Ce este, în termeni simpli, invarianța gabaritului?

Motivul pentru care este atât de greu să înțelegi ce înseamnă fizicienii atunci când vorbesc despre „libertatea ecartamentului” este că există cel puțin patru definiții inechivalente pe care le-am văzut folosite :

• Definiție 1: O teorie matematică are o libertate de măsurare dacă unele dintre gradele matematice de libertate sunt „redundante” în sensul că două expresii matematice diferite descriu exact același sistem fizic . Apoi, gradele de libertate redundante (sau „dependente de ecartament”) sunt „nefizice” în sensul că niciun experiment posibil nu le-ar putea determina în mod unic valorile, chiar și în principiu. Un exemplu celebru este faza generală a unei stări cuantice – este complet nemăsurabilă și doi vectori în spațiul Hilbert care diferă doar printr-o fază generală descriu exact aceeași stare. Un alt exemplu, așa cum ați menționat, este orice fel de potențial care trebuie fi diferențiat pentru a produce o cantitate fizică – de exemplu, o funcție de energie potențială (deși unele dintre celelalte exemple ale dvs., cum ar fi temperatura, nu sunt exemple de mărimi dependente de gabarit, deoarece există un sens fizic bine definit al temperaturii zero).

  Pentru sistemele fizice care sunt descrise de structuri matematice cu o libertate a ecartamentului, cel mai bun mod de a defini matematic o configurație fizică specifică este ca o clasă de echivalență a funcțiilor dependente de ecartament care diferă doar prin gradele lor de libertate ale ecartamentului De exemplu, în mecanica cuantică, o stare fizică nu este de fapt descrisă de un singur vector în spațiul Hilbert, ci mai degrabă de o clasă de echivalență a vectorilor care diferă de un mul scalar global tiple. Sau mai simplu, printr-o linie de vectori în spațiul Hilbert. (Dacă doriți să obțineți fantezie, spațiul stărilor fizice se numește „spațiu Hilbert proiectiv”, care este setul de linii din spațiul Hilbert, sau mai exact o versiune a spațiului Hilbert în care vectorii sunt identificați dacă sunt proporționali reciproc.) Presupun că ați putea defini și „energiile potențiale fizice” ca seturi de funcții ale energiei potențiale care diferă doar printr-o constantă aditivă, deși în practică acest tip de exagerare. Aceste clase de echivalență elimină libertatea gabaritului prin construcție, și așa sunt „invariante de ecartament”.

  Uneori (deși nu întotdeauna) există „o operație matematică simplă care elimină toate gradele de libertate redundante păstrând în același timp toate cele fizice. De exemplu, având în vedere o energie potențială, se poate lua gradientul pentru a produce un câmp de forță, care este direct măsurabil.Și în cazul clasicului E & M, există anumite combinații liniare de derivate parțiale care reduc potențialele la măsurabile direct $ {\ bf E} $ și $ {\ bf B} $ câmpuri fără a pierde nicio informație fizică. Cu toate acestea, în cazul unui vector într-un spațiu Hilbert cuantic, nu există nicio operație derivată simplă care să înlăture libertatea de fază fără a pierde nimic altceva.

• Definiția 2: Același lucru ca Definiția 1, dar cu cerința suplimentară ca gradele de libertate redundante să fie locale . Ceea ce înseamnă asta este că există un fel de operație matematică care depinde de o linie arbitrară funcția $ \ lambda (x) $ pe spațiu-timp care lasă invariante gradele fizice de libertate (adică cantitățile măsurabile fizic). Exemplul canonic, desigur, este că dacă luați orice funcție lină $ \ lambda ( x) $, apoi adăugând $ \ partial_ \ mu \ lambda (x) $ la patru potențiale electromagnetice $ A_ \ mu (x) $ lasă cantitățile fizice ($ {\ bf E} $ și $ {\ bf B } $ câmpuri) neschimbat. (În teoria câmpurilor, cerința ca „gradele fizice de libertate” să fie neschimbate este formulată ca necesitând ca densitatea Lagrangiană $ \ mathcal {L} [\ varphi (x)] $ să fie neschimbată , dar alte formulări sunt posibile.) Această definiție este în mod clar mult mai strictă – exemplele date mai sus în Definiția 1 nu contează în această definiție – și de cele mai multe ori când fizicienii vorbesc despre „libertatea ecartamentului” aceasta este definiția pe care o înseamnă. În acest caz, în loc să aveți doar câteva grade de libertate redundante / nefizice (cum ar fi constanta generală pentru energia dvs. potențială), aveți un număr continuu infinit. (Pentru a face lucrurile și mai confuze, unii oameni folosesc expresia „simetrie globală a ecartamentului” în sensul Definiției 1 pentru a descrie lucruri precum libertatea fazei globale a unei stări cuantice, ceea ce ar fi în mod clar o contradicție în termeni în sensul Definiției 2.)

