Ce este Fermi Surface ? Sper că această întrebare nu este prea elementară pentru acest forum și îmi cer scuze în prealabil în caz că este.

Permiteți-mi să explic confuzia mea. Având în vedere un solid, cred că am un anumit sentiment pentru nivelul Fermi. Îl pot înțelege, de exemplu, ca parametru caracteristic $ \ mu $ în distribuția Fermi-Dirac a nivelurilor de energie pentru electronii din sistem: $$ f (\ epsilon) = \ frac {1} {e ^ {(\ epsilon- \ mu) / kT} +1} $$ ignorând pentru moment alte interpretări fizice. Astfel, este nivelul unic de energie care are probabilitatea 1/2 de a fi ocupat.

Definiția suprafeței Fermi, pe de altă parte, este de obicei dată ca „izo-suprafața stărilor cu energie egal cu nivelul Fermi „în spațiul tridimensional al vectorilor de undă $ k $ , de exemplu în acest articol Wikipedia:

https://en.wikipedia.org/wiki/Electronic_band_structure

Cu alte cuvinte, este definit ca fiind $ k $ astfel încât $$ E (k) = \ mu. $$ Până acum, atât de bine. Problema este că nu prea înțeleg ce este $ E (k) $ .

O situație pare să fie simplă, și anume un Fermi gaz de particule identice. Apoi $$ E (k) = \ frac {k ^ 2} {2m} $$ și suprafața Fermi este o sferă. Cu toate acestea, dacă suntem într-un potențial periodic infinit, modelul idealizat obișnuit pentru teoria Bloch, apoi soluțiile la ecuația Schroedinger apar sub forma $$ \ psi_ {kn} (r) = e ^ {ik \ cdot r} u_ {kn} (r), $$ unde $ u_ {kn} $ este o funcție periodică și $ n $ este un indice discret pentru nivelurile de energie. Cu alte cuvinte, pentru fiecare vector de undă $ k $ ,

există multe niveluri de energie $ E_n (k) $ .

Deci, ecuația pentru Suprafața Fermi ar arăta de fapt ca $$ E_n (k) = \ mu. $$ Întrebarea mea, prin urmare, este ce nivel de energie este $ E (k) $ care apare în definiția suprafeței Fermi? Poate că există o singură suprafață Fermi pentru fiecare nivel $ n $ ? (Presupunând că nivelurile variază continuu de-a lungul spațiului de impuls, permițându-ne să indexăm în mod constant nivelurile pentru diferite $ k $ .)

Dacă aș putea detalii despre confuzia mea un pic mai mult, nu înțeleg definiția din acest răspuns la această întrebare:

Ce este suprafața Fermi și de ce este atât de util acest concept în cercetarea metalelor?

Se afirmă că

„Suprafața Fermi este pur și simplu suprafața în spațiul momentum în care, în limita interacțiunilor zero, toate stările fermionice cu impuls (cristal) $ | k | < | k_F | $ sunt ocupate și toate stările de impuls superioare sunt goale. „

Pentru un lucru, așa cum s-a menționat mai sus, pentru orice impuls $ k $ , există este o secvență infinită de stări fermionice. Cealaltă problemă este că nu sunt sigur că afirmația de mai sus definește o suprafață unică, chiar dacă aș fi putut cumva să aleg o stare fermionică $ \ psi (k) $ pentru fiecare $ k $ la care se referă declarația. (Aș fi nevoie să fac o imagine pentru a explica acest punct, ceea ce nu am competența de a face.)

