Aceasta este o precizie scăzută – totuși simplă – răspunsul

Vă permite să calculați numai configurația de aliniere radială a planetelor.

Dacă doriți o aproximare, să spunem că aproximați poziția planetelor ca mâini într-un ceas, puteți calcula matematica prin așa ceva.

Să presupunem că $ \ theta_i $ este unghiul inițial pentru planeta $ i $ la ora $ t_0 $ – măsurată dintr-un arbitrar, dar fix poziția, iar $ l_i $ este lungimea anului – în zile – pentru planeta $ i $.

Apoi se reia rezolvarea acestui sistem de ecuații:

$$ x \ equiv \ theta_i \ left (\ mod \ l_i \ right) $$

De aici ar trebui să aplicați pur și simplu teorema restului chinezesc .

Găsirea x-ului minim vă va oferi unghiul pe care planeta care la $ t_0 $ avea unghiul $ \ theta_i = 0 $ ar fi călătorit până la atingerea unei configurații de aliniere . A însumând că alegeți Pământul ca planetă menționată, apoi împărțiți acel unghi la o revoluție completă (360 $ ^ {o} $) și veți obține numărul de ani pentru ca acea configurație să fie atinsă – din configurația $ t_0 $.

Diferitele $ \ theta_i $ în grade pentru toate planetele din 01 ianuarie 2014 – le puteți folosi ca $ t_0 $:

\ begin {align} Mercury & \ quad 285.55 \\ Venus & \ quad 94.13 \\ Pământ & \ quad 100.46 \\ Marte & \ quad 155.60 \\ Jupiter & \ quad 104.92 \\ Saturn & \ quad 226.71 \ \ Uranus & \ quad 11.93 \\ Neptun & \ quad 334.90 \ end {align}

Sursă

Diferitele $ l_i $ în zile pentru toate planetele:

\ begin {align} Mercury & \ quad 88 \\ Venus & \ quad 224.7 \\ Pământ & \ quad 365,26 \\ Marte & \ quad 687 \\ Jupiter & \ quad 4332.6 \\ Saturn & \ quad 10759.2 \\ Uranus & \ quad 30685.4 \\ Neptun & \ quad 60189 \ end {align}

În cele din urmă sub o aproximare a valorilor întregi și folosind aceasta rezolvator online pentru sistemul de ecuații, răspunsul este $ x = 4.0384877779832565 \ times 10 ^ {26} $ care împărțit la $ 360 ^ {o} $ vă oferă aproximativ $ $ 1.1218 \ times 10 ^ {24} \ quad \ text { ani} $$

Editați 1

Tocmai am găsit acest site cu care vă poate dori să vă jucați. Este o aplicație flash interactivă cu poziția exactă a planetelor.

Știu, de asemenea, că toate informațiile pot fi obținute de la această pagină NASA și este cât se poate de precis, dar acum este de neînțeles pentru mine. Voi încerca să îl revizuiesc mai târziu când găsesc timp.

De asemenea, această carte a lui Jean Meeus numită Algoritmi astronomici acoperă toate euqările și formulele fundamentale – totuși nu are nimic de-a face cu algoritmi de programare.

Edit 2

că sunteți programator, ar putea merita să verificați site-ul NASA pe care l-am menționat mai sus, datele pentru toate planetele pot fi accesate chiar prin $ \ tt {telnet} $.Sau acest site Sourceforge unde au implementări pentru multe dintre ecuațiile descrise și în cartea menționată mai sus.

