Cea mai bună modalitate de a învăța trigonometria

Schițele lui Schaum sunt foarte practice în general și ieftine. Se potrivesc pentru un elev mai în vârstă. răspunsurile sunt imediat după probleme comparativ cu cele de la sfârșit. Și veți primi toate răspunsurile, nu gyp-ul impar / pare. Astfel potrivit pentru auto-învățare.

Îmi place acesta, în general și îl dețin: https://www.amazon.com/gp/product/0070026505/ref=dbs_a_def_rwt_hsch_vapi_taft_p1_i10

Este din anii 1960, deci limba nu este arhaică, dar nu este „nou”. Nu sunteți sigur ce beneficii doriți, în afară de limbă, de la versiunile mai noi, dar dacă doriți una nouă, acestea au o ediție a patra recentă, pe care o puteți obține.

Rețineți, acesta este un pre-calc general carte (și probabil de ce aveți nevoie). Dar, dacă doriți doar un trigger, Schaum are și asta. Evident, există mai multe probleme de trig în cartea trig decât cartea precalc (care are acoperite toate cursurile normale de liceu).

Ps fii mai ușor să te sfătuiesc dacă ne-ai spus ce cărți nu ți-au dat greș. Ca și cum am scris un răspuns lung degeaba?

Pss Nu sunt sigur de ce trig este atât de mult un obstacol pentru oameni. Dar recomand să ne gândim mai întâi la păcat și cos și altele în contextul cercului unitar, nu la raporturile laturilor triunghiurilor. Este doar un concept puțin mai simplu și fără un raport de urmărit.

https://www.khanacademy.org/math/algebra2/x2ec2f6f830c9fb89:trig/x2ec2f6f830c9fb89:unit-circle/v/unit-circle-definition-of-trig-functions-1 (Kahn îl face puțin mai complex aici vorbind despre rapoarte. Dar când l-am învățat, marele beneficiu a fost o primă introducere fără rapoarte … doar axele x și y ale cercului unitar.

Comentarii

• Vă mulțumim pentru răspuns! Și aveți ‘ dreptate, ar fi trebuit să menționez ce cărți. Cele 3 cărți sunt Trigonometry, ediția a 5-a de Lial, Miller, Hornsby, 1993., Trigonometry Workbook for Dummies de Mary Sterling și College Trigonometry de Stitz și Zeager, 2013. I ‘ Voi începe precalc la uni, odată ce vara se termină, și ‘ sunt sigur că ‘ mă voi simți confortabil cu trig în curând. Sper doar să învăț suficient în timpul mediu, așa că îmi termin primul curs fără prea multe denivelări pe drum.
• Asigurați-vă că lucrați cu multe probleme. S-ar putea să vă simțiți ” Nu ‘ nu primesc „. Dar dacă lucrați cu cantități mari de probleme, acesta va fi doar îndoit în cap. Iar problemele de lucru înseamnă acoperirea răspunsului, rezolvarea problemei până la capăt. Verificându-vă răspunsul. Repetarea (în întregime) a oricăror probleme ratate de la zero (chiar și pentru erorile de semnal stupide). Tratați-l ca pe un antrenament fizic pentru un sport sau ca să învățați un instrument muzical. Fiți sârguincioși.
• @RustyCore Doar pentru a fi clar, eu ‘ m transfer de la un colegiu local. Ceea ce am absolvit la facultate nu are legătură cu matematica și avea foarte puține cerințe matematice, de aceea prima mea clasă de matematică la uni fiind precalc.
• @guest, înțeleg. Dar cred că Rusty a fost presumit și grosolan. ‘ Sunt pe deplin conștient că obținerea acestei diplome va fi probabil cea mai provocatoare și stresantă perioadă din viața mea, dar nu îmi doresc cu adevărat ‘ să mă închid de la asta doar pentru că ‘ m-a fost greu cu un subiect. Majoritatea oamenilor renunță și spun că ‘ nu sunt doar oameni de matematică atunci când se confruntă cu un obstacol și se opresc imediat de la matematică suplimentară sau de elementele de bază de care au nevoie de o reîmprospătare. ‘ Încerc să evit asta pentru că am făcut exact anii anteriori.
• @Lex_i, sună ca un student matur și am avut o mulțime de studenți ca tine care excelezi. Sper că aventurile tale în matematică îți vor aduce bucurie.

Poate că o abordare vizuală ar putea completa studiul tău? Există multe astfel de resurse disponibile pe web, nu în manuale. De exemplu, Trig Intuitively :

---

         
          ^{Notă: etichetele arată unde se ridică fiecare element ” . ”}

---

Altul: Cerc interactiv de unitate . Altul: Funcții de declanșare inversă .

