Avertisment: Prima parte a acestui răspuns adoptă o poziție foarte tehnică cu privire la procedura BRST și funcționează suplimentar cu un spațiu de fază cu dimensiuni finite pentru confort. Ar putea apărea destul de departe de înțelegerea fantomelor în aplicarea medie a transformărilor BRST sau a fantomelor ca instrument.

---

Concepția generală a fantomelor

Există multe diferite niveluri la care se poate discuta despre apariția fantomelor, anti-fantomelor și a numărului acestora în mecanica hamiltoniană constrânsă (care este la fel ca teoriile gabaritului la un nivel lagrangian). Unul dintre ele este schițat parțial în acest răspuns meu , unde operatorul BRST este prezentat ca diferențial în gabaritul Lie algebra cohomology.

Vom analiza un mod ușor diferit de a privi fantomele, și anume prin ” extinderea spațiului de fază „, în acest răspuns, deși acest lucru poate fi văzut ca o reformulare a abordării de cohomologie Lie algebră în ” termeni de spațiu de fază „:

Formalismul BRST, la nivel abstract, caută să implementeze reducerea la o suprafață de constrângere $ \ Sigma $ într-un spațiu de fază $ X $ nu rezolvând constrângerile $ G_a $ , ci căutând o mărire adecvată a spațiului de fază astfel încât funcțiile din spațiul de fază mărit să aibă o derivare gradată $ \ delta $ care trăiește pe cei ale căror ho mology calculează funcțiile de pe suprafața de constrângere, care sunt observabilele invariante gauge. ¹

Spațiul de fază mărit se obține după cum urmează:

1. O funcție pe suprafața constrângerii $ \ Sigma $ este dată de coeficientul tuturor funcțiilor spațiului de fază modulo funcțiile care dispar pe suprafață. Fiecare funcție $ f $ care dispare la suprafață este dată de $$ f = f ^ a G_a $$ unde $ f ^ a $ sunt funcții de spațiu de fază arbitrare. Dacă se introduc atâtea variabile $ P_a $ câte constrângeri există și se definește $ \ delta P_a = G_a $ precum și $ \ delta z = 0 $ pentru orice variabilă de spațiu de fază originală, apoi imaginea $ \ delta $ este exact toate funcțiile care dispar pe $ \ Sigma $ . Pentru ca $ \ delta $ să fie gradat, $ P_a $ trebuie luat ca fiind de grad $ 1 $ . Gradul unei funcții ca și gradul acesteia ca polinom în $ P_a $ se numește anti- număr fantomă . ²

2. $ P_a $ sunt singuri și au nevoie de variabile conjugate. Acestea sunt date de așa-numitele forme 1 longitudinale pe suprafața de constrângere, unde un câmp vectorial longitudinal pe suprafața de constrângere este unul care este tangent la orbitele gabaritului. Dualele lor sunt forme 1 care sunt definite doar pe vectori longitudinali. Ar trebui să fie intuitiv din punct de vedere geometric (și este de fapt adevărat) că câmpurile vectoriale longitudinale sunt exact câmpurile care generează transformările gabaritului (acestea sunt din nou doar o altă încarnare a algebrei gabaritului Lie). Prin urmare, există atât de multe forme longitudinale de bază 1 span $ \ eta ^ a $ cât există constrângeri și cu cât există anti-fantome $ P_a $ .Deoarece există acțiunea naturală $ \ eta ^ a (P_b) = \ delta ^ a_b $ prin definiția dualului, este de asemenea firesc să definiți parantezul Poisson pe un spațiu de fază mărit cu coordonate $ (x ^ i, p_i, \ eta ^ a, P_a) $ de $$ [\ eta ^ a, P_b] = \ delta ^ a_b $$ astfel încât perechile $ (\ eta ^ a, P_a) $ acționează ca perechi suplimentare a variabilelor canonice. Derivarea este extinsă la $ \ eta $ pur și simplu cu $ \ delta (\ eta ^ a) = 0 $ . Funcțiilor pe acest spațiu de fază mărit li se atribuie acum un număr fantomă pur pe baza gradului lor din $ \ eta $ .

Având în vedere orice funcție din spațiul de fază mărit, fantoma numărul este pur și simplu numărul fantomă pură minus numărul anti-fantomă.

