Ce înseamnă termenul exponențial din transformata Fourier?

Este „o exponențială complexă care se rotește pentru totdeauna pe cercul unității plane complexe:

$$ e ^ {- j \ omega t} = \ cos (\ omega t) – j \ sin (\ omega t). $$

Vă puteți gândi la transformata Fourier ca la calcul corelație între $ f (t) $ și o exponențială complexă a fiecărei frecvențe, comparând cât de asemănătoare sunt. Exponențiale complexe de genul acesta au calitatea frumoasă că pot fi timp- deplasate prin multiplicarea lor cu un număr complex de unități de magnitudine tude (o exponențială complexă constantă). Dacă rezultatul transformatei Fourier la o anumită frecvență este un număr complex nereal, atunci exponențialul complex al acelei frecvențe poate fi înmulțit cu acel număr complex pentru a-l deplasa în timp, astfel încât corelația să fie la „> $ f (t) $ este maximizat.

Dacă nu îți place să te gândești la numere imaginare, numere complexe și funcții, puteți gândi, alternativ, la exponențialul complex din FT ca doar stenogramă pentru a amesteca atât o undă sinusoidală, cât și o undă cosinus (cu aceeași frecvență) într-o singură funcție care necesită mai puțin cretă pe tablă scrie.

Fie că este Transformata Fourier sau Transformata Laplace sau Transformata Z etc. exponențialul este funcția proprie a operatorilor liniari și invarianți în timp (LTI) . dacă o funcție exponențială a „timpului” intră într-un LTI, apare o exponențială exact ca aceasta (dar scalată de valoarea proprie). ce F.T. nu este descompune o funcție generală într-o sumă a acestor exponențiale. care poate fi văzut uitându-se la invers Transformată Fourier.

Transformata Fourier:

$$ f (t) = \ frac {1} {2 \ pi} \ int _ {- \ infty} ^ { \ infty} F (t) e ^ {i \ omega t} dt \\ F (\ omega) = \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} f (t) e ^ {- i \ omega t} dt $$

convertește o funcție într-o integrală a funcțiilor armonice. Vă puteți gândi la acestea ca la păcate și cosinus, deoarece $ e ^ {i \ theta} = cos (\ theta) + i \ sin (\ theta) $. Transformata Fourier ca formă continuă a Seriei Fourier care transformă orice semnal periodic într-o sumă de alte semnale periodice reale (armonice):

$$ f (t) = a_0 + \ sum_ {n = 1 } ^ {\ infty} a_n \ cos (n \ omega t) + b_n \ sin (n \ omega t) $$

În Transformata Fourier, vă puteți gândi la coeficienții $ a_n $ și $ b_n $ trecând peste valorile unei funcții continue. Pentru a duce mai departe comparația, există o versiune complexă a seriei:

$$ f (t) = \ sum_ {n = – \ infty} ^ {\ infty} a_n e ^ {în \ omega t} = \ sum_ {n = – \ infty} ^ {\ infty} a_n \ cos (n \ omega t) + b_n i \ sin (n \ omega t) $$

Comentarii

• Încercați să respectați o variabilă independentă, fie $ t $, fie $ x $, dar nu ambele. Mai mult, încercați să găsiți un cuvânt mai bun decât ‘ hearken ‘, care nu ‘ Nu aveți niciun sens aici.
• De asemenea, vă lipsește $ \ omega $ în argumentele sinusoidelor și funcția exponențială: $ \ cos (n \ omega t) $ etc.
• @MattL. Am nevoie de $ \ omega $? Transformata Fourier are $ e ^ {i \ omega t} $, dar în serie, ” $ n $ ” ia locul din $ \ omega $. Nu ‘ este corect?
• Nu, $ \ omega = 2 \ pi / T $, unde $ T $ este perioada de $ f (t) $, adică, cu excepția cazului în care $ T = 2 \ pi $ ai nevoie de $ \ omega $.
• Ok. Văd la ce te referi.

Luați în considerare cazul $ \ f (t) = 2 \ cos (\ omega_0 t) = e ^ {+ i \ omega_0 t} + e ^ {- i \ omega_0 t}. \ $ Apoi

$$ F (\ omega) = \ int \ limits _ {- \ infty} ^ {+ \ infty} e ^ {i (- \ omega + \ omega_0) t} \ dt + \ int \ limits _ {- \ infty} ^ {+ \ infty} e ^ {i (- \ omega – \ omega_0) t} \ dt \\ $$

