În măsura în care o înțeleg eu, energia de legare gravitațională a unei anumite distribuții de masă este negativa energiei sale gravitaționale de autopotențial.
Am încercat să calculez aceasta din urmă pentru o sferă solidă cu raza $ R $, masa $ M $ și densitatea uniformă.
Prin teorema shell (sau legea gravitațională a lui Gauss), intensitatea câmpului la o distanță $ r $ de centrul sferei este dată de
$$ \ frac {GM_ {enc}} {r ^ 2} = \ frac {G} {r ^ 2} M \ big (\ frac {r} {R} \ big) ^ 3 = \ frac {GMr} {R ^ 3} $$
unde $ M_ {enc} = M (r / R) ^ 3 $ este masa închisă într-o sferă de rază $ r $.
Potențial gravitațional la distanța $ r $ creată prin această distribuție este astfel
$$ V = – \ frac {GMr ^ 2} {2R ^ 3} $$
Energia potențialului autogravitațional este suma energiilor potențiale gravitaționale $ U \ cdot dm $ peste toate elementele de masă $ dm $ din distribuție.
Să continuăm prin integrarea shell-ului. Masa conținută în carcasa razei interioare $ r $, a razei externe $ r + dr $ este pur și simplu
$$ dm_r = 4 \ pi r ^ 2 \ cdot dr \ cdot \ rho = 4 \ pi r ^ 2 \ cdot dr \ cdot \ frac {M} {4 \ pi R ^ 3} = \ frac {3Mr ^ 2dr} {R ^ 3} $$
Energia auto-potențială a sfera este astfel
$$ \ int ^ {R} _ {0} V (r) dm_r = \ int ^ {R} _ {0} \ big (\ frac {-GMr ^ 2} { 2R ^ 3} \ big) \ big (\ frac {3Mr ^ 2dr} {R ^ 3} \ big) = \ frac {-3GM ^ 2} {2r ^ 6} \ int ^ {R} _ {0} r ^ 4dr = – \ frac {3GM ^ 2} {10R} $$
care este exact jumătate din răspunsul corect.
Am verificat de mai multe ori munca mea pentru a găsi greșeli simple, dar nu pot să găsesc sursa factorului de eroare de 2 $. Acest lucru mă face să cred că este ceva fundamental greșit cu modul în care am calculat energia.
Unde este problema?
Comentarii
- În MathJax dvs. ' se folosește \ big pentru paranteze mari, ceea ce nu funcționează. ' nu funcționează. Folosiți potrivirea \ left și \ right în schimb. \ Big este un fix size, în timp ce \ left și \ right se vor scala automat la dimensiunea necesară pentru conținutul închis al parantezelor.
Răspuns
Problema este modul în care vă formați cochilii — indiferent dacă provin din interiorul sau din exteriorul cochiliilor anterioare. Pentru energia de legare, aceasta înseamnă cantitatea de energie necesară pentru a îndepărta secvențial fiecare coajă succesivă până la infinit. Astfel, potențialul trebuie calculat în raport cu infinitul, nu cu originea; expresia dvs. pentru potențial ar sugera că fiecare coajă începe de la origine și se extinde prin masa existentă pe o rază $ r $, mai degrabă decât să se unească în jurul unui nucleu deja existent din exterior. Deci, calculați potențialul ca
$ V (r) = \ int _ {\ infty} ^ r \ frac {GM_ {enc} (r)} {x ^ 2} \ dx = – \ frac { GM_ {enc} (r)} {r}. $
Acest lucru ar trebui să rezolve factorul a doi.
Terminologia deoparte, cred că putem fi de acord asupra conceptului de mărime de energie înseamnă, deci pozitiv sau negativ nu are un impact uriaș. Pentru a obține o senzație a integralei de mai sus, să ne imaginăm o singură particulă care este trasă de gravitația mingii care se formează încă (cu raza $ r $), mai degrabă decât o coajă. Pe măsură ce particula vine din infinit, potențialul pe care îl va simți va fi potențialul gravitațional newtonian obișnuit, până la atingerea suprafeței mingii. masa $ dm $ dintr-o coajă adăugată va simți, de asemenea, același potențial; ne putem gândi la coajă ca fiind multe particule mici care vin din toate direcțiile în același timp. De fiecare dată când adăugăm o coajă în acest fel, $ r \ rightarrow r + dr $, deci $ M_ {enc} $ crește în consecință, lucru pe care îl considerăm în integral peste $ r $. Acest lucru este în contrast cu integralul cu limite $ [0, R] $ din întrebare, deoarece o astfel de integral este mai asemănătoare cu cantitatea de energie necesară pentru a „umfla” cochilii de masă spre exterior de la origine. Un astfel de proces ar necesita ca mingea să fie total permeabilă pe măsură ce cochilii se umflă la suprafață, dar dacă acesta ar fi cazul, întreaga bilă s-ar prăbuși imediat din nou din cauza lipsei sale de rigiditate.
