Încerc să abordez următoarea problemă, în timp ce încă nu am o idee fermă despre ce înseamnă „rezoluția de frecvență”:
Să presupunem că eșantionăm un semnal de timp continuu cu perioada de eșantionare Ts = 1/2000 și apoi folosim o fereastră de lungime 1000 pe semnalul de timp discret rezultat. Dacă îl transformăm folosind un DFT de 2000 de puncte, care ar fi rezoluția sa de frecvență?
Poate cineva să mă ajute să descopăr acest lucru?
Comentarii
- Doriți rezoluția potențială a graficului cu interpolare, rezoluția de estimare a locației vârfurilor date cu un S / N, separarea coșului de rezultate sau rezoluția de separare a vârfurilor cu un criteriu de separare? Toate acestea produc rezoluții de frecvență diferite pentru aceeași lungime DFT.
- @ hotpaw2 Aș fi interesat dacă puteți vorbi despre aceste rezoluții în această întrebare sau într-o altă întrebare informativă.
Răspuns
Editare:
Am realizat că definiția mea de mai jos " Rezoluția frecvenței " este completă greșit (precum și întrebarea OP). Rezoluția frecvenței este cât de asemănătoare este amploarea funcției ferestrei în spațiul de frecvență cu funcția delta Dirac. Acest lucru se datorează faptului că produsul ferestrei și semnalul din domeniul timp devin convoluție în domeniul frecvenței ( și o convoluție cu funcția delta Dirac este o eșantionare care ar oferi o rezoluție perfectă a frecvenței) Cu cât lobul principal este mai gras (cuantificat prin variația sa) și cu cât sunt mai mari lobii laterali, cu atât rezoluția frecvenței este mai gravă. În plus, Rezoluția timpului poate fi cuantificată și variația funcției ferestrei în domeniul orar.
Rezoluția frecvenței nu este rezoluția / lățimea coșului. În graficul de mai jos observați că lobii nu se apropie (rezoluția frecvenței) chiar dacă lățimea coșului scade.
Rezoluția frecvenței este mai degrabă o proprietate a transformatei Fourier a funcției dreptunghiulare (adică funcția sinc).
Trebuie să avem funcții de fereastră pentru a lucra cu transformatele Fourier (chiar și atunci când lucrăm teoretic). Prin urmare, lucrăm întotdeauna cu $ f (t) w (t) $ , mai degrabă decât cu funcția $ f (t ) $ în sine (aici $ w (t) $ este o funcție dreptunghiulară). Prin teorema Convoluției, transformata Fourier a unei funcții windowed este întotdeauna o convoluție de $ \ hat {f} $ cu $ \ pălărie {w} = $ sinc. În special atunci când $ f $ este sinusoidal, $ \ hat {f} $ va fi o funcție Dirac delta și convoluția va fi doar o eșantionare a unei funcții sinc. Astfel, periodic pierdem complet frecvențele la fereastră, periodicitatea acestei pierderi este rezoluția de frecvență .
Deoarece, pe funcțiile cu ferestre, DTFT este o aproximare periodică a CTFT, dobândește și aceste proprietăți.
Confuzia apare deoarece atunci când nu tamponăm zerouri la DFT (adică numai eșantion $ f (t) w (t) $ unde $ w (t) = 1 $ ), lățimea coșului este egală cu rezoluția de frecvență.
Cu toate acestea, putem, de asemenea, să tamponăm zerouri (de exemplu, eșantionăm $ f (t) w (t) $ unde $ w (t) = 0 $ ) și acest lucru are ca rezultat DTF interpolând mai bine DTFT din $ f (t) w (t) $ . Conferința cu primul grafic.
Pentru a vedea de ce transformata Fourier a funcției dreptunghiulare este a sinc func vizionați acest videoclip și ia în considerare înfășurarea funcțiilor sinusoidale (este destul de implicată totuși)
Pentru a răspunde exemplului OP, rezoluția bin este $$ \ frac {F_s} {N} = \ frac {2000} {2000} = 1 $$ unde $ F_s = 2000 $ Hz este rata de eșantionare și $ N $ dimensiunea DFT.
Rezoluția de frecvență este ceea ce ar fi rezoluția coșului dacă am fi eșantionat în fereastră (fără umplere zero)
$$ \ frac {F_s} {M} = \ frac {1} {T} = 2 $$ unde $ M $ este numărul de eșantioane din fereastră, $ T $ este durata eșantionului și $ F_s = M / T $ .
