być zaskoczony, że funkcja Sin pojawiła się w twojej analizie złożonego sygnału.