De acordo com o modelo de Sommerfeld, os elétrons no nível de Fermi têm a relação

$$ \ epsilon_F = \ frac {\ hbar ^ 2k_F ^ 2} {2m_e} = \ frac {1} {2} m_ev_F ^ 2 $$

ie $ \ hbar k_F = m_ev_F $ com $ k_F = (3 \ pi ^ 2n) ^ {1/3} $

Mas, ao que parece, a energia de Fermi calculada é maior do que o valor experimental para muitos metais. A teoria da banda de energia explicou isso substituindo $ m_e $ por $ [(m ^ *) ^ {- 1}] = \ nabla_ \ vec {k} \ nabla_ \ vec {k} \ epsilon / \ hbar ^ 2 $. Agora, se eu quiser calcular a velocidade dos elétrons no nível de Fermi, devo substituir $ m_e $ por $ m ^ * $? Parece que sim, mas alguma fonte (não tão confiável) sugeriu o contrário. Existe alguma relação subjacente que se cancelou e fez com que os elétrons no nível de Fermi agissem como um elétron nu?

Obrigado!

Resposta

Observe que o modelo de Sommerfeld simplesmente generaliza a teoria dos metais de Drude levando em consideração o fato de que os elétrons são férmions, a exclusão de Pauli se torna um fator muito importante. No modelo de Sommerfeld, não há massa efetiva para falar, já que basicamente se ignora os átomos (núcleos) no sistema e considera o movimento livre fermions . Então, sua velocidade de Fermi é apenas dada por: $$ v_F = \ frac {\ hbar k_F} {m_e}. $$

Com modelos mais avançados, como a cadeia de ligação estreita, começa-se a tomar levar em consideração o ambiente periódico do elétron, ou seja, o potencial Coulomb periódico $ V (\ mathbf {r}) = V (\ mathbf {r} + \ mathbf {R}) $ (tomado agora no $ \ mathcal {H} $ do sistema) e com certas aproximações educadas, uma abordagem LCAO (combinação linear de orbitais atômicos) é usada para resolver a equação de Schrödinger. Como você já parece saber, esse resultado é a famosa estrutura de bandas de elétrons em sólidos, onde surge um gap energético entre as bandas de valência e de condução (semicondutores, isoladores). Sempre que a parte inferior da banda (mín. De banda cond. Ou máx. De banda de valência) pode ser aproximada por uma parábola, a dispersão pode ser escrita como uma parte constante mais um termo quadrático: $$ E (k) \ propto cte + \ frac {\ hbar ^ 2 k ^ 2} {2m ^ *} $$ com esta aproximação, o elétron na estreita cadeia de ligação dos átomos, pode ser descrito como se movendo livremente se a massa efetiva associada $ m ^ * $ for usada. Observe que o termo $ cte $ é de fato $ E_c $ ou $ E_v $ (apenas as energias da banda que descrevem a lacuna).

Para resumir, se você está falando sobre um elétron livre no modelo de estrutura de banda, então a massa efetiva deve ser usado. Para mais intuição, se você viu algumas das derivações, deve ter notado o elemento de matriz de salto $ t $ que aparece ao resolver os autovalores de energia, é na verdade o salto força (probabilidade de o elétron saltar entre os átomos da cadeia, no modelo de ligação rígida) que define quão diferente é a massa efetiva $ m ^ * $ do elétron de sua massa de repouso $ m_e. $ Na maioria dos casos, eles ” re simplesmente inversamente proporcional $ m ^ * \ propto 1 / t, $ quanto maior $ t $, mais leves os elétrons parecem.

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