Mi s-a dat o problemă pentru temele la care trebuia să calculăm timpul pentru ca un obiect în cădere să atingă o anumită viteză atunci când se ține cont de forța de tragere. Am făcut-o configurând accelerația în funcție de viteză și integrând (a fost o ecuație diferențială).
Cu toate acestea, acesta este un curs introductiv de fizică, fără cunoștințe de calcul necesare. Încă nu am făcut nici măcar derivate, strict vorbind. Am avut norocul să fi luat calcul înainte, așa că am fost capabil să recunoască și să rezolve ecuația diferențială.
Când i-am întrebat pe colegii mei cum au făcut-o, mi-au spus că s-au amestecat cu numerele până au obținut ceva care a funcționat (a fost online, fără puncte deduse pentru răspunsuri greșite) Pentru majoritatea dintre ei, ei doar au împărțit viteza terminală prin accelerație datorită gravitației, ceea ce nu are sens, deoarece nici măcar nu ni s-a cerut timpul necesar pentru a atinge viteza maximă, ci 63% din aceasta. Această metodă s-a întâmplat să se rotunjească la același număr ca și cel corect.
Întrebarea mea este, există vreo modalitate de a găsi această valoare folosind fizica elementară sau profesorul meu ne-a dat o problemă nedreaptă? AT-urile nu mi-au ajutat și am curs în timpul orelor de birou.
Întrebarea în sine este următoarea:
viteza maximă a unei picături de ploaie de 4 × 10 $ ^ {- 5} $ kg este de aproximativ 9 m / s. Presupunând o forță de tracțiune $ F_D = −bv $, determinați timpul necesar unei astfel de picături, începând de la repaus, pentru a ajunge la 63 % din viteza terminală.
Comentarii
- Deoarece răspunsul implică un exponențial / logaritm într-un sens sau altul, ar trebui să se dezvolte un fel de soluție care implică un exponențial / logaritm. Alegeți otravă … Am sentimentul că ' va fi o aproximare a calculului.
- Cred că o soluție care implică logaritmi ar fi un joc corect. ' ne așteptăm să știm asta. Problema este că pot ' t pentru viața mea gândește-te la orice mod de a face acest lucru care nu ' t implică o ecuație diferențială. t ' s pentru că ' m-am obișnuit să fac probleme așa după ce am luat calculul. Dacă cineva ar putea veni cu o altă metodă, ar fi foarte apreciat.
- Este ' posibil legat de faptul că 63% este $ 1 – e ^ {- 1} $
Răspuns
Dacă forța de tragere este modelată ca o funcție liniară a vitezei $ (\ vec { F} _D = -b \ vec {v}) $, atunci problema este simplă . Bilanțul forței verticale pentru o picătură care se încadrează este $$ \ Sigma F_y = mg-bv = m \ dot {v}, $$ care oferă următoarea ecuație diferențială pentru viteză: $$ \ boxed {\ dot {v} + \ frac {b} {m} v = g}. $$ În cazul limitativ al vitezei maxime / accelerației zero $ (\ punct {v} = 0) $, echilibrul forței se simplifică la $$ mg = bv_ {max} , $$ sau $$ \ boxed {v_ {max} = \ frac {mg} {b}}. $$ Revenind la ecuația noastră diferențială, dacă viteza inițială $ v (0) = 0 $, atunci soluția la acest ODE este $$ v (t) = \ frac {mg} {b} \ left [1-e ^ {- bt / m} \ right]. $$ Prin definirea constantei de timp ca $ \ tau = \ frac { m} {b} $ și folosind definiția vitezei terminale, evoluția timpului vitezei se simplifică la $$ \ boxed {v (t) = v_ {max} \ left [1-e ^ {- t / \ tau } \ right]}. $$ Poziția, dacă se