  Se pare că, pentru a rezolva acest lucru în teoria cuantică a câmpului, trebuie să vă schimbați în mod substanțial abordarea cuantificării (din punct de vedere tehnic, trebuie să „stabiliți calea integrală a căii voastre”) pentru pentru a elimina toate gradele nefizice de libertate. Când oamenii vorbesc despre cantități „gauge invariante” conform acestei definiții, în practică ele înseamnă de obicei derivatele măsurabile fizic direct, cum ar fi tensorul electromagnetic $ F _ {\ mu \ nu} $, care rămân neschimbate („invariante”) sub orice transformare gauge . Dar, din punct de vedere tehnic, există și alte cantități invariante de ecartament, de ex. o suprapunere cuantică uniformă de $ A_ \ mu (x) + \ partial_ \ mu \ lambda (x) $ peste tot posibilul $ \ lambda (x) $ pentru un anumit $ A_ \ mu (x). $

  Consultați postarea de blog a lui Terry Tao pentru o explicație excelentă a acestui al doilea simț al simetriei ecartamentului dintr-o perspectivă mai matematică.

• Definiția 3: se spune uneori că un Lagrangian are o „simetrie gauge” dacă există o operație care depinde de o funcție continuă arbitrară pe spațiu-timp care o lasă invariantă, chiar dacă gradele de libertate sunt modificate sunt măsurabile fizic.

• Definiția 4: pentru o „teorie a gabaritului de rețea” definită pe hamiltonienii rețelei locale, există un operator susținut pe fiecare sit de rețea care navetează cu Hamiltonianul. În unele cazuri, acest operator corespunde unei mărimi măsurabile fizic.

Cazurile din definițiile 3 și 4 sunt puțin subtile din punct de vedere conceptual, așa că nu voi merge aici – pot să le adresez în continuare -up întrebare dacă cineva este interesat.

Actualizare: Am primit răspunsuri scrise dacă există vreun sens în care gradele de libertate pot fi măsurate fizic în cazul hamiltonian și cazul Lagrangian .

Comentarii

• Răspuns excelent! Acesta este unul dintre cele mai bune explanturi (într-un singur loc) pe care le-am întâlnit încă !!!! : D
• Am pus întrebarea de urmărire pe subtilitățile cuprinse între # 3 și # 4
• physics.stackexchange.com/q/ 267175/122066
• @ user122066 Consultați actualizarea de la sfârșitul răspunsului meu pentru linkuri către urmăririle mele.

Am înțeles acest lucru numai după ce am luat o clasă de relativitate generală (GR), geometrie diferențială și teoria câmpului cuantic (QFT). Esența este doar o schimbare a sistemelor de coordonate care trebuie reflectată în derivată. Voi explica ce vreau să spun.

Aveți o teorie care este invariantă sub un anumit grup de simetrie. Deci, în electrodinamica cuantică aveți o densitate Lagrangiană pentru fermioni (încă nu există fotoni) $$ \ mathcal L = \ bar \ psi (x) [\ mathrm i \ gamma ^ \ mu \ partial_ \ mu – m] \ psi (x) \,. $$ Acest $ \ bar \ psi $ este doar $ \ psi ^ \ dagger \ gamma ^ 0 $, important este că este conjugat complex.Faptul că este un vector cu patru vectori în spațiul de rotire nu este deloc îngrijorător aici. Ceea ce se poate face acum este să transformi $ \ psi \ în \ exp (\ mathrm i \ alpha) \ psi $ cu ceva $ \ alpha \ în \ mathbb R $. Apoi $ \ bar \ psi \ to \ bar \ psi \ exp (- \ mathrm i \ alpha) $ și Lagrangianul vor fi invarianți, deoarece derivata nu acționează asupra funcției exponențiale, este doar un factor de fază. Acolo ai o simetrie globală.

Acum promovează simetria la una locală, de ce nu? În loc de un $ \ alpha $ global, acum există $ \ alpha (x) $. Aceasta înseamnă că alegem un $ \ alpha $ diferit în fiecare punct din spațiu-timp. Problema este că atunci când ne transformăm acum, se preia $ \ partial_ \ mu \ alpha (x) $ cu lanțul și regulile de diferențiere ale produsului. Aceasta pare a fi o complicație tehnică la început.

Există o modalitate mai grăitoare de a vedea acest lucru:
Ia o derivativă a unui câmp $ \ psi (x) $. Aceasta înseamnă să luați un coeficient de diferență, cum ar fi $$ \ partial_ \ mu \ psi (x) = \ lim _ {\ epsilon \ to 0} \ frac {\ psi (x + \ epsilon \ vec e_ \ mu) – \ psi (x) } {\ epsilon} \,. $$ Acest lucru funcționează foarte bine cu o transformare globală. Dar odată cu transformarea locală, practic scădeți două valori calibrate diferit. În geometria diferențială, aveți în vedere că spațiile tangente din diferitele puncte ale colectorului sunt diferite și, prin urmare, nu se poate compara vectorii în funcție de componentele lor. Este nevoie de o conexiune cu coeficienți de conexiune pentru a furniza transport paralel . Este similar aici. Acum am promovat $ \ phi $ de la a trăi pe $ \ mathbb R ^ 4 $ la a trăi în pachetul $ \ mathbb R ^ 4 \ times S ^ 1 $ întrucât avem un grup de ecartament U (1). Prin urmare, avem nevoie de un fel de conexiune pentru a transporta $ \ phi $ transformat de la $ x + \ epsilon \ vec e_ \ mu $ la $ x $. Aici trebuie introdus o conexiune care este $$ \ partial_ \ mu \ to \ mathrm D_ \ mu: = \ partial_ \ mu + \ mathrm i A_ \ mu \,. $$

Dacă îl conectați la densitatea Lagrange pentru ao face $$ \ mathcal L = \ bar \ psi (x) [\ mathrm i \ gamma ^ \ mu \ mathrm D_ \ mu – m] \ psi (x) $$ și apoi alegeți $ A_ \ mu = \ partial_ \ mu \ alpha $ veți vedea că densitatea Lagrangiană rămâne invariantă chiar și sub transformări locale, deoarece coeficientul de conexiune va scădea doar termenul nedorit din regula produsului / lanțului.

