Ce este un AMDF?

Nu „am văzut niciodată cuvântul ” Formula „ cu” AMDF „. Înțelegerea mea despre definiția AMDF este

$$ Q_x [k, n_0] \ triangleq \ frac {1} {N} \ sum \ limits_ {n = 0} ^ {N-1} \ Big | x [n + n_0] – x [n + n_0 + k] \ Big | $$

$ n_0 $ este vecinătatea de interes din $ x [n] $ . Rețineți că rezumați doar termeni non-negativi. Deci $ Q_x [k, n_0] \ ge 0 $ . Numim „ $ k $ ” „lag” . Clar dacă $ k = 0 $ , apoi $ Q_x [0, n_0] = 0 $ . De asemenea, dacă $ x [n] $ este periodic cu perioada $ P $ (și să pretindem că $ P $ este un număr întreg) apoi $ Q_x [P, n_0] = 0 $ și $ Q_x [mP, n_0] = 0 $ pentru orice număr întreg $ m $ .

Acum chiar dacă $ x [n] $ nu este precis periodic, sau dacă perioada nu este tocmai un număr întreg de eșantioane (la rata de eșantionare particulară pe care o utilizați), s-ar aștepta la $ Q_x [k, n_0] \ approx 0 $ pentru orice lag $ k $ care este aproape la perioada sau orice multiplu întreg al perioadei. De fapt, dacă $ x [n] $ este aproape periodic, dar perioada nu este la un număr întreg de eșantioane, ne așteptăm să putem interpola $ Q_x [k, n_0] $ între valorile întregi ale $ k $ pentru a obține un minim și mai mic.

Preferatul meu nu este AMDF ci „ASDF” (ghiciți ce înseamnă „S”?)

$$ Q_x [k, n_0 ] \ triangleq \ frac {1} {N} \ sum \ limits_ {n = 0} ^ {N-1} \ big (x [n + n_0] – x [n + n_0 + k] \ big) ^ 2 $ $

Se pare că puteți face calcul cu asta, deoarece funcția pătrată are derivate continue, dar funcția de valoare absolută nu.

Iată un alt motiv care îmi place ASDF mai bun decât AMDF. Dacă $ N $ este foarte mare și jucăm puțin rapid și liber cu limitele însumării:

$$ \ begin {align} Q_x [k] & = \ frac {1} {N} \ left (\ sum_n \ big (x [n] – x [n + k] \ big) ^ 2 \ right) \\ & = \ frac {1} {N} \ left (\ sum_n (x [n]) ^ 2 + \ sum_n (x [ n + k]) ^ 2 – 2 \ sum_n x [n] x [n + k] \ right) \\ & = \ frac {1} {N} \ sum_n ( x [n]) ^ 2 + \ frac {1} {N} \ sum_n (x [n + k]) ^ 2 – \ frac {2} {N} \, \ sum_n x [n] x [n + k ] \\ & = \ overline {x ^ 2 [n]} + \ overline {x ^ 2 [n]} – 2 \, R_x [k] \\ & = 2 \ left (\ overline {x ^ 2 [n]} – R_x [k] \ right) \\ \ end {align} $$

unde

$$ \ begin {align} R_x [k] & \ triangleq \ frac {1} {N} \ sum_n x [n] x [n + k] \\ & = \ overline {x ^ 2 [n]} – \ tfrac {1} {2} Q_x [k] \\ & = R_x [0] – \ tfrac {1} {2} Q_x [k] \\ \ end {align} $$

este identificat în mod normal ca „autocorelare” a $ x [n] $ .

Deci, ne așteptăm ca funcția de autocorelare să fie o replică inversă (și compensată) a ASDF. Oriunde vârful autocorelației este în care ASDF (și de obicei AMDF) are un minim.