dorește, se găsește suficient de ușor prin efectuarea unei alte integrări: $$ y (t) = \ int {v} dt = v_ {max} \ int {\ left (1-e ^ {- t / \ tau} \ right)} dt. $$ Presupunând că poziția inițială $ y (0) = 0 $ și simplificând, soluția pentru poziția verticală este apoi $$ \ boxed {y (t) = v_ {max} t + v_ {max} \ tau \ left [e ^ {-t / \ tau} -1 \ right]}. $$ Deci avem acum soluții analitice pentru accelerația, viteza și poziția obiectului în cădere în funcție de timp și de parametrii sistemului, care sunt cunoscuți ( cu excepția $ b $). Rețineți, totuși, că timpul solicitat pentru a atinge o viteză de $ 0.63v_ {max} $ nu este arbitrar. După ce a trecut o constantă de timp, vom avea $$ \ frac {v (\ tau)} {v_ {max}} = 1-e ^ {- 1} = 0.63212 = \ boxed {63.212 \%}. $$ Astfel, trebuie pur și simplu să calculăm valoarea constantei de timp, iar valoarea rezultată va fi răspunsul dvs. În ceea ce-i privește pe colegii tăi de clasă, aceștia nu greșesc. Scopul nostru este să calculăm $ \ tau $ și, dacă vă uitați cu atenție la matematica noastră anterioară, veți vedea că $ \ tau $ este într-adevăr egal cu viteza terminală împărțită la $ g $. Graficele de octavă ale funcțiilor de poziție, viteză și accelerație sunt incluse mai jos pentru referință (înlocuiți $ k $ cu $ b $ în al doilea grafic).
Comentarii
- Da, nu am fost învățați niciodată că ecuație la care v-ați conectat. Dar, mulțumesc, exact asta am căutat.Voiam doar să știu dacă există o metodă mai generală pentru a rezolva această întrebare pe care ar fi trebuit să o putem da seama și se pare că răspunsul este nu.
- @JakeChristensen Încă poate exista o altă modalitate de a vă găsi răspunsul, dar amintiți-vă că Calculul (cel puțin Newton ' s Calculul) a fost inventat pentru a rezolva problemele fizicii 😉
Răspuns
În mod obișnuit, dragul este proporțional cu viteza la pătrat și, astfel, accelerația descendentă este
$$ a = \ dot {v} = g – \ beta v ^ 2 $$
Soluția la o astfel de mișcare este $$ \ begin {align} x & = \ int \ frac {v} {a} {\ rm d} v = – \ frac {1} {2 \ beta} \ ln \ left ( 1 – \ frac {\ beta v ^ 2} {g} \ right) \\ t & = \ int \ frac {1} {a} {\ rm d} v = – \ frac {1} {4 \ sqrt {\ beta g}} \ ln \ left (\ frac {(v \ sqrt {\ beta} – \ sqrt {g}) ^ 2} {(v \ sqrt {\ beta } + \ sqrt {g}) ^ 2} \ right) \ end {align} $$
Deci, conectați viteza $ v $ pe care doriți să o vizați și vă va oferi distanța $ x $ și $ t $ pentru a ajunge la acesta.
PS. Dacă nu cunoașteți parametrul de tragere $ \ beta $ , dar în schimb cunoașteți viteza maximă, atunci o puteți estima din viteza maximă, rezolvând $ a = g – \ beta \, v _ {\ rm top} = 0 $ .
Răspuns
1) Găsiți forța de tracțiune la viteza maximă.2) Înmulțiți această forță cu .63 (63%) 3) Împărțiți această nouă forță la masa picăturii de ploaie 4) Utilizați timpul de accelerare a vitezei ecuație cinematică de rezolvat pentru timp $$ {(V) = (Vi + a (t))} $$
Comentarii
- Acest lucru nu este ' t corect. Presupunem că accelerația este constantă (ceea ce nu este explicit în nici o întrebare care implică schimbarea vitezei și a rezistenței aerului) . ' presupun aici că $ a (t) $ înseamnă $ a * t $, deoarece dacă vrei să spui $ a $ în funcție de $ t $ nu are sens la toate.