Până acum în cursul nostru am definit operatorii de creație $ a ^ {\ dagger} _ {n} $ în după cum am spus:
Cineva ți-a obținut o stare antisimetrică sau simetrică a particulei N și acum $ a ^ {\ dagger} _ {n} $ pune o altă particulă în starea n, astfel încât să terminăm cu o stare simetrică / antisimetrică N + 1-particulă. Această interpretare este cumva clară pentru mine, în sensul că acești $ a ^ {\ dagger}, a $ operatorii evită determinanții grei grei și așa mai departe. Cu toate acestea, avem încă de-a face cu stări de produs simetrizate / antisimetricizate bine definite care devin extinse sau reduse cu o singură stare, care sunt ascunse în spatele acestei notații.
Acum, am definit și operatorii de câmp în QM cu $ \ psi ^ {\ dagger} (r) = \ sum_ {i; \ text {all states}} \ psi_i ^ * (r) a_i ^ {\ dagger}. $ Am spus că creează o particulă la poziția $ r $ . Cumva, nu îmi este clar ce înseamnă acest lucru:
Pentru a crea o particulă la o poziție exactă $ r_0 $ în QM ar însemna că avem acum o stare suplimentară $ \ psi_i (r) = \ delta (r-r_0) $ în determinantul nostru. Mă îndoiesc că aceasta este ideea din spatele acestui lucru. Dar, din moment ce operatorii $ a_i ^ {\ dagger} $ acționează asupra stării particulelor $ N $ și mapează la stările de particule $ N + 1 $, același lucru trebuie să fie valabil și pentru $ \ psi ^ {\ dagger} (r) $ . Cu toate acestea, am dificultăți în interpretarea rezultatului.
Dacă ceva nu este clar, vă rog să-mi spuneți.
Răspuns
$ \ psi_i $ din suma dvs. nu trebuie să fie funcții delta. Vă puteți gândi, de exemplu, ca fiind funcții proprii de energie $$ \ mathcal {H} \ psi_i (r) = E_i \ psi_i (r) $$ astfel creând o particulă la $ r $ înseamnă că obțineți o suprapunere a tuturor modurilor posibile o particulă poate fi la $ r $ (în această alegere de bază): $$ \ underbrace {\ psi ^ \ dagger (r)} _ {\ text {operator}} | 0 \ rangle = \ sum_i \ overbrace {\ psi_i ^ * (r)} ^ {\ text {numere complexe}} | i \ rangle $$ unde $ | 0 \ rangle $ este starea de vid (sau starea de bază dacă doriți) și $ | i \ rangle $ este starea Fock cu o particulă în modul n. Vă puteți gândi la această ecuație ca afirmând că pentru fiecare $ i $, $ \ psi_i ^ * (r) $ este amplitudinea probabilității de a găsi particula la poziția $ r $ dacă știți că se află în starea $ i $.
Gândește-te la asta ca la o schimbare de bază. $ a_i ^ \ dagger $ creează o particulă în starea $ | i \ rangle $. Acum, această stare $ | i \ rangle $ poate fi scrisă în funcție de stările poziției $ | r \ rangle $ ca $$ | i \ rangle = \ int dr \, \ psi_i (r) | r \ rangle, $$ astfel, crearea unei particule în această stare este echivalentă cu crearea unei particule într-o suprapunere a stării de poziție cu greutatea adecvată $ \ psi_i (r) $. În mod echivalent, o particulă localizată în $ | r \ rangle $ poate fi descrisă ca fiind într-o suprapunere a stării $$ | r \ rangle = \ sum_i \ psi_i ^ * (r) | i \ rangle, $$ și astfel creează o particulă în starea $ | r \ rangle $, operatorul $ \ psi ^ \ dagger (r) $ este definit de operatorul $ \ sum_i \ psi_i ^ * (r) \, a_i ^ \ dagger $.
Comentarii