Comentarii

• it ‘ o diagramă utilă. Aș adăuga un disclaimer că se folosește conceptul de triunghiuri similare, pentru a preveni confuzia.
• Cred că diagrama ar fi mai utilă dacă ar arăta unghiul și ce funcții au toate funcțiile . Se pare că ‘ este conceput pentru a vă aminti ceea ce știți deja, nu pentru a învăța trig de la zero.
• @JessicaB: În primul rând, nu este diagrama mea: -). În al doilea rând, există o narațiune care merge împreună cu ea; nu este destinat să stea singur. În al treilea rând, mi se pare util să văd, de exemplu, că $ \ sin \ le \ tan $ și $ \ sec \ ge \ tan $ și $ \ tan $ pot fi nelimitate, etc.
• @ JessicaB: PS. Unghiul este unghiul din centrul cercului, cerc care din păcate este aproape invizibil în instantaneul meu.
• @JosephO ‘ Rourke Știu că nu ‘ nu desenează-l. Și acum știu că unghiul este cel din centru, pentru că știu trig. Dar când am întâlnit-o prima dată, m-am confundat foarte mult, pentru că nu ‘ nu luasem relația cu unghiul.

Personal aș prefera o recomandare de manual pe care o pot descărca sau ridica care [de preferință] nu este veche și nu nu face trigonometria intimidantă pentru abordare (în special una care pune accentul pe înțelegerea dovezilor din spatele proprietăților / teoremelor).

Nu am manuale de recomandat, dar pot recomandă o abordare a efectuând trigonometrie care facilitează înțelegerea matematică a acestuia prin cristalizarea fundamentare logică fundamentare a trigonometriei și structură algebrică a expresiilor trigonometrice. Există două „niveluri” la aceasta, în funcție de dacă doriți să mergeți direct la compl ex numere sau rămâneți în trigonometrie reală. În ambele cazuri, accentul se pune pe identificarea intrinsecă nucleul trigonometriei și reducerea tuturor celorlalte.

---

Trigonometrie reală

Cantitățile cheie sunt $ \ cos (t) $ și $ \ sin (t) $ , care sunt $ x $ și $ y $ coordonatele punctului $ P_t $ de pe cercul unității care subtend un arc de lungime $ t $ în sens invers acelor de ceasornic din $ x $ -axis, așa cum este descris în imaginea din wikipedia :

Aici lungimea arcului este măsurată de-a lungul cercului unitar și $ π $ este definit ca lungime a arcului semicercului, deci $ 2π $ este 360 $ ° $ . (Acest mod de măsurare a unghiurilor este adesea numit măsurarea acestora în ” radiani „, dar personal cred că este un termen inutil.) Notă că $ P_t = P_ {t + 2πk} $ pentru orice număr întreg $ k $ , deoarece $ 2πk $ ar fi un multiplu întreg de runde complete. De asemenea, rețineți că creșterea $ t $ mută $ P_t $ în sens invers acelor de ceasornic, în timp ce scade $ t $ deplasează $ P_t $ în sensul acelor de ceasornic. În legătură cu aceasta, $ P _ {- t} $ este reflectarea $ P_t $ în $ x $ -axis.

Rețineți că semnele $ \ cos (t) $ și $ \ sin (t) $ se potrivesc exact cu semnele $ x $ și $ y $ coordonatele punctului de pe cerc. (Nu ascultați persoanele care vă spun să memorați ceva pentru a determina care dintre ele este pozitiv în ce cadran.)

Și doar prin definiție, $ \ cos ( t) ^ 2 + \ sin (t) ^ 2 = 1 $ pentru fiecare $ t $ real. Acesta este primul fapt algebric cheie .

În continuare, $ \ tan (t) $ este definit ca $ \ sin (t) / \ cos (t) $ . (Din punct de vedere istoric, am definit și $ \ sec (t): = 1 / \ cos (t) $ și $ \ csc (t): = 1 / \ sin (t) $ și $ \ cot (t): = 1 / \ tan (t) $ , dar, sincer, există puține beneficii pe care să le ai atât de multe când $ \ cos, \ sin $ este suficient.) Ori de câte ori doriți să simplificați orice expresie trigonometrică care implică $ \ cos, \ sin, \ tan, \ sec, \ csc, \ cot $ , probabil că ar trebui să efectuați tehnica matematică standard a rescriere în formă canonică , ceea ce în acest caz înseamnă rescriere în termeni de $ \ cos, \ sin $ , în timp ce luând notă unde expresia originală nu este definită (de exemplu, $ 1 / \ csc (t) = \ sin (t) $ pentru orice $ t $ numai atunci când $ t $ nu este un multiplu al $ π $ ).