Comentarii

• $ x \ equiv \ theta_i (\ mod l_i) $ funcționează la fel în comentarii. Cred că abordarea dvs. este cea mai bună pe care o puteți face fără simulări excesive. Tot ce trebuie să faceți este să introduceți datele reale; Aceasta a fost partea care m-a făcut să ezit să ofer un răspuns.
• @Gerald oh, am crezut că marcajele ecuațiilor nu au funcționat ‘ în comentarii. Da, ‘ îmi lipsesc datele, mai ales $ \ theta_i $. Voi adăuga diferite informații despre $ l_i $.
• Cum ar putea acel sistem solar să arate pozițiile relative corecte ale planetelor, atunci când distanțele lor de Soare nu sunt corecte? S-ar putea să arate corect fiecare poziție a planetelor în raport cu Soarele în mod izolat și, astfel, să fie bună pentru această întrebare, dar nu pentru a găsi conjuncții.
• @LocalFluff Acest lucru este adevărat. Aceasta oferă doar răspuns la configurațiile de aliniere radial . Editat.
• Există mai multe greșeli în acest răspuns. Mai întâi, folosind toate cifrele din tabelele dvs. (ceea ce implică convertirea în centidgrees și centidays) primesc de fapt $ x \ approx1.698 \ times10 ^ {42} $ (din același instrument online), care se ridică la 1,29 $ \ times10 ^ {33 } $ an. Nu ‘ nu știu cum ați obținut valoarea mai mică, dar bănuiesc că ați omis câteva cifre. În al doilea rând, acest lucru arată că atunci când adăugați mai multe cifre, soluția tinde la infinit: răspunsul corect este: alinierea radială nu apare niciodată . În cele din urmă, presupunerea că planetele ‘ orbite urmează această mișcare simplă este greșită .

Răspunsul corect este „ niciodată „, pentru mai multe motive. Mai întâi , așa cum sa subliniat în comentariul lui Florin, orbitele planetei nu sunt co-planare și, prin urmare, nu se pot alinia , chiar dacă fiecare planetă ar putea fi plasată în mod arbitrar în planul său orbital. În al doilea rând , chiar și alinierea radială pură nu se întâmplă niciodată deoarece perioadele planetei sunt incomensurabile – rapoartele nu sunt numere raționale. În cele din urmă , orbitele planetelor evoluează pe perioade de timp de milioane de ani, în principal datorită gravitației lor reciproce Trage. Această evoluție este (slab) haotică și, prin urmare, imprevizibilă pentru perioade foarte lungi.

Răspunsul greșit greșit de harogaston aproximează în esență perioadele orbitale cu cele mai apropiate numere comensurabile, obținând un timp foarte lung (deși a greșit asta cu un factor de doar $ 10 ^ {16} $).

O întrebare mult mai interesantă (și poate cea care te-a interesat de fapt ) este cât de des cele 8 planete aproape se aliniază radial . Aici, „ aproape ” ar putea pur și simplu să însemne „ până la 10 $ ^ \ circ $ așa cum se vede de la Soare ”. Într-o astfel de ocazie, atracția gravitațională reciprocă a planetelor se va alinia și, prin urmare, va duce la modificări orbitale mai puternice decât media.

Orice estimare a perioadei comune a mai mult de două planete (de exemplu, după cât timp se aliniază aproximativ în longitudine heliocentrică din nou?) depinde foarte puternic de cât de multă abatere de la alinierea perfectă este acceptabilă.

Dacă perioada planetei $ i $ este $ P_i $ și dacă abaterea acceptabilă în timp este $ b $ (în aceleași unități ca $ P_i $), atunci perioada combinată $ P $ de toate $ n $ planetele sunt aproximativ $$ P \ approx \ frac {\ prod_i P_i} {b ^ {n-1}} $$ deci reducerea abaterii acceptabile cu un factor de 10 înseamnă creșterea perioadei comune cu un factor de 10 $ ^ {n-1} $, care pentru 8 planete este un factor de 10.000.000. Deci, este lipsit de sens să citiți o perioadă comună dacă nu specificați, de asemenea, câtă abatere a fost acceptabilă. Când abaterea acceptabilă scade la 0 (pentru a obține „alinierea perfectă”), atunci perioada comună crește la infinit. Aceasta corespunde mai multe comentarii „declarații că nu există o perioadă comună, deoarece perioadele nu sunt proporționale.

