Ce este activarea GELU?

Funcția GELU

Putem extinde distribuția cumulativă a $ \ mathcal {N} (0, 1) $ , adică $ \ Phi (x) $ , după cum urmează: $$ \ text {GELU} (x): = x {\ Bbb P} (X \ le x) = x \ Phi (x) = 0,5x \ left (1+ \ text {erf} \ left (\ frac {x} {\ sqrt {2 }} \ right) \ right) $$

Rețineți că aceasta este o definiție , nu o ecuație (sau o relație). Autorii au furnizat câteva justificări pentru această propunere, de ex. o analogie stocastică, deși matematic, aceasta este doar o definiție.

Iată complotul lui GELU:

Aproximare Tanh

Pentru aceste tipuri de aproximări numerice, ideea cheie este să găsești o funcție similară (în principal pe baza experienței), să o parametrizezi și apoi să o adaptezi la un set de puncte din funcția originală.

Știind că $ \ text {erf} (x) $ este foarte aproape de $ \ text {tanh} (x) $

și prima derivată a $ \ text {erf} (\ frac {x} {\ sqrt {2}}) $ coincide cu cel al $ \ text {tanh} (\ sqrt { \ frac {2} {\ pi}} x) $ la $ x = 0 $ , care este $ \ sqrt {\ frac {2} {\ pi}} $ , continuăm să potrivim $$ \ text {tanh} \ left (\ sqrt {\ frac { 2} {\ pi}} (x + ax ^ 2 + bx ^ 3 + cx ^ 4 + dx ^ 5) \ right) $$ (sau cu mai mulți termeni) la un set de puncte $ \ left (x_i, \ text {erf} \ left (\ frac {x_i} {\ sqrt {2}} \ right) \ right) $ .

Am adaptat această funcție la 20 de mostre între $ (- 1.5, 1.5) $ ( folosind acest site ) și iată coeficienții:

Prin setarea $ a = c = d = 0 $ , $ b $ a fost estimat a fi 0,04495641 $ $ . Cu mai multe eșantioane dintr-o gamă mai largă (acel site a permis doar 20), coeficientul $ b $ va fi mai aproape de hârtia „s $ 0,044715 $ . În cele din urmă obținem

$ \ text {GELU} (x) = x \ Phi (x) = 0,5x \ left (1 + \ text {erf} \ left (\ frac {x} {\ sqrt {2}} \ right) \ right) \ simeq 0.5x \ left (1+ \ text {tanh} \ left (\ sqrt {\ frac { 2} {\ pi}} (x + 0.044715x ^ 3) \ right) \ right) $

cu eroare pătrată medie $ \ sim 10 ^ {- 8} $ pentru $ x \ în [-10, 10] $ .

Rețineți că dacă am făcut-o nu utilizați relația dintre primele derivate, termenul $ \ sqrt {\ frac {2} {\ pi}} $ ar fi fost inclus în parametri după cum urmează $$ 0,5x \ left (1+ \ text {tanh} \ left (0,797885x + 0,035677x ^ 3 \ right) \ right) $$ care este mai puțin frumos (mai puțin analitic , mai numeric)!

Utilizarea parității

După cum sugerează @BookYourLuck , putem utiliza paritatea funcțiilor pentru a restrânge spațiul polinoamelor în care căutăm. Adică, deoarece $ \ text {erf} $ este o funcție ciudată, adică $ f (-x) = – f (x) $ și $ \ text {tanh} $ este, de asemenea, o funcție ciudată, funcție polinomială $ \ text {pol} (x) $ în $ \ text {tanh} $ ar trebui să fie, de asemenea, impar (ar trebui să aibă numai puteri ciudate de $ x $ ) pentru a avea $$ \ text {erf} (- x) \ simeq \ text {tanh} (\ text {pol} (-x)) = \ text {tanh} (- \ text {pol} (x)) = – \ text {tanh} (\ text {pol} (x)) \ simeq- \ text {erf} (x) $$

Anterior, am avut norocul să ajungem cu coeficienți (aproape) zero pentru puteri uniforme $ x ^ 2 $ și $ x ^ 4 $ , cu toate acestea, în general, acest lucru poate duce la aproximări de calitate scăzută care, de exemplu, au un termen ca $ 0,23x ^ 2 $ care este anulat de termeni suplimentari (par sau impar) în loc să optați pur și simplu pentru $ 0x ^ 2 $ .

Aproximare sigmoidă

O relație similară se menține între $ \ text {erf} (x) $ și $ 2 \ left (\ sigma (x) – \ frac {1} {2} \ right) $ (sigmoid), care este propus în lucrare ca o altă aproximare, cu eroare pătrată medie $ \ sim 10 ^ {- 4} $ pentru $ x \ în [-10, 10] $ .