alte fapte algebrice cheie apar din considerarea matricilor de rotație aplicate vectorilor. (Dacă nu sunteți familiarizați cu matricile ca operatori pe vectori, citiți mai întâi acest . Pentru o introducere a vectorilor în spațiul euclidian, consultați aici .) Fie $ R $ orice rotație despre originea în plan. Apoi, $ R $ îndeplinește trei proprietăți:

1. $ R (u + v) = R (u) + R (v) $ pentru orice vector $ u, v $ (adică însumarea a doi vectori, apoi rotirea rezultatului dă același lucru cu rotirea cei doi vectori mai întâi înainte de a le însuma).
2. Dacă $ R, S $ sunt rotații ale unghiurilor în sens invers acelor de ceasornic $ t, u $ respectiv, atunci $ R∘S $ este o rotație a unghiului în sens antiorar $ t + u $ .
3. Dacă $ R $ este o rotație a unghiului în sens invers acelor de ceasornic $ t $ , apoi:
   a. $ R (⟨x, 0⟩) = ⟨x · \ cos (t), x · \ sin (t)⟩ $ pentru orice $ x $ .
   b. $ R (⟨0, y⟩) = ⟨-y · \ sin (t), y · \ cos (t)⟩ $ pentru orice $ y $ .

Putem lua aceste proprietăți ca axiome (presupunere) despre rotații. La urma urmei, dacă $ R $ nu le satisface, atunci nu am numi $ R $ o rotație la începe cu. Pentru a vedea de ce, proprietatea (1) surprinde intuiția că rotirea a două tije conectate va roti ambele tije după unghiul de rotație păstrând în același timp locul în care se conectează. Proprietatea (2) este necesară numai împreună cu proprietatea (3). Proprietatea (3a) urmează din definiția $ \ cos, \ sin $ , iar proprietatea (3b) urmează din aceeași definiție rotită $ 90 ° $ în sens invers acelor de ceasornic.

Proprietățile (1) și (3) dau forma matricială a unei rotații 2d:

Dacă $ R $ este o rotație a unghiului în sens invers acelor de ceasornic $ t $ , apoi $ R = \ small \ pmatrix {\ cos (t) & – \ sin (t) \\ \ sin (t) & \ cos (t)} $ .

Și apoi folosind proprietatea (2) vom obține:

$ \ small \ pmatrix {\ cos (t + u) & – \ sin (t + u) \\ \ sin (t + u) & \ cos (t + u)} = \ pmatrix {\ cos ( t) & – \ sin (t) \\ \ sin (t) & \ cos (t)} \ pmatrix {\ cos (u) & – \ sin (u) \\ \ sin (u) & \ cos (u)} $ pentru orice real $ t, u $ .

Înmulțirea produsului matricial din dreapta și compararea cu matricea din stânga oferă imediat unghiul- sum identities:

$ \ cos (t + u) = \ cos (t) · \ cos ( u) – \ sin (t) · \ sin (u) $ pentru orice real $ t, u $ .

$ \ sin (t + u) = \ cos (t) · \ sin (u) + \ sin (t) · \ cos (u) $ pentru orice real $ t, u $ .

Ori de câte ori doriți să simplificați expresiile care implică funcții trigonometrice pe sume de unghiuri, ar trebui să luați în considerare utilizarea acestor identități pentru a reduce expresia să fie în termeni de $ \ cos, \ sin $ cu cât mai puține unghiuri posibile.

De fapt, toate trigonometricele i dentitățile care implică doar operații aritmetice și funcții trigonometrice pot fi dovedite folosind doar definițiile de mai sus și faptele algebrice cheie. Un pic curios, chiar și proprietățile de simetrie pot fi dovedite algebric după cum urmează.

Având în vedere orice $ t $ real:

$ 1 = \ cos (t + (- t)) = \ cos (t) · \ cos (-t) – \ sin (t) · \ sin (-t) $ . [angle-sum]

$ 0 = \ sin (t + (- t)) = \ cos (t) · \ sin (-t) + \ sin ( t) · \ cos (-t) $ . [angle-sum]

$ \ cos (t) = \ cos (t) ^ 2 · \ cos (-t) – (\ cos (t) · \ Sin (-t)) · \ sin (t) $

$ = \ cos (t) ^ 2 · \ cos (- t) + (\ sin (t) · \ cos (-t)) · \ sin (t) $

$ = (\ cos (t) ^ 2 + \ sin (t) ^ 2) · \ cos (-t) $

$ = \ cos (-t ) $ .