Comentarii

  • Fermi suprafața este definită la o temperatură de zero absolut, deci luați soluțiile de bază $ E_0 (k) = \ mu $ …
  • Și într-un solid, priviți stările din interiorul unui ( Wigner-Seitz) celulă unitară.
  • Lemon: Mi se pare destul de confuz. Declarația dvs. ar fi ‘ Suprafața Fermi este setul de $ k $ astfel încât $ E_0 (k) = \ mu $, ‘ unde $ E_0 (k) $ este cea mai mică energie cu impuls $ k $. Dar apoi, într-un solid unde multe dintre benzile de energie inferioară sunt umplute, ar exista mulți electroni peste nivelul Fermi. Acest lucru pare să nu fie de acord cu imaginea obișnuită.
  • Jon Custer: Cred că tu ‘ se referă la faptul că fiecare dintre $ u_ {kn} $ sunt determinate de valorile lor într-o celulă. Acest lucru este ‘ adevărat. Dar nu există stări care să fie doar conc introdus într-o celulă. ($ U_ {kn} $ sunt periodice.) În orice caz, nu ‘ nu văd cum răspunde această întrebare.Modul în care îl exprimați, îl faceți să sune ca ‘ pentru fiecare $ k $, există un $ \ psi_ {kn} $ unic concentrat într-o celulă, iar energia sa este ceea ce folosim pentru a defini suprafața Fermi. ‘ Acest lucru nu ‘ nu sună corect din mai multe motive.

Răspuns

Tot ceea ce spui este corect. Suprafața Fermi este definită ca fiind setul de puncte $ k $ astfel încât $ E_n (k) = \ mu $ pentru orice bandă $ n $. Cu toate acestea, de obicei benzile sunt distanțate relativ departe și nu se suprapun în energie, astfel:

introduceți imaginea descriere aici

După cum putem vedea, benzile 1 și 3 se află complet deasupra sau complet sub potențialul chimic $ \ mu $ și deci sunt irelevante pentru determinarea suprafeței Fermi ( de fapt, la temperaturi scăzute, benzile respective sunt aproape irelevante pentru orice fenomene fizice – doar benzile din apropierea potențialului chimic sunt importante din punct de vedere fizic). De aceea, în practică, puteți scăpa doar luând în considerare una sau două benzi și ignorând complet toate celelalte – și când există o suprafață Fermi (adică potențialul chimic intersectează o bandă), o bandă este aproape întotdeauna suficientă.

În mai complicat / neobișnuit sisteme, totuși, trebuie să țineți evidența mai multor benzi. De exemplu, uneori benzile se pot atinge sau încrucișa și se pot întâmpla lucruri amuzante dacă reglați potențialul chimic exact pe cr punct de osare. Chiar și mai neobișnuit, două benzi pot împărți o gamă întreagă de energie finită – de ex. două curbe ale cosinusului s-au deplasat vertical cu o cantitate mică. Dar aceste cazuri sunt foarte rare – pentru majoritatea materialelor de zi cu zi, $ \ mu $ se află în cel mult o bandă și nu trebuie să vă faceți griji în legătură cu acest lucru. (De fapt, fizicienilor profesioniști le place să găsească / creeze materiale neobișnuite în care potențialul chimic nu stă chiar la o trecere de bandă, tocmai pentru că astfel de sisteme nu sunt atât de bine înțelese teoretic, așa că mai sunt multe de învățat.)

BTW, în 1-D, la fel ca graficul de mai sus, „suprafața” Fermi constă doar din valori izolate de $ k $, dar în 2-D este de obicei o curbă închisă în planul $ k_x $ – $ k_y $ , iar în 3-D „este de obicei o suprafață închisă, ca o sferă. Uneori suprafața Fermi poate consta de fapt din două (sau mai multe) sfere, cu una în interiorul celeilalte și plină” Marea Fermi „pentru banda relavant se află între ele. Acest fenomen se numește” cuiburi de suprafață Fermi. „Dar dacă tocmai aflați despre suprafețele Fermi, atunci nu veți avea grijă de acestea situații complicate pentru o lungă perioadă de timp.

Comentarii

  • Vă mulțumim pentru răspunsul clar. Apropo, am ‘ adunat acum că este folosit cuvântul ‘ bandă ‘ în două moduri distincte în fizica în stare solidă. Cuvântul pe care îl folosiți aici se referă doar la un nivel de energie. Dar există și noțiunea de bandă ca distribuție esențial continuă a nivelurilor de energie, între care sunt ‘ goluri. ‘ Cred că a fost o parte majoră a confuziei mele. Corectează-mă dacă greșesc ‘ în legătură cu acest lucru.
  • @MinhyongKim A ” band ” este definit ca o singură curbă $ E_n (k) $ pentru o valoare dată de $ n $. (Cred că este ‘ oarecum înșelător să numim acel ” nivel de energie ” deoarece funcția nu este în general constantă, deci ia valori pe un întreg interval de energie finit.) Oamenii abuzează din când în când de terminologie și folosesc, de asemenea, cuvântul ”

pentru a se referi la intervalul de energie peste care variază funcția – adică prăbușind dependența de impuls. ‘ ai dreptate că la asta se gândesc oamenii când vorbesc despre ” lacune în bandă. ” Dar cele două sensuri ale ” bandă ” sunt într-adevăr aproape identice …