Comentarii
- Ok. Mai întâi, de fapt, nu ' știu ce energie de legare gravitațională. Știu doar ce este energia de potențial de sine. Energia autopotențială a unui sistem de masă $ m_1, … m_N $ este suma de $ U_ {i, j} $ pe toate perechile $ (i, j) $ cu $ i < j $ unde $ U_ {i, j} = – Gm_im_j / r_ {i, j} $, $ r_ {i, j} $ fiind distanța dintre masele $ m_i $ și $ m_j $. Aceasta este ceea ce am încercat să calculez.
- În al doilea rând, integrala ta nu are ' sens pentru mine. $ M_ {enc} (r) $ ar trebui înlocuit cu $ M_ {enc} (x) $ nu?
- Josh este corect: ați luat definiția greșită a energiei de legare. Consultați acest articol Wikipedia pentru calculul complet: en.m.wikipedia.org/wiki/Gravitational_binding_energy
- @LucJ.Bourhis: De fapt, ceea ce am calculat este energia potențial auto-gravitațională, care este doar negativa energiei de legare. Am descris energia auto-potențială mai sus, adică pur și simplu energia distribuției de masă datorită propriului său câmp gravitațional.
- Am adăugat clarificări în răspuns, deoarece nu ar ' nu se potrivesc aici în comentarii. Diferența esențială în cele două cantități ale noastre este cantitatea de energie implicată în îndepărtarea tuturor biților de masă infinit de îndepărtați față de cantitatea de energie necesară pentru a împiedica prăbușirea mingii asupra ei. Prima este energia de legare gravitațională (datorită potențialului de sine), iar cea de-a doua este mai mult o măsură a rigidității minime a materiei implicate.
Răspuns
Există probleme cu modul în care calculați potențialul și cu modul în care calculați energia de legare gravitațională.
Câmpul gravitațional din interiorul sferei este radial interior și magnitudine $ GM_ {enc} / r ^ 2 = GMr / R ^ 3 $. Câmpul gravitațional din afara sferei este radial interior și de magnitudine $ GM / r ^ 2 $.
Potențialul gravitațional este munca efectuată pe unitate de masă care aduce acea masă de la infinit la $ r $.
Potențialul la o rază $ r $ în interiorul sferei este $$ V (r) = \ int _ {\ infty} ^ {R} \ frac {GM} {r „^ 2} \ dr” + \ int_ {R} ^ {r} \ frac {GMr „} {R ^ 3} \ dr” $$ $$ V (r) = – \ frac {GM} {R} – \ frac {GM} {2R} + \ frac {GMr} {2R ^ 3} $$ $$ V (r) = \ frac {GM} {2R ^ 3} (r ^ 2 – 3R ^ 3) $$
Cu toate acestea, acest lucru nu este necesar pentru a calcula energia de legare a unei sfere, deoarece energia de legare gravitațională este suma energiilor necesare pentru a elimina cojile de masă de la suprafața unei sfere la infinit ( imaginați-vă că dezlipiți straturile de la suprafață până când ajungeți în centru).
Potențialul la suprafața unei sfere de masă $ M „$ este $ -GM” / R „$, unde densitatea constantă $ \ rho = 3M „/ 4 \ pi R” ^ 3 $. Astfel $$ V (R „) = – \ frac {4 \ pi G \ rho} {3} R” ^ 2 $$ și energia de legare este egală la $ V (R „) $ înmulțit cu masa unui shell, $ dM = 4 \ pi R „^ 2 \ rho \ dR” $, integrat peste cochilii de masă de la zero la raza finală a stelei.
$$ U = – \ int_ {0} ^ {R} \ frac {4 \ pi G \ rho} {3} R „^ 2 \ 4 \ pi R” ^ 2 \ rho \ dR „$$ $$ U = – \ frac {16 \ pi ^ 2 G \ rho ^ 2 R ^ 5} {15} = – \ frac {3GM ^ 2} {5R} $$