Accelerația gravitațională pe Lună și pe Marte

Let ” Vedem cum se obține accelerația datorată gravitației pentru orice planetă și apoi putem aplica aceasta pe Pământ sau Lună sau orice ne dorim.

Legea gravitației Newton ne spune că magnitudinea forța gravitațională dintre obiectele de mase $ m_1 $ și $ m_2 $ este dată de \ begin {align} F = G \ frac {m_1m_2} {r ^ 2}, \ end {align} unde $ r $ este distanța dintre centre de masă. Acum, să presupunem că obiectul 1 este o planetă cu masa $ m_1 = M $ și raza $ R $, iar obiectul 2 este un obiect de masă mult mai mic $ m_2 = m $ situat la o înălțime $ h $ deasupra suprafeței planetei asta este mic în comparație cu raza planetei. Magnitudinea forței gravitaționale dintre cele două obiecte va fi \ begin {align} F = G \ frac {Mm} {(R + h) ^ 2} \ end {align} pe de altă parte, spune a doua lege a lui Newton ne spune că accelerarea obiectului 2 va satisface \ begin {align} F = ma \ end {align} Combinarea acestor fapte, și anume setarea laturilor din dreapta egale, face ca masa $ m $ să renunțe la ecuații, iar accelerația datorită gravității obiectului de masă $ m $ devine \ begin {align} a = \ frac {GM} {(R + h) ^ 2} = \ frac {GM} {R ^ 2} \ left (1-2 \ frac {h} {R} + \ cdots \ right) \ end {align} unde, în a doua egalitate, am efectuat o extindere Taylor a răspunsului în ceea ce privește numărul mic $ h / R $. Observați că la zero ordinea, și anume contribuția dominantă atunci când obiectul 2 este aproape de suprafața planetei, este o constantă care este independentă de înălțime și depinde doar de masa și raza planetei; \ begin {align} a_0 = \ frac {GM } {R ^ 2} \ end {align} Aceasta este exact ceea ce numim de obicei accelerația datorată gravitației în apropierea suprafața unei planete. Dacă conectați numerele pentru Earth, veți obține \ begin {align} a_0 ^ \ mathrm {Earth} \ approx 9.8 \, \ mathrm {m} / \ mathrm {s} ^ 2 \ end {align} și I ” Vă voi lăsa să stabiliți numărul pentru alte planete. Proprietatea importantă a acestei accelerații datorită gravitației este că scalează liniar cu masa $ M $ a planetei și se escalează ca a doua putere negativă a razei planetă.

Comentarii

• Cred că este de asemenea util să menționăm efectele forței centrifuge, datorită vitezei unghiulare a unui corp ceresc. $ $ a_c = \ frac {v ^ 2} {R} $$ Un alt efect al acestui lucru este acela că corpul însuși se umflă în jurul ecuatorului, crescând raza suprafeței în apropierea ecuatorului (coborând în apropierea polilor).

Constanta de accelerație gravitațională definită ca $ g $ pentru pământ depinde de masa pământului și de distanța față de acesta. Formula este $ g (r) = \ frac {GM (r)} {r ^ 2} $. (A se vedea Newtons L aw of Universal Gravitation pentru mai multe detalii). Așadar, $ g $ nu este o constantă chiar și pe pământ, ci depinde de altitudinea dvs., deși destul de lent. Dacă sunteți în lună, masa lunii $ (~ 10 ^ {22} kg) $ este mai mică decât cea a pământului $ (~ 10 ^ {24} kg) $ și, astfel, forța gravitațională pe care ați simți-o, $ mg $ ar fi mult mai puțin datorită faptului că $ g $ este mai mic, aproximativ 1,62 m / s ^ 2 $.

De asemenea, unitățile $ g $ sunt $ m / s ^ 2 $ și nu $ N / s ^ 2 $

O modalitate ușoară de a vă gândi la acest lucru este să considerați că accelerația gravitației, la suprafața unui corp planetar, să zicem, depinde în esență de două mărimi: masa corpului și raza .

Accelerația de suprafață crește odată cu masa corpului (dacă dublezi masa, dublezi accelerația) și scade cu pătratul razei (dacă dublezi raza, accelerația este sferturită).

Deci, de exemplu, raza Lunii este de aproximativ 0,273 ori mai mare decât raza Pământului, dar masa Lunii este de aproximativ 0,0123 masa Pământului. Deci, ne-am aștepta ca accelerația de la suprafața Lunii să fie

$ g_m = g_e (.0123) \ dfrac {1} {(. 273) ^ 2} \ approx \ dfrac {g_e} {6} $

și, cu siguranță, gravitația de suprafață a Lunii este de aproximativ 1,62 $ \ frac {m} {s ^ 2} $

Deci, dacă cunoașteți masa și raza, să zicem, Marte, puteți determina gravitația suprafeței lui Marte după cum urmează:

$ g_M = g_e \ dfrac {M_M} {M_e} \ cdot \ dfrac {R ^ 2_e} {R ^ 2_M} $