When $ | \ omega | \ ne | \ omega_0 | $ , ambii integranzi oscilează în jurul valorii de zero, iar integralele sunt efectiv zero.Singurele rezultate diferite de zero sunt

$$ F (\ omega_0) = \ int \ limits _ {- \ infty} ^ {+ \ infty} e ^ { i (0) t} \ dt + \ int \ limits _ {- \ infty} ^ {+ \ infty} e ^ {i (-2 \ omega_0) t} \ dt \ = \ \ int \ limits _ {- \ infty} ^ {+ \ infty} 1 \ dt \ + \ 0 \\ F (- \ omega_0) = \ int \ limits _ {- \ infty} ^ {+ \ infty} e ^ {i (2 \ omega_0) t} \ dt + \ int \ limits _ {- \ infty} ^ {+ \ infty} e ^ {i (0) t} \ dt \ = \ 0 \ + \ \ int \ limits _ {- \ infty} ^ {+ \ infty} 1 \ dt $$

care este adesea exprimat ca $ F (\ omega) = \ delta (\ omega – \ omega_0) + \ delta \ big (\ omega – (- \ omega_0) \ big) = \ delta (\ omega – \ omega_0) + \ delta (\ omega + \ omega_0). $

În cuvinte, pentru orice valoare dată a argumentului $ \ omega $ , $ e ^ {- i \ omega t} $ factorul traduce componenta $ f (t) $ la acea frecvență în $ 0 $ și toate celelalte componente departe de zero. Apoi integralul infinit produce o măsură a puterii componentei la $ 0 $ .

Rețineți că dacă $ f (t) = e ^ {i \ omega_0 t} $ , apoi $ F (\ omega) = \ delta (\ omega – \ omega_0) $ . Ce înseamnă, de fapt, că semnul $ \ omega_0 $ poate fi dedus fără echivoc din funcția $ e ^ {i \ omega_0 t} $ . Nu poate fi dedus din $ \ cos (\ omega_0 t) $ , deoarece este trigonometic identic cu $ \ cos (- \ omega_0 t) $ . Transformata Fourier gestionează această ambiguitate oferind răspunsuri diferite de zero atât la $ \ omega = \ omega_0 $ , cât și la $ \ omega = – \ omega_0 $ . Asta nu înseamnă că $ \ cos (\ omega_0 t) $ conține ambele frecvențe, deoarece $ \ omega_0 $ poate avea o singură valoare. Interpretarea corectă este că $ e ^ {i \ omega_0 t} $ conține mai multe informații, nu mai puțin, decât $ \ cos (\ omega_0 t) $ . Formula $ \ e ^ {+ i \ omega_0 t} + e ^ {- i \ omega_0 t} \ $ arată ca mai multe informații, dar este de fapt o anulare de informații.

Comentarii

• ” Asta nu înseamnă $ cos (\ omega_0 t) $ conține ambele frecvențe, deoarece $ \ omega_0 $ poate avea o singură valoare. ” Nu. Cosinusul este suma a două tonuri pure complexe de frecvențe opuse (două valori distincte). Ceea ce ‘ nu puteți spune este semnul $ \ omega_0 $. Oricare este o interpretare validă, similară cu alegerea unei rădăcini pătrate. Deci, prin convenție, frecvențele pentru tonurile pure reale sunt considerate pozitive.
• @Cedron – Luați în considerare o funcție $ f (x) = x ^ 2 + ix $. $ \ $ Și $ \ \ prin urmare \ f (-x) = x ^ 2 -ix $ $ \ x ^ 2 = \ tfrac {1} {2} (f (x) + f (-x)) \ $ Ar trebui concluzionăm că $ x ^ 2 $ este ceva mai mult decât o simplă funcție pe linia numerică reală? Este alcătuit în secret din două funcții complexe? Dacă da, care două? … pentru că aș fi putut la fel de ușor să definesc $ f (x) $ ca $ x ^ 2 + ix ^ 3 $.
• Acesta nu este ‘ t despre descompunerea funcției. Ați fi putut spune la fel de ușor $ f (x) = x ^ 2 = x ^ {3/2} x ^ {1/2} $ pentru un argument la fel de specific. Expresia ” conține ambele frecvențe ” se află în contextul FT (continuu în acest caz). Dacă $ cos $ ar avea o singură frecvență, ar exista o singură valoare diferită de zero în spectru.
• Nu ‘ cred că are sens să argumentez cum multe frecvențe pe care le conține un semnal general, fără a fi de acord cu privire la ceea ce înseamnă ” rezonabilă ” descompunere în funcții periodice. O frecvență este atunci doar o expresie stenogramă pentru o componentă periodică a unei frecvențe . O descompunere rezonabilă nu va include, de exemplu, componente care se anulează complet reciproc sau componente care sunt identice.
• @ Olli – Vă mulțumim pentru ajutorul editorial cu deltele mele. Am crezut că nu ‘ arăta destul de bine, dar nu ‘ nu mi-am dat seama de ce.