În relativitatea generală, aveți simetrie sub difeomorfism arbitrar, prețul este că trebuie să schimbați derivata într-o conexiune, $$ \ partial \ în \ nabla: = \ partial + \ Gamma + \ cdots \,. $$

Deoarece ați menționat că provin dintr-un mediu matematic, s-ar putea să vă fie plăcut să luați un răspuns în termeni de clase de echivalență.

O teorie a ecartamentului este teoria fizică în care mărimile observabile, ca și în lucrurile pe care le-ai putea măsura cu un experiment dat echipament de măsurare perfect, sunt clase de echivalență într-un spațiu vectorial.

cel mai frecvent exemplu. Teoriile fizicii moderne sunt întotdeauna scrise ca fascicule de fibre în care varietatea de bază este spațiu-timp, iar fibrele sunt un spațiu tangent asociat cu fiecare punct (numit eveniment) din spațiu-timp. E & M în spațiu liber (fără taxe prezente) este descris prin asocierea unui obiect cu 4 componente numit $ A _ {\ mu} $ la fiecare punct spațiu-timp, $ x $ și care necesită $ A _ {\ mu} (x) $ pentru a satisface ecuațiile lui Maxwell.

Cu toate acestea, cantitățile observabile, la fel de măsurabile, în natură sunt câmpurile electrice și magnetice, $ \ vec {E} (x) $ și $ \ vec {B} (x) $. Acestea sunt derivate din $ A _ {\ mu} (x) $ folosind definiția dată în acest wiki (uitați-vă la elementele matricei lui $ F _ {\ mu \ nu} (x) $).

Se pare că transformarea $ A _ {\ mu} (x) \ rightarrow A _ {\ mu} (x) + \ partial _ {\ mu} f (x) $ pentru orice funcție de două ori diferențiată $ f (x) $ dă aceleași valori ale câmpurilor observabile $ \ vec {E} (x) $ și $ \ vec {B } (x) $. Deci există o relație de echivalență

$ A _ {\ mu} (x) \ approx A _ {\ mu} (x) + \ partial _ {\ mu} f (x) $ .

Și, în general, teoriile gabaritului sunt teorii în care mărimile observabile sunt funcții pe clase de echivalență ale unor vectori într-un spațiu vectorial. în acest caz vectorii noștri erau $ A _ {\ mu} (x) $ (aceștia sunt vectori în spațiul funcțional al funcțiilor de două ori diferențiate pe spațiu-timp), iar relația noastră de echivalență a fost dată mai sus.

În ceea ce privește finalul dvs. întrebarea dacă lucrurile precum energia totală a sistemului fiind determinată doar până la factorul constant în orice cadru de referință face din dinamica newtoniană o teorie a ecartamentului. Răspunsul este nu, nu chiar. Practic, dacă nu vorbiți despre o teorie de câmp, un fizician nu va câștiga acest lucru o teorie a ecartamentului.

Comentarii

• Răspuns frumos, dar poate ar fi mai precis să spunem că observabilele într-o teorie a ecartamentului sunt funcții pe un set de clase de echivalență a [lucruri precum conexiuni și secțiuni de pachete] echivalența modului de măsurare.Frustrarea teoriei gabaritului este că nu putem ‘ să știm multe cazuri în care putem descrie aceste funcții, cu excepția faptului că oferim funcții pe conexiuni și secțiuni.
• Ai dreptate, limba mea este cam neglijentă. Ar trebui să citească ceva de genul ” observabilele sunt funcții pe clasele de echivalență ale unor spații vectoriale. ”

Invarianța gabaritului este pur și simplu o redundanță în descrierea unui sistem fizic. Adică putem alege dintr-un număr infinit de potențiale vectoriale în E & M.

De exemplu, un număr infinit de potențiale vectoriale poate descrie electromagnetismul prin transformarea de mai jos

$$ A (x) \ to A_ \ mu (x) + \ partial_ \ mu \ alpha (x) $$

Alegerea unui ecartament specific (fixarea ecartamentului) poate face rezolvarea o problemă fizică mult mai ușoară decât ar fi dacă nu ați remedia un ecartament.

În mod normal, se alege calibru Coulomb: $ \ nabla \ cdot A = 0 $.

Ar trebui fiți subliniat că invarianța ecartamentului NU este o simetrie a naturii și nu puteți măsura nimic asociat cu aceasta.

Invarianța ecartamentului este cel mai util în teoria câmpului cuantic și este crucială în dovedirea renormalizabilității. În plus, elementele S-matrice din QFT necesită o Lagrangiană locală și, prin urmare, o invarianță gauge.