Pentru planete” perioadele enumerate de harogaston, $ \ prod_i P_i \ aproximativ 1,35 \ times10 ^ 6 $ când $ P_i $ sunt măsurate în ani iulieni de 365,25 zile fiecare, deci perioada obișnuită în ani este de aproximativ $ $ P \ approx \ frac {1,35 \ times10 ^ 6} {b ^ 7} $$ dacă $ b $ este măsurat și în ani. Dacă perioadele sunt aproximate la cea mai apropiată zi, atunci $ b \ aproximativ 0,00274 $ ani și $ P \ aproximativ 1,2 \ times10 ^ {24} $ ani. Dacă perioadele sunt aproximate la cea mai apropiată 0,01 zi, atunci $ b \ aproximativ 2,74 \ times10 ^ {- 5} $ și $ P \ aproximativ 1,2 \ times10 ^ {38} $ ani.

Derivarea formulei de mai sus este după cum urmează:

Aproximează „perioadele planetelor cu multiplii unei unități de bază $ b $: $ P_i \ approx p_i b $ unde $ p_i $ este un număr întreg. Atunci perioada comună este cel mult egală cu produsul tuturor $ p_i $. Produsul respectiv este încă măsurat în unități de $ b $; trebuie să înmulțim cu $ b $ pentru a reveni la unitățile originale. Deci , perioada comună este de aproximativ $$ P \ approx b \ prod_i p_i \ approx b \ prod_i \ frac {P_i} {b} = b \ frac {\ prod_i P_i} {b ^ n} = \ frac {\ prod_i P_i} {b ^ {n-1}} $$

Derivația de mai sus nu ține cont de faptul că $ p_i $ ar putea avea factori comuni, astfel încât alinierea să aibă loc mai devreme decât sugerează $ \ prod_i p_i $. Cu toate acestea, dacă oricare doi $ p_i $ au factori comuni depinde în mare măsură de perioada de bază aleasă $ b $, deci este efectiv o variabilă aleatorie și nu afectează dependența globală de $ P $ de $ b $.

Dacă exprimați abaterea acceptabilă în termeni de unghi mai degrabă decât timp , atunci mă aștept să primiți răspunsuri care depind de dimensiunea abaterii acceptabile ca puternic ca pentru formula de mai sus.

Consultați http://aa.quae.nl/en/reken/periode.html pentru un grafic de $ P $ ca funcție de $ b $ pentru toate planetele, inclusiv Pluto.

EDIT:

Iată o estimare cu o abatere acceptabilă în termeni de unghi . Dorim ca toate planetele să se afle într-un interval de longitudine de lățime $ δ $ centrat pe longitudinea primei planete; longitudinea prima planetă este liberă. Presupunem că toate planetele se mișcă în aceeași direcție pe orbite circulare coplanare în jurul Soarelui.

Deoarece planetele ” perioadele nu sunt proporționale, toate combinațiile de longitudini ale planetelor apar cu aceeași probabilitate. Probabilitatea $ q_i $ ca la un moment specific de timp longitudinea planetei $ i > 1 $ să se afle în segmentul lățimii $ δ $ centrat pe longitudinea planetei 1 este egală la $$ q_i = \ frac {δ} {360 °} $$

Probabilitatea $ q $ ca planetele de la 2 la $ n $ să fie toate în același segment de longitudine centrat pe planeta 1 este apoi $ $ q = \ prod_ {i = 2} ^ n q_i = \ left (\ frac {δ} {360 °} \ right) ^ {n-1} $$

Pentru a traduce această probabilitate într-un perioadă medie, trebuie să estimăm cât timp sunt aliniate toate planetele (până la $ δ $) de fiecare dată când sunt aliniate toate.

Primele două planete care își pierd alinierea reciprocă sunt cele mai rapide și mai lente a planetelor. Dacă perioada lor sinodică este de $ P _ * $, atunci vor fi aliniați pentru un interval $$ A = P_ * \ frac {δ} {360 °} $$ și apoi vor ieși din aliniere pentru o perioadă de timp înainte de a intra din nou în aliniament Deci, fiecare aliniere a tuturor planetelor durează aproximativ un interval de $ A $ și toate aceste alinieri acoperă o fracțiune $ q $ din toate timpurile. Dacă perioada medie după care apare o altă aliniere a tuturor planetelor este de $ P $, atunci trebuie să avem $ qP = A $, deci $$ P = \ frac {A} {q} = P_ * \ left (\ frac {360 °} {δ} \ right) ^ {n-2} $$

Dacă există doar două planete, atunci $ P = P _ * $ indiferent de $ δ $, ceea ce este așa cum era de așteptat.

