Continuă să văd termenii condiții de ordinul întâi și condiții de ordinul doi utilizate în clasa mea de economie de licență privind funcțiile de producție, monopoluri etc., dar nu am idee ce înseamnă acești termeni. Pare un termen complet ambiguu. Ce fel de condiții?
Poate cineva să explice ce înseamnă acești termeni? Dacă este dependent de context, a oferit unele dintre ele cele mai elementare semnificații pe care le asociați cu termenul.
Răspuns
Să presupunem că aveți o funcție diferențială $ f (x) $, pe care doriți să o optimizați alegând $ x $. Dacă $ f (x) $ este utilitate sau profit, atunci doriți să alegeți $ x $ (adică pachet de consum sau cantitate produsă) pentru a face valoarea $ f $ cât mai mare posibil. Dacă $ f (x) $ este o funcție de cost, atunci doriți să alegeți $ x $ pentru a face $ f $ cât mai mic posibil. FOC și SOC sunt condiții care determină dacă o soluție maximizează sau minimizează o funcție dată.
La nivel de licență, ceea ce se întâmplă de obicei este că trebuie să alegeți $ x ^ * $ astfel încât derivatul lui $ f $ să fie egal cu zero: $$ f „(x ^ *) = 0. $$ Acesta este FOC. Intuiția pentru această condiție este că o funcție își atinge extremum (fie maxim, fie minim) atunci când derivatul său este egal cu zero (vezi imaginea de mai jos). [Ar trebui să știți că există mai multe subtilități implicate: căutați termeni precum „soluții de interior vs colț”, „global vs local maxim / minim” și „punct de șa” pentru a afla mai multe].
Cu toate acestea, așa cum ilustrează imaginea, simpla găsire $ x ^ * $ unde $ f „(x ^ *) = 0 $ nu este suficient pentru a concluziona că $ x ^ * $ este soluția care maximizează sau minimizează funcția obiectivă. În ambele grafice, funcția atinge o pantă zero la $ x ^ * $, dar $ x ^ * $ este un maximizator în graficul din stânga, dar un minimizator în graficul din dreapta.
Pentru a verifica dacă $ x ^ * $ este un maximizator sau un minimizator, aveți nevoie de SOC. SOC pentru maximizator este $$ f „” (x ^ *) < 0 $$ și SOC pentru minimizator este $$ f „” (x ^ *) > 0. $$ Intuitiv, dacă $ x ^ * $ maximizează $ f $, panta de $ f $ în jur de $ x ^ * $ scade. Luați graficul din stânga, unde $ x ^ * $ este un maximizator. Vedem că panta $ f $ este pozitivă la stânga $ x ^ * $ și negativă la dreapta. Astfel, în jurul valorii de $ x ^ * $, pe măsură ce $ x $ crește, $ f „(x) $ scade. Intuiția pentru cazul minimizatorului este similară.
Comentarii
- Dar de ce ' nu este numit " Primul test derivat " este încă un mister pentru mine.
Răspunde
De exemplu, când vorbești despre maximizarea profitului pornind de la o funcție de profit $ \ pi (q) $, principala condiție pentru un maxim este că: $$ \ frac {\ partial \ pi} {\ partial q} = 0 $$ Acesta este FOC (prima ordine condiție).
Cu toate acestea, pentru a fi sigur că ceea ce ați găsit mai sus este un maxim adevărat trebuie să verificați și o condiție „secundară” care este: $$ \ frac {\ partial ^ 2 \ pi} {\ partial q ^ 2} < 0 $$ Aceasta se numește SOC (condiția de ordinul doi).
Răspuns
Ținta este de a găsi un maxim local (sau minim) al unei funcții.
Dacă f unția este diferențiată de două ori:
- primul test derivat vă va spune dacă este un extremum local.
- al doilea test derivat vă va spune dacă este „maxim local sau minim.
În cazul în care funcția nu este diferențiată, puteți face un test extremum mai general .
Notă: este imposibil să construiți un algoritm pentru a găsi un maxim global pentru o funcție arbitrară .
Economiștii neoclasici cu siguranță redenumesc aceste două metode matematice în condiții de prim ordin și condiții de ordinul doi pentru a arăta grozav sau din alte motive istorice. De ce să folosești un nume utilizat pe scară largă atunci când poți pur și simplu să inventezi unul?
Termenul este folosit și în maximizare constrânsă atunci când utilizează Metoda multiplicatorului Lagrange și condițiile Karush – Kuhn – Tucker . Din nou, nu cred că termenul este folosit de non-economist.