Ca exemplu de ce am introduce vectorul potetial $ A ^ \ mu $ ia în considerare efectul Aharonov-Bohm care apare din cauza proprietățile topologice globale ale potențialului vectorial. Există încă un alt motiv pentru care invarianța gabaritului face viața ușoară, reducând gradele de libertate ale fotonului în așa-numitul gabarit covariant sau $ R_ \ xi $, cauzalitate, etc. pentru a lucra prin teoria câmpului cuantic. : D

Comentarii

• @ user122066 Pentru referințe viitoare, dacă trebuie să căutați un simbol, consultați această întrebare tex.SE . Dar numai anumite comenzi (La) TeX sunt acceptate în MathJax. Consultați documentația MathJax pentru o listă.
• Pentru toate referințele MathJax, verificați acest lucru: Tutorial de bază MathJax și referință rapidă
• @ user122066: ați scris: ” Acum este o proprietate absolut crucială a fizicii moderne și s-ar putea foarte bine să fim pierduți fără ea! ” Cred că exagerați aici și aceasta este ceea ce face ca o astfel de expresie să fie ” înspăimântător „. Nu există nicio dovadă că trebuie să lucrăm numai cu ” teorii de calibrare „. Alte abordări sunt doar neexplorate.
• @VladimirKalitvianski destul de corect. Există relații de recursivitate legate de matricea S care evită calibrele, dar ‘ este foarte greu de imaginat că se descoperă ceva care face ca conputarea să fie mai ușoară decât invarianța gabaritului. Ai totuși dreptate. Șterg această parte
• (Utilă și pentru căutarea simbolului TeX – Detexify .)

Aceste calcule depind foarte des de diferența dintre două valori, nu de valorile concrete în sine . Prin urmare, sunteți liber să alegeți un zero pe placul dvs. Este acesta un exemplu de invarianță a ecartamentului în același sens ca exemplele absolvite de mai sus?

Da, într-adevăr, în definiția cea mai generală a invarianței ecartamentului, este ceea ce fizicienii numesc o invarianță globală a ecartamentului . Mai multe despre asta mai jos.

Dacă ar trebui să scriu un răspuns cu o propoziție la titlul dvs., ar fi acesta: p>

Invarianța ecartamentului este definirea corectă a legii fizice sub o hartă cotă care condensează o configurație / spațiu parametru / coordonate pentru un sistem fizic într-un set de clase de echivalență a configurațiilor echivalente fizic. >

Aceasta este în același sens că, de exemplu, produsul coset este bine definit sub harta care distribuie subgrupul normal al unui grup. Fizica unei configurații este independentă de alegerea membrului clasei de echivalență .

În termeni cei mai neobișnuiți, invarianța gabaritului este pur și simplu o afirmație că există redundanță într-o descriere matematică a unui sistem fizic. Altfel spus, sistemul are o simetrie , o invarianță față de un grup de transformări.

O simetrie globală a ecartamentului este unul în care spațiul de configurare este un produs cartezian simplu ( ie un pachet de fibre triviale) al setului de clase de echivalență distincte fizic și un parametru redundant, ca și în cazul diferenței dvs. între exemplul de două valori. Dacă descrierea fizică este o descriere lagrangiană, atunci aici apare teorema lui Noether și identifică cantitățile conservate, câte una pentru fiecare astfel de parametru redundant.Grupul de ecartament, adică grupul de simetrii, afectează în mod egal toate clasele de echivalență (fibre). Scăderea unui potențial constant dintr-un potențial electrostatic este o astfel de simetrie și un avans uriaș pentru Civilizația Corvid, întrucât lasă corbii să stea pe linii electrice de înaltă tensiune și să tragă fericiți împreună, discutând ultimele lor gânduri despre teoriile ecartamentului și declarând că „ Niciodată!” trebuie să ne temem că adăugarea globală de 22kV la potențialul electrostatic poate schimba fizica sistemului din care aparținem.

Cu toate acestea, de obicei, atunci când fizicienii vorbesc despre o teorie a ecartamentului, aceștia înseamnă una în care grupul de simetrie poate acționa într-un mod mai general, cu un membru diferit al grupului care acționează în fiecare punct al spațiului de configurare. Pachetul de fibre corespunzător nu mai este banal. Deși ați dorit un exemplu mai simplu decât electrodinamica, nu cred că există. Faza adăugată funcției de undă electronică poate fi orice funcție lină a coordonatelor, iar termenii suplimentari care apar din regula Leibniz se aplică derivatelor din ecuația de mișcare a funcției de undă (Dirac, Schrödinger) sunt absorbite exact în partea închisă a potențialului EM de o formă. De altfel, ca o parte, îmi place întotdeauna să vizualizez potențialul EM în spațiul Fourier, ceea ce putem face cu restricții rezonabile ( de exemplu un postulat că „ne gândim doar la distribuții temperate, de exemplu) , deoarece partea spațială a părții redundante a celor patru potențiale este apoi componenta sa de-a lungul vectorului de undă ( ie gândit ca un vector 3) și numai componenta normală a vectorului de undă contează fizic: este singura parte care supraviețuiește $ A \ mapsto \ mathrm {d} A = F $.

