Care este diferența dintre întârzierea de fază și întârzierea de grup?

În primul rând, definițiile sunt diferite:

• Întârziere fază: (negativul) Fază împărțită la frecvență
• Întârziere grup: (negativul) Prima derivată a fază vs frecvență

În cuvinte care înseamnă:

• Întârziere de fază: Unghiul de fază în acest punct de frecvență
• Întârziere de grup: Rata de schimbare a fazei din jurul acestui punct de frecvență.

Când utilizați una sau alta depinde cu adevărat de aplicația dvs. Aplicația clasică pentru întârzierea grupului este unde sinusoidale modulate, de exemplu radio AM. Timpul necesar pentru ca semnalul de modulație să treacă prin sistem este dat de întârzierea grupului, nu de întârzierea fazei. Un alt exemplu audio ar putea fi un kick drum: Aceasta este în cea mai mare parte o undă sinusoidală modulată, așa că, dacă doriți să determinați cât de mult va fi întârziat tamburul kick (și potențial împrăștiat în timp), întârzierea grupului este modalitatea de a o privi.

Comentarii

• ” Faza absolută în acest punct de frecvență ” Nu ar ‘ ar fi numit ” fază „?
• Am vrut să spun ” absolut ” comparativ cu ” relativ „, dar văd că acest lucru poate fi confundat cu ” valoare absolută „. ‘ îl voi edita
• o ultimă diferență importantă: întârzierea fazei la o anumită frecvență $ f $ este întârzierea faza a semnalului cvasi-sinusoidal de frecvență $ f $ trecut prin filtru. întârzierea grupului este întârzierea plicului sau ” grup ” al cvasi-sinusoidului.

Nu măsoară ambele cât de mult este întârziat un sinusoid. Întârzierea fazei măsoară exact acest lucru. Întârzierea grupului este puțin mai complicată. Imaginați-vă o undă sinusoidală scurtă cu un înveliș de amplitudine aplicat, astfel încât să se estompeze și să se estompeze, să zicem, un gaussian multiplicat cu un sinusoid Acest plic are o formă și, în special, are un vârf care reprezintă centrul acelui „pachet.” Întârzierea grupului vă spune cât de mult va fi întârziată amplitudinea respectivă, în special, cât vârful acelui pachet. va trece prin.

Îmi place să mă gândesc la asta revenind la definiția întârzierii de grup: este derivatul fazei. Derivatul vă oferă o liniarizare a răspunsului de fază în acel moment. Cu alte cuvinte, la o anumită frecvență, întârzierea grupului vă spune aproximativ cum se raportează răspunsul de fază al frecvențelor vecine cu răspunsul de fază în acel moment. Acum, amintiți-vă cum folosim un sinusoid modulat în amplitudine. Modulația amplitudinii va lua vârful sinusoidului și va introduce benzi laterale la frecvențe învecinate. Deci, într-un fel, întârzierea grupului vă oferă informații despre modul în care benzile laterale vor fi întârziate în raport cu frecvența purtătoarei respective, iar aplicarea acestei întârzieri va schimba forma anvelopei amplitudinii într-un fel.

nebunie? Filtrele cauzale pot avea întârzieri negative de grup!Luați-vă gaussianul înmulțit cu un sinusoid: puteți construi un circuit analog astfel încât, atunci când trimiteți semnalul respectiv, vârful plicului să apară în ieșire înainte de intrare. Pare un paradox, deoarece se pare că filtrul trebuie să „vadă” în viitor. Este cu siguranță ciudat, dar o modalitate de a ne gândi la asta este că, din moment ce plicul are o formă foarte previzibilă, filtrul are deja suficiente informații pentru a anticipa ce se va întâmpla. Dacă s-ar introduce un vârf în mijlocul semnalului, filtrul nu ar anticipa acest lucru. Iată „un articol cu adevărat interesant despre acest lucru: http://www.dsprelated.com/showarticle/54.php

Comentarii

• Când spuneți ” poza a … „, o imagine reală ar fi cu adevărat utilă aici.

Pentru cei care încă nu pot creta diferența aici este un exemplu simplu

Luați o linie lungă de transmisie cu semnal cvasi-sinusoidal simplu cu un anvelopă de amplitudine, $ a (t) $ , la intrarea sa

$$ x (t) = a (t) \ cdot \ sin (\ omega t) $$

Dacă măsurați acest semnal la transmisie sfârșitul liniei, $ y (t) $ , ar putea veni undeva astfel:

$$ \ begin {align} y (t) & = a (t- \ tau_g) \ cdot \ sin (\ omega t + \ phi) \\ & = a (t- \ tau_g) \ cdot \ sin \ big (\ omega (t – \ tau_ \ ph i) \ big) \\ \ end {align} $$

unde $ \ phi $ este diferența de fază de la intrare la ieșire.

Dacă doriți cât timp necesită faza a sinusoidului, $ \ sin (\ omega t) $ transmisie de la intrare la ieșire apoi $ \ tau_ \ phi = – \ tfrac {\ phi} {\ omega} $ este răspunsul dvs. în câteva secunde.

Dacă doriți cât timp necesită în plicul , $ a (t) $ , a transmisiei sinusoidale de la intrare la ieșire, apoi $ \ tau_g = – \ tfrac {d \, \ phi} {d \, \ omega} $ este răspunsul dvs. în câteva secunde.

Întârzierea fazei este doar timpul de călătorie pentru o singură frecvență în timp ce întârzierea grupului este măsura distorsiunii amplitudinii dacă se aplică o serie de frecvențe multiple.

