Determine $ X ( \ omega) $.
- $ g (t) $: Eu entendo como criar uma caixa de [-1,1] de amplitude 1/2.
- $ x (t) = g (t) * g (t) $
- $ X (\ omega) = G (\ omega) G (\ omega) $
a solução que estou vendo diz que $ G (\ omega) = \ frac {2 \ sin (\ omega)} {2 \ omega} $
Não entendo de onde $ \ sin $ veio de e que os valores dos 2s se correlacionam com. Eu vi provas, mas alguém pode fornecer uma explicação simples do que são as variáveis. Obrigado
Resposta
Uma função triangular pode ser gerada convolvendo duas funções de caixa, conforme mostrado abaixo.
É daí que vem a sua Etapa 2.
A transformada de Fourier de uma convolução $ g (t) \ ast g (t) $ pode ser calculado multiplicando-se a transformada de Fourier de $ g (t) $, ou seja, $ G (\ omega) G (\ omega) $.
Lembre-se de que a transformada de Fourier de um a função box é uma função Sinc ($ \ textrm {sinc} (x) = \ frac {\ textrm {sin} (x)} {x} $).
Portanto, $ G (w) $ é uma versão em escala de uma função sinc, e a transformada de Fourier da função triangular é $ G (w) ^ 2 $.
Resposta
Ok, então você entende que o sinal $ x (t) $ é dado pela convolução de duas funções retangulares estendendo-se de $ -1 $ a $ 1 $ com uma altura de $ 1/2 $. A única coisa que resta fazer é determinar a transformada de Fourier dessa função retangular. Você pode fazer isso facilmente aplicando a definição da transformada de Fourier:
$$ G (\ omega) = \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} g (t) e ^ {- j \ omega t} dt = \ frac12 \ int _ {- 1} ^ {1} e ^ {- j \ omega t} dt $$
Tenho certeza de que você pode resolver essa integral sozinho. a função seno entra em ação porque
$$ \ sin \ omega = \ frac {e ^ {j \ omega} -e ^ {- j \ omega}} {2j} $$
Finalmente, a transformada de Fourier de $ x (t) $ é dada por
$$ X (\ omega) = G ^ 2 (\ omega) $$
Resposta
As funções básicas na Transformada de Fourier são Seno e Cosseno. Você não deveria estar realmente surpreso que a função Sin apareceu em sua análise de um sinal complexo.