Există două lucruri pe care cred că ar trebui să le luați din exemplul EM:

1. Chiar dacă practic duce la destul de puțină complexitate suplimentară, din punct de vedere conceptual, este doar un mic salt de la exemplul simetric global de ecartament global; permitem pur și simplu simetriilor să acționeze local în loc să acționeze asupra tuturor punctelor spațiului de configurare în egală măsură;

2. Luând o direcție din electromagnetismul experimental experimental , postulăm că această gabarit invarianță m Ar putea fi relevant mai general și, astfel, ne uităm la prezența sa în alte fenomene fizice. Aceasta nu este altceva decât o faptă motivată de o bănuială. Experimental , constatăm că acesta este un lucru fructuos de făcut. În fizică, nu există o perspectivă mai profundă decât rezultatele experimentale.

În sfârșit, ar trebui să menționez că noțiunile de ecartament / pachet de fibre sunt utile și atunci când declarăm artificial clase de echivalență a configurațiilor bazate pe nevoile problemei noastre , chiar dacă există o diferență fizică între membrii clasei de echivalență. Unul dintre cele mai frumoase exemple ale acestui mod de gândire este Montgomery „s ” Gauge Theory of the Falling Cat „. Studiem clase de echivalență a configurației pisicii care sunt echivalente modulo izometrie euclidiană adecvată pentru a formula un spațiu de formă al pisicii , care, în tratamentul standard în care pisica este considerată un robot din două secțiuni, cu articulație cu bilă și soclu fără răsucire, se dovedește a fi plan proiectiv real $ \ mathbb {RP} ^ 2 $. Întregul spațiu de configurare este apoi un pachet de fibre cu spațiul de formă $ \ mathbb {RP} ^ 2 $ ca bază și grupul $ SO (3) $ care definește orientările ca fibră Pisica poate răsturna în timp ce conservă impulsul unghiular folosind deformări ciclice de formă proprie datorită curburii conexiunii care apare din noțiunea de transport paralel implicată de conservarea impulsului unghiular.

Aici este cel mai elementar exemplu de simetrie gauge la care mă pot gândi.

Să presupunem că doriți t Discutați despre câteva furnici care se plimbă pe o bandă Möbius. Pentru a descrie pozițiile furnicilor, este convenabil să ne imaginăm tăierea benzii de-a lungul lățimii sale, astfel încât să devină un dreptunghi. Apoi îmi puteți spune unde este o furnică spunându-mi trei lucruri:

• Her latitude – poziția ei de-a lungul lățimii dreptunghiului.
• Her longitudine – poziția ei de-a lungul lungimii dreptunghiului.
• orientarea ei – indiferent dacă se agață de suprafața superioară sau inferioară a dreptunghiului.

Înțelesul longitudinii depinde de locația acea tăietură imaginară. Dacă mutați tăietura, toate lungimile furnicilor se modifică. Nu poate exista niciun motiv fizic pentru a prefera o tăietură peste alta, deoarece puteți glisa banda de-a lungul lungimii sale fără a-i schimba forma sau a afecta comportamentul furnicilor. cuvinte, nu poate exista o noțiune semnificativă fizic de longitudine absolută, deoarece banda are o simetrie de traducere .

În mod similar, sensul orientării depinde de modul în care etichetați suprafețele a dreptunghiului ca sus și jos.Nu poate exista niciun motiv fizic pentru a prefera o etichetare peste alta, deoarece puteți schimba cele două suprafețe ale benzii fără a-i schimba forma sau a afecta comportamentul furnicilor. Schimbul respectiv este un exemplu de simetrie gauge . Are câteva caracteristici izbitoare care nu sunt împărtășite de simetriile obișnuite. Să aruncăm o privire asupra uneia dintre ele.

Pentru fiecare simetrie a unei situații, există un aspect al situației care poate fi descris în mai multe moduri, fără motive fizice pentru a alege între ele. Uneori, totuși, este util să faci o alegere și să te ții de ea, chiar dacă alegerea este lipsită de sens fizic. În discuțiile despre oameni care navighează pe suprafața Pământului, de exemplu, cam toată lumea pe care o știu definește longitudinea folosind o tăietură care trece prin Greenwich, Londra, mai ales pentru că unii oameni care a locuit acolo a preluat lumea și a tipărit o mulțime de diagrame nautice.

Dacă am fi urmărit furnicile pe o bandă cilindrică obișnuită, ne-am putea stabili pe o noțiune de orientare la fel de ușor. Vom picta o parte a benzii turcoaz pentru „partea de sus” și cealaltă parte albastră pentru „partea de jos”, și asta ar fi atât. Pe o bandă Möbius, lucrurile sunt mai complicate, deoarece o bandă Möbius are doar o parte! încercați să pictați o suprafață turcoaz și cealaltă suprafață albastră, începând dintr-o mică regiune a benzii și deplasându-vă spre exterior, zonele turcoaz și albastru se vor ciocni inevitabil.

Într-o situație cu o simetrie obișnuită, cum ar fi o simetrie de traducere, nu puteți alege între descrieri posibile într-un mod care să aibă un sens fizic. Într-o situație cu o simetrie gauge, este posibil să nu fiți chiar capabil să aleagă între descrieri posibile într-un mod care să fie consecvent la nivel global! Cu toate acestea, puteți alege oricând descrieri consistente în regiuni mici ale spațiului. Acesta este motivul pentru care simetriile ecartamentului sunt adesea numite simetrii locale .

