Semnalul pasului de unitate definit ca
$$ u [n] = \ lbrace 1; n > = 0; \\ \ qquad0; n < 0 \ rbrace $$
are trei soluții posibile pentru reprezentarea domeniului său Fourier în funcție de tipul de abordare. Acestea sunt după cum urmează –
- Abordarea urmată pe scară largă (Oppenheim Textbook) – calcularea transformatei Fourier a funcției de pas de unitate din transformata Fourier a funcției signum.
$$ F (u [n]) = U (j \ omega) = \ pi \ delta (\ omega) + \ frac {1} {j \ omega} $$
- Transformată Fourier calculată din transformarea Z a funcției pasului de unitate (consultați Manualul Proakis, Algoritmi și aplicații de procesare digitală a semnalului , paginile 267.268 secțiunea 4.2.8)
$$ U (j \ omega) = \ frac {e ^ {\ frac {j \ omega} {2}}} {2j \ sin \ frac {\ omega} {2}}; \ omega \ neq 2 \ pi k; k = 0,1,2,3 … $$
- Transformata Fourier calculată prin împărțirea în funcții pare și impare – urmată în manualul Proakis (consultați manualul Proakis, Algoritmi și aplicații de procesare a semnalului digital , pagina 618 secțiunea 8.1) $$ U (j \ omega) = \ pi \ delta (\ omega) + \ frac {1} {1-e ^ {- j \ omega}} $$
A doua reprezentare poate fi ignorată deoarece nu este o funcție bine comportată . Dar abordările urmate de Proakis și Oppenheim sunt la fel de valabile (extind transformata Fourier pentru a include impulsuri în domeniul frecvenței) Dar confuzia este că oferă soluții diferite.
Există vreo greșeală în înțelegerea mea? sau lipsesc vreun punct crucial ?? Vă rog să mă ajutați să înțeleg acest lucru și forma corectă care poate fi utilizată în toate aplicațiile. (Am constatat că abordarea Oppenheim este utilizată în derivarea Relațiilor Kramers-Kronig și abordarea Proakis utilizată în derivarea transformatei Hilbert)
Răspuns
Rețineți că prima expresie este transformata Fourier a pasului de unitate continuu $ u (t) $, deci nu este aplicabilă secvenței de pași în timp discret $ u [ n] $. În plus, a doua și a treia expresie sunt ambele corecte și sunt identice dacă luați în considerare faptul că a doua expresie nu pretinde valabilitate la multipli întregi de $ 2 \ pi $.
Dacă lăsăm frecvențele unghiulare la multipli de $ 2 \ pi $, a treia expresie devine
$$ U (j \ omega) = \ frac {1} {1-e ^ {- j \ omega}} = \ frac {1} {e ^ {- j \ omega / 2} (e ^ {j \ omega / 2} -e ^ {- j \ omega / 2})} = \ frac {e ^ {j \ omega / 2}} {2j \ sin (\ omega / 2)}, \ quad \ omega \ neq 2k \ pi $$
care este identică cu a doua expresie.
Comentarii
- Mulțumesc mult! Da, al doilea și al treilea sunt echivalente, dar în al treilea au compoziție prin includerea impulsului la poli. Vă mulțumim pentru clarificare
Răspuns
După cum a spus Matt, a doua și a treia definiție sunt aceleași cu excepția partea cu impuls. Impulsul ( $ \ pi \ delta (\ omega) $ ) reprezintă valoarea DC a $ u [n] $ . Fără acel termen (adică a doua definiție) este de fapt FT-ul $ v [n] = \ frac {1} {2} \ operatorname {sgn} [n] $ . Avem $ u [n] = v [n] + \ frac {1} {2} $ . Și, prin urmare, FT de $ u [n] $ are termenul suplimentar pentru a explica adăugarea de $ \ frac {1 } {2} $ . De asemenea, timpul discret FT (sau DTFT) al $ u [n] $ este scris corect ca $ U (e ^ {j \ omega}) $ .
Prima definiție, $ U (j \ omega) $ este „timpul continuu „FT (sau CTFT) din $ u (t) $ (nu $ u [n] $ ) și, prin urmare, diferit de celelalte două definiții.