Iată un cod Python pentru generarea punctelor de date, potrivirea funcțiilor și calcularea erorilor medii pătrate:

import math import numpy as np import scipy.optimize as optimize def tahn(xs, a): return [math.tanh(math.sqrt(2 / math.pi) * (x + a * x**3)) for x in xs] def sigmoid(xs, a): return [2 * (1 / (1 + math.exp(-a * x)) - 0.5) for x in xs] print_points = 0 np.random.seed(123) # xs = [-2, -1, -.9, -.7, 0.6, -.5, -.4, -.3, -0.2, -.1, 0, # .1, 0.2, .3, .4, .5, 0.6, .7, .9, 2] # xs = np.concatenate((np.arange(-1, 1, 0.2), np.arange(-4, 4, 0.8))) # xs = np.concatenate((np.arange(-2, 2, 0.5), np.arange(-8, 8, 1.6))) xs = np.arange(-10, 10, 0.001) erfs = np.array([math.erf(x/math.sqrt(2)) for x in xs]) ys = np.array([0.5 * x * (1 + math.erf(x/math.sqrt(2))) for x in xs]) # Fit tanh and sigmoid curves to erf points tanh_popt, _ = optimize.curve_fit(tahn, xs, erfs) print("Tanh fit: a=%5.5f" % tuple(tanh_popt)) sig_popt, _ = optimize.curve_fit(sigmoid, xs, erfs) print("Sigmoid fit: a=%5.5f" % tuple(sig_popt)) # curves used in https://mycurvefit.com: # 1. sinh(sqrt(2/3.141593)*(x+a*x^2+b*x^3+c*x^4+d*x^5))/cosh(sqrt(2/3.141593)*(x+a*x^2+b*x^3+c*x^4+d*x^5)) # 2. sinh(sqrt(2/3.141593)*(x+b*x^3))/cosh(sqrt(2/3.141593)*(x+b*x^3)) y_paper_tanh = np.array([0.5 * x * (1 + math.tanh(math.sqrt(2/math.pi)*(x + 0.044715 * x**3))) for x in xs]) tanh_error_paper = (np.square(ys - y_paper_tanh)).mean() y_alt_tanh = np.array([0.5 * x * (1 + math.tanh(math.sqrt(2/math.pi)*(x + tanh_popt[0] * x**3))) for x in xs]) tanh_error_alt = (np.square(ys - y_alt_tanh)).mean() # curve used in https://mycurvefit.com: # 1. 2*(1/(1+2.718281828459^(-(a*x))) - 0.5) y_paper_sigmoid = np.array([x * (1 / (1 + math.exp(-1.702 * x))) for x in xs]) sigmoid_error_paper = (np.square(ys - y_paper_sigmoid)).mean() y_alt_sigmoid = np.array([x * (1 / (1 + math.exp(-sig_popt[0] * x))) for x in xs]) sigmoid_error_alt = (np.square(ys - y_alt_sigmoid)).mean() print("Paper tanh error:", tanh_error_paper) print("Alternative tanh error:", tanh_error_alt) print("Paper sigmoid error:", sigmoid_error_paper) print("Alternative sigmoid error:", sigmoid_error_alt) if print_points == 1: print(len(xs)) for x, erf in zip(xs, erfs): print(x, erf) 

Ieșire:

Tanh fit: a=0.04485 Sigmoid fit: a=1.70099 Paper tanh error: 2.4329173471294176e-08 Alternative tanh error: 2.698034519269613e-08 Paper sigmoid error: 5.6479106346814546e-05 Alternative sigmoid error: 5.704246564663601e-05 

Comentarii

• De ce este necesară aproximarea? Nu ar putea ' să folosească doar funcția erf?

Mai întâi rețineți că $$ \ Phi (x) = \ frac12 \ mathrm {erfc} \ left (- \ frac {x} {\ sqrt {2}} \ right) = \ frac12 \ left (1 + \ mathrm {erf} \ left (\ frac {x} {\ sqrt2} \ right) \ right) $$ prin paritatea $ \ mathrm {erf} $ . Trebuie să arătăm că $$ \ mathrm {erf} \ left (\ frac x {\ sqrt2} \ right) \ approx \ tanh \ left (\ sqrt {\ frac2 \ pi} \ left (x + ax ^ 3 \ right) \ right) $$ pentru $ a \ approx 0.044715 $ .

Pentru valori mari de $ x $ , ambele funcții sunt delimitate în $ [- 1, 1 ] $ . Pentru $ x $ , seria Taylor respectivă citește $$ \ tanh (x) = x – \ frac {x ^ 3} {3} + o (x ^ 3) $$ și $$ \ mathrm {erf} (x) = \ frac {2} {\ sqrt {\ pi}} \ left (x – \ frac {x ^ 3} {3} \ right) + o (x ^ 3). $$ Înlocuind, obținem acel $$ \ tanh \ left (\ sqrt {\ frac2 \ pi} \ left (x + ax ^ 3 \ right) \ right) = \ sqrt \ frac {2} {\ pi} \ left (x + \ left (a – \ frac {2} {3 \ pi} \ right) x ^ 3 \ right) + o (x ^ 3) $$ și $$ \ mathrm {erf } \ left (\ frac x {\ sqrt2} \ right) = \ sqrt \ frac2 \ pi \ left (x – \ frac {x ^ 3} {6} \ right) + o (x ^ 3). $$ Coeficientul de echivalare pentru $ x ^ 3 $ , găsim $$ a \ approx 0.04553992412 $$ aproape de hârtia „s 0,044715 $ .