După ce am încercat o descriere lungă și elementară a ceea ce este o simetrie ecartament, aș vrea să ofer și eu una scurtă, sofisticată. În cele mai simple modele noastre fizice, evenimentele au loc pe o varietate netedă numită spațiu sau spațiu-timp . O simetrie obișnuită este un difeomorfism al spațiu-timp care păstrează posibilitatea fizică a evenimentelor. În modele mai sofisticate, evenimentele au loc pe un pachet de fibre în spațiu-timp. O simetrie gauge este un automorfism al fasciculului de fibre care păstrează posibilitatea fizică a evenimentelor.

În exemplul nostru elementar, banda Möbius joacă rolul de spațiu, iar furnicile se plimbă în jurul benzii pachetul de orientare. Pachetul de orientare are un automorfism care schimbă cele două suprafețe ale benzii.

În electromagnetismul clasic, spațiu-timp Minkowski sau o altă varietate lorentziană joacă rolul de spațiu-timp, iar câmpul electromagnetic este reprezentat de un conexiune pe un pachet de cercuri peste spațiu-timp. În imaginea Kaluza-Klein , particulele încărcate se mișcă în jurul pachetului de cercuri, zburând în linii drepte ale căror „umbre” în spațiu-timp sunt căile în spirală pe care le vedem. Pachetul de cercuri are o familie de automorfisme care rotesc fibrele cercului, pe care oamenii fanteziști le numesc $ \ operatorname {U} (1) $ simetrie gauge. Această imagine generalizează la toate teoriile clasice Yang-Mills.

În imaginea Palatini a relativității generale, o varietate netă de 4 $ -dimensională joacă rolul spațiu-timp, iar câmpul gravitațional este reprezentat de un $ \ operatorname {SO} (3,1) $ conexiune pe pachetul de cadre al colectorului. Bănuiesc că simetriile de gabarit ale gravitației linearizate pe care le-ați menționat sunt automorfisme ale pachetului de cadre.

În imaginea relativității generale a lui Einstein, simetriile sunt diferențiale ale spațio-timpului. Le clasific ca simetrii obișnuite, decât simetriile ecartamentului. După cum a menționat tparker , totuși, nu toată lumea folosește termenul „simetrie ecartament” în același mod.

Comentarii

• Minunat! Ideea trupei M ö bius este doar frumoasă și surprinde într-adevăr toată esența ideilor mult mai complicate. Ce Îmi place și despre modul în care fluxul de idei arată modul în care simplul se generalizează perfect.
• Hei, ce ‘ este cu cele trei voturi? Nu știu ce ‘ este greșit cu ascunse pe acest site, acesta este cel mai bun răspuns la această întrebare de până acum, având în vedere cerințele OP ‘. Oricum, unul dintre voturi este al meu.
• @WetS avannaAnimalakaRodVance, nu m-aș îngriji ‘ de numărul de voturi. Dacă întâlnești pe cineva care ar putea beneficia de acest răspuns, îl poți conecta direct la acesta.Ca referință, funcționează la fel de bine în partea de jos a listei de răspunsuri sortate prin vot ca în partea de sus.

Există o interpretare fizică foarte interesantă a invarianței gabaritului în cazul simetriei $ U (1) $. Simetria ecartamentului este singura modalitate de a obține interacțiunea invariantă a Lorentz a materiei (în sens larg – câmpul de rotire arbitrară) și a fotonilor (fiind particule fără masă cu helicitate 1), care scade ca $ \ frac {1} {r ^ { 2}} $ la distanțe mari (această afirmație nu este altceva decât legea Coulomb). Pe scurt, 4-potențiale $ A _ {\ mu} $, care oferă legea pătrată inversă a interacțiunilor EM, nu este covariantă Lorentz, iar manifestarea invarianței Lorentz a interacțiunii duce la conservarea locală a încărcăturii.

Într-adevăr, se poate demonstra din considerații foarte generale, bazate pe simetria spațiului-timp, că fotonii sunt prezentați de 4-tensorul antisimetric $ F _ {\ mu \ nu} $, numit Tensor de forță EM . Este Lorentz covariant formal (prin utilizarea manipulărilor naive cu indici tensorali) și prin construcție (ca câmp care reprezintă particulele cu helicitate 1), adică sub Transformarea Lorentz dată de matricea $ \ Lambda _ {\ mu} ^ {\ \ nu} $ este transformată ca $$ F _ {\ mu \ nu} \ în \ Lambda _ {\ mu} ^ {\ \ alpha} \ Lambda _ {\ nu} ^ {\ \ beta} F _ {\ alpha \ beta} $$ Apoi, să presupunem că avem câmpuri de materie $ \ psi $ și discutăm o interacțiune a materiei cu fotonii. Cel mai evident mod de a obține o astfel de interacțiune este să o obținem prin construind toate convoluțiile posibile de $ F _ {\ mu \ nu} $ cu câmpuri de materie și obiecte Lorent-covariante (matrici Dirac, conexiune Levi-Civita etc.). Să presupunem că, din experiment, știm că interacțiunea scade ca $ \ frac {1} {r ^ {2}} $ la distanță mare. Din păcate, acest lucru este imposibil, dacă folosim $ F _ {\ mu \ nu} $. Motivul formal este că propagatorul acestui câmp, care arată legea interacțiunii, scade mai repede decât $ \ frac {1} {r ^ {2}} $. Acest lucru se datorează faptului că doi indici și antisimetrie de $ F _ {\ mu \ nu} $.