Dacă există multe planete, atunci cea mai rapidă planetă este mult mai rapid decât cel mai lent, deci $ P _ * $ este aproape egal cu perioada orbitală a celei mai rapide planete.

Și aici, estimarea timpului mediu dintre aliniamentele succesive este foarte sensibil la limita de deviere aleasă (dacă sunt implicate mai mult de două planete), deci nu are sens să cităm o astfel de perioadă combinată dacă nu menționați și ce abatere a fost permisă.

Este, de asemenea, important să ne amintim că (dacă există mai mult de două planete) aceste (aproape) aliniamente ale tuturor nu apar în mod regulat intervale.

Acum să conectăm câteva numere. Dacă doriți ca toate cele 8 planete să fie aliniate la un grad de longitudine, atunci timpul mediu dintre două astfel de alinieri este aproximativ egal cu $ P = 360 ^ 6 = 2.2 × 10 ^ {15} $ orbitele celei mai rapide planete. Pentru sistemul solar, Mercur este cea mai rapidă planetă, cu o perioadă de aproximativ 0,241 de ani, deci timpul mediu dintre două alinieri ale tuturor celor 8 planete până la 1 grad de longitudine este de aproximativ 5 × 10 ^ {14} $ ani.

Dacă sunteți deja mulțumit de o aliniere la 10 grade longitudine, atunci perioada medie dintre două astfel de alinieri este aproximativ egală cu $ P = 36 ^ 6 = 2,2 × 10 ^ 9 $ orbite ale lui Mercur, care este de aproximativ 500 de milioane de ani.

Care este cea mai bună aliniere la care ne putem aștepta în următorii 1000 de ani? 1000 de ani sunt aproximativ 4150 de orbite de mercur, deci $ (360 ° / δ) ^ 6 \ aproximativ 4150 $, deci $ δ \ aproximativ 90 ° $. Într-un interval de 1000 de ani ales la întâmplare, există în medie o aliniere a tuturor celor 8 planete într-un segment de 90 °.

Există o modalitate mult mai ușoară de a face acest lucru.

1) Căutați lungimea anului solar în zilele pământului

2) înmulțiți lungimea anilor astfel: Anul Mercur * Anul Venus * Anul Pământului * Anul marțian * Anul Jovian * Anul Saturn * Anul Uranus * Anul Neptun

3) Împărțiți la 365 pentru a obține ani de pe pământ.

Și aveți un moment în care se vor alinia din nou longitudinal (adică unghiurile vor fi diferite, dar dintr-o vedere de sus ar forma o linie). Nu se va alinia la o frecvență mai mare, deoarece unele dintre aceste planete au un număr zecimal de zile de pământ în anul lor.

Comentarii

• 4) Realizați că numărul pe care l-ați obținut este mult mai mare decât timpul Lyapunov al sistemului solar și, prin urmare, nu are sens.

Din punct de vedere tehnic, adevărata modalitate de a găsi perioada dintre alinierea tuturor celor 8 planete este de a găsi LCM pentru toate cele 8 lungimi ale anului lor.

LCM (88, 225, 365, 687, 4333, 10759, 30685, 60189) = 814252949520007202031000. Înțeleg că aceasta este o estimare aproximativă, deoarece acestea sunt rotunjite la cel mai apropiat număr întreg, dar oferă o idee bună din numărul de zile pe care le-ar lua.

814252949520007202031000/365 = 2230829998684951238441. Acesta este câți ani.

Comentarii

• Aceasta pare a fi aceeași metodă descrisă în răspunsul Caters ‘ r .