  • .. . singura diferență este dacă țineți evidența dependenței de $ k $ sau pur și simplu luați în considerare funcția ‘ s.
  • Vă mulțumim pentru explicații suplimentare. Dar mi se pare oarecum important să distingem cele două simțuri. Dacă cuvântul ‘ bandă ‘ ar fi folosit în sensul structurii electronice a benzii, atunci ecuația $ E_n (k) = \ mu $ nu ar fi ‘ t bine definit, chiar și pentru o valoare fixă de $ n $. Acesta a fost unul dintre lucrurile foarte confuze pentru un novice ca mine. În orice caz, mulțumesc din nou!

    • Răspuns

    Suprafața Fermi este suprafața din spațiul reciproc ( dual al spațiului real în care locuiți) delimitează stările ocupate fermionice de cele fermionice neocupate la temperatura zero.Deci este mai degrabă o construcție de impuls ($ k $) decât o construcție de energie.

    Logica este următoarea: încercați să puneți laolaltă un număr dat de fermioni. Deoarece respectă principiul excluderii Pauli, nu puteți împacheta aceste fermioni așa cum doriți. De fiecare dată când există spațiu pentru o stare în spațiul de impuls, un singur fermion poate ocupa această cameră goală. Deci, trebuie să începeți să îngrămădiți fermionii. Are o analogie completă cu umplerea unei biblioteci cu cărți: trebuie să utilizați rândul următor când cel precedent este plin. Puteți utiliza intervale mai mici între materii prime, măriți dimensiunea fiecărei materii prime, …, dacă aveți prea multe cărți, puteți utiliza următoarea materie primă, care nu este altceva decât folosirea următoarei ramuri de impuls în relația dvs. de dispersie (ceea ce numiți $ k_n (E) $). Când puneți ultimul fermion în biblioteca dvs. fermionică , starea de impuls corespunzătoare se numește impulsul Fermi, energia corespunzătoare se numește energia Fermi, … și suprafața izo- $ k $ la impulsul Fermi se numește suprafața Fermi.

    Puține observații acum

    • Nu va exista niciodată un număr infinit de ramuri utilizate pentru a completa un finit numărul de fermioni în relațiile de dispersie (structura benzii materialului dacă preferați).

    • Nu există nicio contradicție în a presupune că suprafața Fermi are mai multe foi. Chiar și pe Wikipedia aveți deja un exemplu de suprafață Fermi cu buzunare de electroni și găuri

    • Conceptul de suprafață Fermi provine din noțiunea de statistici (Fermi-Dirac), atunci când aveți un număr finit de particule cu care să faceți față (într-o terminologie antică, este a doua problemă cuantificată), în timp ce structura benzii este spectrul complet al stărilor disponibile pentru una particulei (în terminologia antică, este o primă problemă cuantificată) într-un potențial periodic. Modul ușor de a trece de la unul la altul este utilizarea potențialului chimic, care fixează numărul de particule per stare energetică (mai precis, cantitatea de energie necesară pentru a adăuga o particulă la sistemul termodinamic).

    • Suprafața Fermi este un concept deosebit de util pentru a înțelege câteva proprietăți de transport (electrice, de căldură, … transporturi) pentru materiale cu structuri simple de bandă, cum ar fi metale pure și semiconductori dopați. Când suprafața Fermi devine prea complicată, devine dificil să obții orice intuiție din ea. Cred că aceasta este esența neînțelegerii conceptului din întrebarea dvs.

    Comentarii

    Lasă un răspuns

    Adresa ta de email nu va fi publicată. Câmpurile obligatorii sunt marcate cu *