Putem face câteva indicii și putem introduce obiectul $ A _ {\ mu} $ cu un singur indice, numit 4-potențial : $$ F _ {\ mu \ nu} = \ partial _ {\ mu} A _ {\ nu} – \ partial _ {\ nu} A _ {\ mu} $$ Interacțiunile sunt acum construite prin convoluții de $ A_ { \ mu} $ cu câmpuri de materie și alte obiecte covariante.

Desigur, avem nevoie ca $ A _ {\ mu} $ să reprezinte particule de helicitate 1 fără masă, precum și $ F _ {\ mu \ nu} $. Din păcate, această cerință conduce la afirmația că 4-potențialul nu este covariant Lorentz (deși formal este, desigur). Tocmai, sub Lorentz câmpul de transformare $ A _ {\ mu} $, care se presupune că reprezintă particule fără masă helicitate 1, este schimbat ca $$ \ tag 1 A _ {\ mu} \ în \ Lambda _ {\ mu} ^ {\ \ nu} A _ {\ nu} + \ partial _ {\ mu} \ varphi $$ Vedem că nu este covariantă Lorentz. Lagrangianul gratuit pentru $ A _ {\ mu} $, care este doar $$ L = – \ frac { 1} {4} F _ {\ mu \ nu} F ^ {\ mu \ nu}, $$ este Lorentz invariant.

Dar există o modalitate de a păstra invarianța Lorentz a interacțiunilor. Acest mod este de a construiți-le pentru a fi invariante în transformare $ A _ {\ mu} \ în A _ {\ mu} + \ partial _ {\ mu} \ varphi $. Exact, amplitudinea interacțiunii $ M _ {\ mu_ {1} … \ mu_ {n}} (p_ {i}, \ epsilon_ {j} (k_ {j})) $, unde $ \ epsilon $ sunt vectori de helicitate fotonică (polarizare), $ p_ {i} $ sunt momente de interacțiune particule și $ k_ {j} $ fiind momenta fotonilor), trebuie să b e invariant în transformare $$ \ tag 2 \ epsilon _ {\ mu} (p) \ to \ epsilon _ {\ mu} (p) + \ alpha p _ {\ mu} $$ În limbajul formal, așa cum poate fi arătat de tratarea proceselor cu emisie de fotoni moi (fotoni cu momente aproape zero), aceasta înseamnă că trebuie să existe o lege de conservare a cuplajelor de materie $ g_ {i} $: $$ g_ {1} + g_ {2} + … = \ text {const} $$ Aceasta nu este altceva decât legea conservării taxelor. Împreună cu $ (2) $, aceasta nu este altceva decât $ U (1) $ simetrie gauge.

Deci, vedem că invarianța Lorentz a interacțiunilor fotonilor cu materia prin legea pătrată inversă duce la invarianța gauge. Analogic se poate argumenta principiul echivalenței pentru cazul interacțiunii gravitoniilor cu toate câmpurile.

Teoriile ecartamentului descriu conectivitatea un spațiu cu dimensiuni suplimentare mici, simetrice

Începeți cu un cilindru infinit (produsul direct al unei linii și al unui cerc mic). Cilindrul poate fi răsucit. Pentru a evita apelul la concepte pe care „încerc să le explic, voi spune doar că cilindrul este realizat din plasă de sârmă: cercuri distanțate uniform lipite pe fire care o lungesc. Firele lungi se pot roti ca o unitate, introducând o răsucire unghiulară între fiecare pereche de cercuri adiacente. Este clar că orice astfel de configurație poate fi deformată continuu în oricare alta: toți acești cilindri sunt echivalenți din perspectiva furnicii proverbiale care se târăște pe ei.

Înlocuiți linia cu o buclă închisă, astfel încât produsul să fie un tor (și gândiți-vă la tor ca la o gogoasă cu plasă, chiar dacă variați planul cercurilor mici astfel încât să rupă tehnic analogia). Orice porțiune a gogoșei, care nu poate fi deformată, poate fi deformată în aceeași porțiune a oricărei alte gogoși, dar gogoșile în ansamblu nu pot fi, deoarece răsucirea netă din jurul gogoșei nu poate fi modificată. Clasele de gogoși echivalente sunt complet caracterizate de această răsucire netă, care este inerent nelocală.

Înlocuiți bucla (nu cercul mic) cu o varietate de două sau mai multe dimensiuni. Este adevărat, deși nu este evident, că partea fizică a conexiunii este complet dată de răsucirea integrată în jurul tuturor buclelor închise ( buclele Wilson ).

$ A $ și $ F $ cuantifică conectivitatea

În cazul discret, conexiunea poate fi descrisă cel mai simplu dând răsucirea între cercurile adiacente. În limita de continuum, aceasta devine o „gradient de răsucire” la fiecare cerc. Acesta este $ A_ \ mu $, așa-numitul potențial vectorial.

Orice deformare continuă poate fi descrisă de un câmp scalar $ \ phi $ reprezentând suma pe care fiecare cerc o are este răsucit (față de oriunde a fost înainte). Aceasta modifică $ A_ \ mu $ cu gradientul de $ \ phi $, dar nu modifică nicio mărime fizică (buclă integrală).