Lucrul frumos al numărului fantomă este că este încărcarea unui anumit generator – este măsurat de operatorul ³ $$ \ mathcal {G}: = \ mathrm {i} \ eta ^ a P_a $$ care îndeplinește $$ [f, \ mathcal {G}] = \ mathrm {i} \ operatorname {gh} (f) f $$ pentru orice funcție a fantomei definite număr. Numărul fantomă este important din punct de vedere fizic, deoarece a fi o stare a numărului fantomă zero este, împreună cu condiția de a fi invariant BRST, condiția necesară și suficientă pentru a fi o stare fizică. acum obținem diferențialul BRST adăugând un alt diferențial $ \ mathrm {d} $ la $ \ delta $ , și arată că $ \ delta + \ mathrm {d} $ dă, când ” mici perturbări ” i se adaugă, operatorul nilpotent necesar pentru formalismul BRST. (Derivarea acestui lucru este foarte tehnică și uneori cunoscută sub numele de ” teorema teoriei perturbației omologice „) Examinând apoi din nou acțiunile $ \ mathrm {d}, \ delta $ , se constată că funcțiile de gauge-invariante sunt exact acele invariante sub operatorul BRST cu zero număr fantomă, deci teoria cuantică ar trebui, de asemenea, să impună această restricție.

---

^{1 ” a cărui omologie calculează ” este matematică vorbește pentru că este un operator $ \ delta $ , unde funcțiile de calibru-invariant sunt exact funcțiile cu $ \ delta (f) = 0 $ și unde identificăm $ f $ și $ g $ dacă există un $ h $ astfel încât $ \ delta (h) = f – g $ . De asemenea, acest lucru devine puțin mai complicat în cazul constrângerilor reductibile.}

^{2 În cazul constrângerilor ireductibile, acest lucru calculează deja corect ecartamentul -funcții invariante și, în principiu, s-ar putea opri aici. Cu toate acestea, nu este satisfăcător să fi adăugat $ P_a $ , dar să nu aveți variabile conjugate corespunzător pentru ele în formalismul hamiltonian.}

^{3 Această definiție este analogul discret, non-conform cu expresia pentru $ U $ care este scrisă în întrebare.}

^{Referință principală: ” Cuantificarea sistemelor Gauge ” de Henneaux / Teitelboim}

---

Cazul specific al $ bc $ -CFT

Un ” $ bc $ -CFT ” general, adică un 2D teoria câmpului conform cu câmpuri fantomă este dată de acțiunea fantomă $$ \ frac {1} {2 \ pi} \ left (b (z) \ bar \ partial c (z ) + b (z) \ partial c (z) \ right) $$ când câmpurile $ b $ și $ c $ au greutăți conforme $ h_b $ și $ h_c = 1 – h_b $ , respectiv. Funcțiile spațiului de fază cu numărul fantomă zero se traduc acum la operatorii cu greutate conformă $ 1 $ (deoarece au un număr egal de fantome și anti-fantome în ele, iar greutatea se comportă aditiv ).

Acest lucru arată că stările fizice primare (prin corespondența de stat-câmp a CFT-urilor 2D) într-o astfel de teorie trebuie să aibă în mod necesar o greutate conformă >.Acest lucru este important în teoria șirurilor, unde un $ bc $ -CFT cu $ h_b = 2 $ este adăugat în mod natural la $ X $ -CFT din câmpurile de foi de lume. Pentru un CFT generic, toate elementele primare posibile ar putea fi, în principiu, stări fizice, dar procedura BRST forțează stări cu numărul fantomă zero, adică câmpuri cu greutate $ 1 $ permise doar stări fizice.

Comentarii

• Acesta este un răspuns foarte detaliat, dar ați putea oferi, de asemenea, un exemplu de utilizare a numerelor fantomă în CFT în mod specific ?
• @JakeLebovic: Am adăugat o scurtă explicație a modului în care cerința numărului zero fantomă se reflectă în cazul teoriei șirurilor (care este singurul caz cunoscut de mine în care fantomele apar într-un CFT).

