Am citit că relația de comutare canonică dintre impuls și poziție poate fi văzută ca Algebra Lie a grupului Heisenberg . În timp ce înțeleg de ce relațiile de comutație ale impulsului și impulsului, impulsului și impulsului unghiular și așa mai departe apar din grupul Lorentz, nu prea ajung de unde provine simetria fizică a grupului Heisenberg.
Orice sugestii?
Comentarii
- Corelat: physics.stackexchange.com/q/19029/2451
Răspuns
S-ar putea să doriți să vedeți:
http://www.math.columbia.edu/~woit/QMbook/qmbook.pdf capitolul 13,
adică prelegerile „Mecanica cuantică pentru matematicieni: grupul Heisenberg și Schrodinger Representation „de Peter Woit, în care semnificația grupului Heisenberg este discutată în detaliu. Dar semnificația sa fizică NU este ca un grup de simetrii ale situației fizice. Deci, fiți atenți la analogii strânse între relația de comutare canonică și finit ( spuneți $ n $ ) grup Hiesenberg Lie dimensional $ \ mathfrak {H} _n \ left (\ mathbb {R} \ right) $ . Lucrul din RHS al relației $ \ left [\ mathbf {x}, \, \ mathbf {p} \ right] = i \, \ hbar \, \ mathbf {i } $ în algebra dimensională finită $ \ mathfrak {h} _n \ left (\ mathbb {R} \ right) $ NU este matricea identității – este pur și simplu ceva care face naveta cu orice altceva din algebra Lie. Hermann Weyl a subliniat că relația de comutare canonică nu se poate referi la o algebră Lie dimensională finită: în astfel de algebre, o paranteză Lie $ \ left [\ mathbf {x}, \ , \ mathbf {p} \ right] $ (între matrici pătrate) are zero urmă, dar matricea identității (sau un multiplu scalar, ca pe RHS al CCR) nu. Trebuie să treci operatorilor pe spații Hilbert cu dimensiuni infinite ( $ de ex. $ $ p = i \, \ hbar \, d / dx $ ) pentru a găsi realizarea completă a relației de comutare canonică.
Un alt mod de a înțelege că comportamentul matricei dimensionale finite Heisenberg Lie algebră este radical diferit de CCR este principiul incertitudinii în sine. Produsul incertitudinilor RMS pentru măsurători simultane de la două observabile care nu fac naveta $ \ hat {a}, \ hat {b} $ având o stare cuantică $ \ psi $ este delimitat de jos de numărul real pozitiv $ \ frac {1} {2} \ left | \ left < \ psi | c | \ psi \ right > \ right | $ unde $ \ left [\ hat {a}, \ hat {b} \ right] = ic $ (vezi secțiunea 10.5 a ediției 3 a Merzbacher „Mecanica cuantică”). Dacă $ c $ este o matrice pătrată finită și, la fel ca în algebra Heisenberg, nu are rang complet, există anumite stări (cele din $ c $ „nullspace) unde produsul de incertitudine nu poate fi nimic. Deci, algebra matricială cu dimensiuni finite poate să nu modeleze postulatul fizic al lui Heisenberg.
Vezi de asemenea, articolul Wikipedia despre grupul Heisenberg.
Comentarii
- Comentariu minor la răspuns (v2): semnul în reprezentarea Schroedinger afișată a $ p $ nu este semnul convențional.