Descrierea din termenii buclelor Wilson, $ \ oint_ \ gamma A \ cdot \, \ mathrm dx $, este mai elegant, deoarece include doar cantități semnificative din punct de vedere fizic, dar este nelocal și extrem de redundant. Dacă spațiul este pur și simplu conectat, puteți evita r edundanță și nelocalitate prin specificarea răsucirii numai în jurul buclelor diferențiale, deoarece buclele mai mari pot fi construite din ele. Așa-numitul tensor de câmp, $ \ partial_ \ nu A_ \ mu – \ partial_ \ mu A_ \ nu = F _ {\ mu \ nu} $, vă oferă exact acest lucru.

(Dacă spațiul este nu pur și simplu conectat, puteți totuși să scăpați de buclele diferențiale plus o răsucire netă pentru fiecare element al unui grup generator al grupului fundamental . Torus a fost desigur un exemplu simplu în acest sens.)

Forța provine din efectul Aharonov – Bohm

Luați în considerare un câmp scalar definit pe întregul spațiu (spre deosebire de câmpurile anterioare, acesta ia o valoare la fiecare punct de pe fiecare cerc). Câmpul este zero peste tot, cu excepția a două grinzi înguste care diverg dintr-un punct și se reconvergă în altă parte. (Poate că sunt reflectate de oglinzi; poate că spațiul este curbat pozitiv; nu contează.)

Cu excepția cazului în care câmpul este constant între cercuri, comportamentul de interferență al grinzilor va depinde de diferență în răsucirea de-a lungul celor două cărări. Această diferență este doar integralul în jurul buclei închise formate de căi.

Acesta este efectul Aharonov – Bohm (generalizat). Dacă îl restrângeți la căi diferite și utilizați $ F _ {\ mu \ nu} $ pentru a calcula efectul asupra interferenței, obțineți legea forței electromagnetice.

Puteți descompune câmpul în componente Fourier. Spectrul Fourier este discret în dimensiunea mică. Armonica zero (constantă) nu este afectată de răsucire. A doua armonică este afectată de două ori mai mult decât prima. Acestea sunt sarcinile electrice.

În realitate, din motive necunoscute, par să existe doar anumite armonici extra-dimensionale. Dacă există doar prima armonică, există o descriere echivalentă a câmpului ca o singură amplitudine complexă + fază la fiecare punct al dimensiunilor mari. Faza este relativă la un punct zero local arbitrar care este folosit și de potențialul vector. Când comparați faza cu faza la un punct din apropiere și există o răsucire vector-potențial de $ \ mathrm d \ theta $ între ele, trebuie să ajustați valoarea câmpului cu $ i \, \ mathrm d \ theta $ . Aceasta este originea derivatului covariant gabarit .

Cercurile se generalizează la alte forme

Dacă înlocuiți cercuri cu 2 sfere, veți obține o teorie a ecartamentului $ \ mathrm {SU} (2) $. Este mai urât din punct de vedere numeric: grupul de simetrie este necomutativ, deci trebuie să introduceți mașina algebrei Lie. Geometric, totuși, nimic mult s-a schimbat. Conectivitatea este încă descrisă printr-o răsucire netă în jurul buclelor.

O diferență nefericită este că descrierea sarcinii ca armoniu extra-dimensional CS nu mai funcționează. Armonicele sferice vă oferă doar reprezentări între spin și toate particulele cunoscute se află în reprezentările spin-0 sau spin-½ ale modelului standard $ \ mathrm {SU} (2) $, deci particulele care sunt afectate de $ \ mathrm {SU} (2) $ force nu poate fi descrisă în acest fel. Poate exista o modalitate de a rezolva această problemă cu un tip de câmp mai exotic.

Nu am nimic perspicace de spus despre partea $ \ mathrm {SU} (3) $ a grupului de ecartament Model standard, cu excepția faptului că subliniez că întregul grup de ecartament SM poate fi încorporat în $ \ mathrm {Spin} (10) $ și cred că este mai ușor să vizualizezi o 9-sferă decât o formă cu $ \ mathrm {SU} (3) $ simetrie.

Relativitatea generală este similară

În relativitate generală, tensorul de curbură Riemann este analog cu tensorul de câmp; reprezintă rotația unghiulară a unui vector transportat în jurul unei bucle diferențiale. Efectul Aharonov-Bohm este analog cu deficitul unghiular din jurul unui șir cosmic . Teoria Kaluza-Klein se referea inițial la un mod specific de a obține electromagnetismul din relativitatea generală în cinci dimensiuni; acum se referă adesea la ideea largă că forțele de măsurare a modelului standard și relativitatea generală sunt probabil aspecte diferite ale aceluiași lucru.

În electrodinamica clasică (CED), invarianța gabaritului înseamnă independența câmpurilor electrice și magnetice față de o anumită „alegere” a potențialilor $ \ varphi $ și $ \ bf {A} $. Ecuația pentru potențiale depinde, desigur, de alegerea particulară a „ecartamentului” și oferă soluții diferite pentru ecartamente diferite.

În QM și QED, invarianța ecartamentului înseamnă și „invarianță” a formă de ecuații (soluțiile fiind încă diferite, dar echivalente fizic).

Dar ar trebui să păstrăm în rețineți că orice schimbare utilă a variabilei este la fel de acceptabilă dacă rezultatele corespunzătoare rămân fizic aceleași. Pentru aceasta, forma ecuațiilor nu ar trebui să fie deloc „invariantă”.