$ \ sin (t) = (\ sin (t) · \ cos (-t)) · \ cos (t ) – \ sin (t) ^ 2 · \ sin (-t) $

$ = – (\ cos (t) · \ sin (-t)) · \ cos (t) – \ sin (t) ^ 2 · \ sin (-t) $

$ = – \ sin (-t) · (\ cos (t) ^ 2 + \ sin (t) ^ 2) $

$ = – \ sin (-t) $ .

Trecând la o analiză reală, am avea nevoie de următoarele fapte, care pot fi luate ca axiome pentru moment (și justificate separat mai târziu):

1. $ \ sin „= \ cos $ .
2. $ \ cos „= – \ sin $ .

La fel ca înainte, totul ca nu se reduce la acestea, deci nu este nevoie reală de a memora ceva mai mult (chiar dacă poate fi convenabil să faceți acest lucru).

---

Trigonometrie complexă

Personal, Cred că cel mai bine este să mergi direct la funcțiile trigonometrice complexe, dacă se dorește o bază completă și riguroasă pentru câmpul matematic al analiză . Se definește pur și simplu: $ \ def \ rr {\ mathbb {R}} \ def \ cc {\ mathbb {C}} \ def \ lfrac # 1 # 2 {{\ large \ frac {# 1} {# 2}}} $

$ \ exp (z ): = \ sum_ {k = 0} ^ ∞ \ lfrac {z ^ k} {k!} $ pentru fiecare complex $ z $ (după dovedind că suma converge).

$ \ cos (z): = \ lfrac {\ exp (iz) + \ exp (-iz)} {2} $ .

$ \ sin (z): = \ lfrac {\ exp (iz) – \ exp (-iz)} {2i} $ .

$ π $ este de două ori prima rădăcină pozitivă din $ \ cos $ ( după ce am demonstrat că există).

Motivația este că dorim $ \ exp: \ cc → \ cc $ astfel încât $ \ exp „= \ exp $ și $ \ exp (0) = 1 $ , pentru a putea rezolva ecuații diferențiale liniare generale și dorim $ \ cos, \ sin: \ rr → \ rr $ astfel încât $ \ cos „” = – \ cos $ și $ \ sin „” = – \ sin $ și $ ⟨\ cos (0), \ cos „(0)⟩ = ⟨1,0⟩ $ și $ ⟨\ sin (0 ), \ sin „(0)⟩ = ⟨0,1⟩ $ , pentru a putea rezolva mișcarea armonică simplă, iar expansiunea Taylor ne aduce la definițiile de mai sus pentru $ \ exp, \ cos, \ sin $ , pe care le putem dovedi că converg pe întregul plan complex. Definiția de mai sus a $ π $ este cea mai ușoară despre care știu, care nu depinde de nicio geometrie. (Pentru mai multe detalii despre această motivație, consultați această postare .)

Este suficient să spunem că, cu aceste definiții, putem demonstra prin analize de bază că $ \ exp, \ cos, \ sin $ satisfac proprietățile motivante dorite, precum și o altă proprietate cheie din $ \ exp $ :

$ \ exp (z + w) = \ exp (z) · \ exp (w) $ pentru orice complex $ z, w $ .

Folosind această proprietate, putem dovedi toate identitățile trigonometrice doar prin manipulare algebrică (și sunt valabile pentru variabile complexe și nu doar variabile reale).

De exemplu, având în vedere orice complex $ z $ :

$ \ cos (z) ^ 2 + \ sin (z) ^ 2 = \ lfrac {(\ exp (iz) + \ exp (-iz)) ^ 2} {4} – \ lfrac {(\ exp (iz) – \ exp (-iz)) ^ 2} {4} $

$ = \ exp (iz) · \ exp (-iz) = \ exp (0) = 1 $ .

Cu toate acestea, de multe ori este mai ușor dovediți aceleași fapte algebrice cheie pentru $ \ cos, \ sin $ și apoi folosiți-le pentru a dovedi alte identități, decât pentru a reduce totul la $ \ exp $ .

Comentarii

• Pentru investigații matematice suplimentare, sunteți binevenit (ă) la această cameră de chat .

Do Saylor Academy sau edX ai ceva care te va ajuta? Ambele sunt platforme gratuite cu cursuri de matematică. Academia Saylor folosește aproape exclusiv un manual – puteți obține de fapt credit prin intermediul acestora. Modernstates.org vă poate ajuta, de asemenea – au un curs auto-ghidat cu videoclipuri pentru a-l preda. Rootmath poate fi și o resursă bună. Aveți de gând să obțineți credit pentru acest curs prin Clep?