În teoria câmpului conform pe plan, trebuie să definiți un produs interior în spațiul stări ale teoriei tale. În teoria șirurilor bosonice, spațiul stărilor, adică spațiul Hilbert al teoriei $ \ mathcal {H} $ este spațiul reprezentării algebrei Virassoro:

$$ {\ bf Vir} \ longrightarrow \ mathcal {H} $$

În cuantificarea radială a CFT pe planul complex, la fiecare stare din spațiul Hilbert al teoriei, se poate asocia un operator local pe planul complex, așa-numitul corespondență operator-stat . Produsul interior BPZ din acest spațiu Hilbert poate fi definit. Primul lucru este să definiți stările asimptotice $ | 0 \ rangle $ și $ \ langle0 | $.

$$ | 0 \ rangle \ iff \ text {Operator de identitate} \, \, \ hat { I} \, \, \ text {la origine} \, \, z = 0 $$ $$ \ langle0 | \ if \ text {Operator de identitate} \, \, \ hat {I} \, \, \ text {la infinit} \, \, z = \ infty $$

Aceste două pot fi legate de o transformare conformă $ z \ longrightarrow \ widetilde {z} = – \ frac {1} {z} $. Se poate arăta că sub această transformare conformă, modurile $ \ hat {\ alpha} _n $ ale unui câmp $ \ Phi $ cu dimensiunea conformă $ h _ {\ Phi} $ se transformă ca:

$$ \ hat {\ alpha} _n \ iff (-1) ^ {h _ {\ Phi} + n} \ hat {\ alpha} _ {- n} $$

Deci, sub transformarea conformală, avem următoarele:

$$ \ hat {\ alpha} _n | 0 \ rangle = 0 \ iff \ langle0 | \ hat {\ alpha} _ {- n} = 0 \ tag {1} $$

Aceasta, pentru algebra Virasoro, implică faptul că $ L _ {- 1} $, $ L_0 $ și $ L_1 $ și omologii lor anti-holomorfi $ \ overline {L} _ {- 1} $, $ \ overline {L} _0 $ și $ \ overline {L} _1 $ anihilează atât $ | 0 \ rangle $, cât și $ \ langle0 | $. Dar aceste moduri generează grupul $ {\ bf SL} (2, \ mathbb {C}) $, grupul de transformare conformală globală pe sfera Riemann. Astfel $ | 0 \ rangle $ este cunoscut ca $ {\ bf SL} (2, \ mathbb {C}) $ – vid invariant.

Pe de altă parte, folosind $ (1) $ se poate arăta că $ b _ {- 1} $, $ b_0 $ și $ b_1 $ anihilează atât $ | 0 \ rangle $, cât și $ \ langle0 | $. Relația de comutare canonică a sistemului $ bc $ arată că:

$$ \ {b_n, c _ {- n} \} | 0 \ rangle = | 0 \ rangle \ ne0 $$

deci modurile $ c _ {- 1} $, $ c_0 $ și $ c_1 $ nu anihilează niciunul dintre $ \ rvert0 \ rangle $ și $ \ langle0 \ rvert $. Primul element de matrice diferit de zero pentru sistemul $ bc $ din sfera Riemann este astfel:

$$ \ langle0 \ lvert c _ {- 1} c_0c_1 \ rvert0 \ rangle \ ne0 $$

Conjugarea BPZ, adică relația (1) încalcă numărul fantomă cu 3 unități. Acțiunea sistemului $ bc $ are următoarea simetrie a numărului fantomă:

$$ \ delta b = -i \ epsilon b \ qquad \ delta c = i \ epsilon c $$

Curentul corespunzător este:

$$ j_z (z) = -: b_ {zz} (z) c ^ z (z): $$

În care $: \ cdots: $ denotă ordinea normală.

Originea încălcării numărului fantomă descrisă mai sus este una geometrică. $ j $ este curentul numarului fermion al fermionilor chirali care au rotire integra neconvertionala ($ b $ si $ c $ au ambii rotiri întregi.) Deci are anomalie gravitationala:

$$ \ partial_ {\ overline {z}} j_z = – \ frac {1} {2} (2 \ lambda-1) \ sqrt {g} R $$

În care $ \ lambda $ este dimensiunea conformă de $ b $. Prin integrarea acestui lucru, se poate vedea că încălcarea numărului fantomă pe o suprafață genului $ g $ Riemann (foaie mondială a teoriei șirurilor închise) este de $ 3 (g-1) $. Importanța curentului fantomă este că determină elementele de matrice S non-zero ale CFT.