Comentarii
- Frumos răspuns Tom.De asemenea, pentru a adăuga dacă nu este clar, de multe ori nu ' nu folosim de fapt o fereastră dreptunghiulară, ci alte ferestre care se conică, care servesc la scăderea semnificativă a lobi laterali (îmbunătățirea intervalului dinamic) în detrimentul degradării rezoluția frecvenței în continuare. Una dintre lucrările mele clasice preferate despre acest lucru și despre aplicațiile DFT în general este de Fred Harris. Cred că ' vă veți bucura cu adevărat dacă nu l-ați văzut deja ': web.mit.edu/xiphmont/Public/windows.pdf
- @TomHuntington Frumos, păcat că pot ' să votez de două ori!
- @TomHuntington Wikipedia aparent nu ' știe despre formulele sau tehnicile mele. Încă am dificultăți în rezolvarea intrabinelor (datorită zgomotului și sensibilității ecuațiilor), dar frecvențele din apropiere sunt rezolvabile prin estimare și eliminare iterative. Când eliminați tonul mare, cel mai mic este estimabil. Când eliminați tonul mic, veți obține o citire mai bună pe cel mare. Și așa mai departe, chiar și cu tonuri multiple. Orice fel de fereastră complică matematica.
- Dacă aveți două sinusoide cu o amplitudine aproape egală, dar cu frecvență foarte apropiată, puteți utiliza fenomenul beat în domeniul timpului. Frecvența aparentă a semnalului (cu treceri zero) este media celor două frecvențe, iar frecvența anvelopei (dacă luați un ciclu complet, de exemplu, doi lobi) este jumătate din diferența de frecvențe.
- De asemenea, rezoluția definește precizia dvs. în orice măsurați. Nu spune nimic despre acuratețe.
Răspuns
Depinde puțin de ceea ce încercați să realizați.
Dacă faceți un FFT de lungime $ N $ a unui semnal eșantionat la eșantionat la o rată de $ F_s $ , atunci mulți oameni ar spune că rezoluția de frecvență este $ \ frac {F_s} {N} $ . Indiferent dacă este corect sau nu, depinde cu adevărat de modul exact în care definiți rezoluția de frecvență și de ceea ce intenționați să faceți cu ea.
Ce se întâmplă cu adevărat este că eșantionați o funcție de domeniu de frecvență cu o eșantionare interval de $ \ frac {F_s} {N} $ . De îndată ce alegeți o dimensiune FFT, prelevați eșantioane în ambele domenii, intervalele de eșantionare fiind $ \ frac {1} {F_s} $ în timp și $ \ frac {F_s} {N} $ în frecvență.
Eșantionarea domeniului de frecvență are aceleași proprietăți, cerințe și probleme ca eșantionarea domeniului de timp, puteți obțineți aliasing, puteți interpola, există periodicitate presupusă în celălalt domeniu etc.
Prin simpla aplicare a teoremei de eșantionare am putea argumenta că rezoluția de frecvență necesară pentru caracterizarea completă a unui semnal este pur și simplu inversa lungimea domeniului de timp. Acest lucru funcționează bine pentru semnale care sunt inerent legate de timp, cum ar fi răspunsul la impuls al unui sistem LTI.
Cu toate acestea, nu este practic pentru semnale continue lungi. În acest caz, trebuie să alegeți o rezoluție de frecvență care să fie „suficient de bună” pentru aplicația dvs. și care depinde într-adevăr de cerințele și obiectivul aplicație specifică.
Răspuns
Eșantionarea este dată de $ {T} _ {s} = \ frac {1} {2000} $ [Sec].
Lungimea ferestrei este de 1000 de eșantioane.
Deoarece lungimea ferestrei trebuie să fie egală cu lungimea datelor, deducem că lungimea datelor este de 1000 de eșantioane. ceea ce înseamnă că timpul de eșantionare este $ 0,5 $ [Sec].
Rezoluția Bin din DFT este rația dintre intervalul de eșantionare și numărul de Exemple de DFT, care în acest caz este 2000. Prin urmare, rezoluția coșului este $ \ frac {1} {4000} $ [Hz].
Răspuns
Lățimea binară a FFT sau rezoluția repreatării așa cum îmi place să o numesc este Fs / N, unde N este dimensiunea FFT. Rezoluția reală va depinde de fereastra pe care o utilizați și de lungimea ferestrei.
De exemplu: o fereastră dreptunghiulară va oferi rezoluție maximă, dar o gamă mai mică dinamic. Alte ferestre mai netede oferă o rezoluție mai mică cu o gamă mai dinamică sau cu lobi laterali inferiori.