Știu că este destul întrebare veche, dar am căutat o derivare a expresiilor pentru întârziere de grup și întârziere de fază pe internet. Nu există multe astfel de derivări pe net, așa că am crezut că aș împărtăși ceea ce am găsit. De asemenea, rețineți că acest răspuns este mai mult o descriere matematică decât una intuitivă. Pentru descrieri intuitive, vă rugăm să consultați răspunsurile de mai sus. Deci, aici merge:

Să considerăm un semnal

$$ x (t) = a (t) \ cos (\ omega_0 t) $$

și treceți acest lucru printr-un LTI sistem cu răspuns de frecvență

$$ H (j \ omega) = e ^ {j \ phi (\ omega)} $$

Am considerat câștigul sistemului ca unitate, deoarece suntem interesați să analizăm modul în care sistemul modifică faza semnalului de intrare, mai degrabă decât câștigul. Acum, având în vedere că multiplicarea în domeniul timpului corespunde convoluției în domeniul frecvenței, Transformata Fourier a semnalului de intrare este dată de

$$ X (j \ omega) = {1 \ over 2 \ pi} A (j \ omega) \ cdot \ big (\ pi \ delta (\ omega – \ omega_0) + \ pi \ delta (\ omega + \ omega_0) \ big) $$

care se ridică la

$$ X (j \ omega) = {A (j (\ omega- \ omega_0)) + A (j (\ omega + \ omega_0)) \ over 2} $$

Prin urmare, ieșirea sistemului are un spectru de frecvență dat de

$$ B (j \ omega) = {e ^ {j \ phi (\ omega)} \ over 2} \ big (A (j (\ omega- \ omega_0)) + A ( j (\ omega + \ omega_0)) \ big) $$

Acum, pentru a găsi Transformata Fourier inversă a expresiei de mai sus, trebuie să cunoaștem forma analitică exactă pentru $ \ phi (\ omega) $ . Deci, pentru a simplifica lucrurile, presupunem că conținutul de frecvență al $ a (t) $ include doar acele frecvențe care sunt semnificativ mai mici decât frecvența purtătoarei $ \ omega_0 $ . În acest scenariu, semnalul $ x (t) $ poate fi văzut ca un semnal modulat de amplitudine, unde $ a (t ) $ reprezintă anvelopa semnalului cosinusului de înaltă frecvență. În domeniul frecvenței, $ B (j \ omega) $ conține acum două benzi înguste de frecvențe centrate la $ \ omega_0 $ și $ – \ omega_0 $ (consultați ecuația de mai sus).Aceasta înseamnă că putem folosi o expansiune a seriei Taylor de prima ordine pentru $ \ phi (\ omega) $ .

$$ \ begin {align} \ phi (\ omega) & = \ phi (\ omega_0) + \ frac {d \ phi} {d \ omega} (\ omega_0) (\ omega – \ omega_0) \\ & = \ alpha + \ beta \ omega \\ \ end {align} $$

unde $$ \ begin {align} \ alpha & = \ phi (\ omega_0) – \ omega_0 \ frac {d \ phi} {d \ omega} (\ omega_0) \\ \ beta & = \ frac {d \ phi} {d \ omega} (\ omega_0) \\ \ end {align} $ $

Conectând acest lucru, putem calcula transformata Fourier inversă a primei jumătăți a $ B (j \ omega) $ ca

$$ \ frac {1} {2 \ pi} \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} \ frac {1} {2} A (j (\ omega – \ omega_0)) e ^ {j (\ omega t + \ alpha + \ beta \ omega)} d \ omega $$

Înlocuind $ \ omega – \ omega_0 $ pentru $ \ omega „$ , acesta devine

$$ \ frac {1} {2 \ pi} \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} \ frac {1} {2} X (j (\ omega „)) e ^ {j ((\ omega” + \ omega_0) (t + \ beta) + \ alfa)} d \ omega „$$

care simplifică la

$$ a (t + \ beta) \ frac {e ^ {j (\ omega_0 t + \ omega_0 \ beta + \ alpha)}} {2} $$

Conectarea expresiilor pentru $ \ alpha $ și $ \ beta $ , acesta devine

$ $ a (t + \ beta) \ frac {e ^ {j (\ omega_0 t + \ phi (\ omega_0))}} {2} $$

În mod similar cealaltă jumătate a transforma Fourier inversă a $ B (j \ omega) $ poate fi obținută prin înlocuirea $ \ omega_0 $ de $ – \ omega_0 $ . Observând că pentru semnale reale, $ \ phi (\ omega) $ este o funcție ciudată, aceasta devine

$$ a (t + \ beta) \ frac {e ^ {- j (\ omega_0 t + \ phi (\ omega_0))}} {2} $$

Astfel , adăugând cele două împreună, obținem $$ b (t) = x (t + \ frac {d \ phi} {d \ omega} (\ omega_0)) \ cos (\ omega_0 (t + \ tfrac {\ phi (\ omega_0)} {\ omega_0})) $$

Observați întârzierile din plic $ a (t) $ și semnalul cosinusului purtător. Întârzierea grupului $ (\ tau_g) $ corespunde întârzierii din plic în timp ce întârzierea fazei $ (\ tau_p) $ corespunde întârzierii în transportator. Astfel,

$$ \ tau_g = – \ frac {d \ phi} {d \ omega} (\ omega_0) $$ $$ \ tau_p = – \ frac {\ phi (\ omega_0)} {\ omega_0} $$

Întârzierea de fază a oricărui filtru este cantitatea de întârziere pe care o suferă fiecare componentă de frecvență la trecerea prin filtre (Dacă un semnal constă din mai multe frecvențe.)

Grupul întârzierea este întârzierea medie a semnalului compozit suferită la fiecare componentă a frecvenței.