Care este forma cea mai generală pentru ecuația de undă? Este $ \ frac {\ partial ^ 2 \ Psi} {\ partial t ^ 2} -v ^ 2 \ nabla ^ 2 \ Psi = 0 $?
De exemplu, can $ \ frac {\ partial ^ 2 \ Psi} {\ partial t ^ 2} -v ^ 2 \ nabla ^ 2 \ Psi = cte $ fi o ecuație de undă? Dacă da, care este soluția în acest caz.
Răspunde
Nu sunt sigur ce vrei să spui prin $ cte $ , dar presupun că este o constantă, dar s-ar putea să interpretez greșit
Adesea vorbim despre două clase de ecuații diferențiale, omogene și neomogene. Această distincție este rădăcina întrebării dvs., \ begin {ecuație } \ frac {1} {v ^ 2} (\ partial_t) ^ 2 f (\ vec {r}, t) – \ nabla ^ 2 f (\ vec {r}, t) = 0 \ end {ecuație} este forma omogenă a ecuației undei, în timp ce \ begin {ecuație} \ frac {1} {v ^ 2} (\ partial_t) ^ 2 f (\ vec {r}, t) – \ nabla ^ 2 f (\ vec { r}, t) = u (\ vec {r}, t) \ end {ecuație} este ecuația de undă neomogenă ($ u (\ vec {r}, t) $ poate fi, de asemenea, constantă dacă ne place). Acest lucru apare Un exemplu este că radiația electromagnetică în prezența sarcinilor și curenților este guvernată de ecuația undelor neomogene, forma omogenă este valabilă numai atunci când $ \ rho = 0 $ și $ \ vec {J} = 0 $. În funcție de cine întrebați, cred că majoritatea oamenilor ar spune totuși inhom ecuația de undă ogeneous este o ecuație de undă, dar soluția poate fi gustată, deoarece soluțiile pot ajunge să aibă un caracter foarte diferit de cele omogene.
În general, nu pot spune multe despre aceste soluții, deoarece acestea vor depinde în mare măsură de forma $ u $, deși sunt sigur că unele Google vă va oferi o mulțime de exemple.
Comentarii
- Perfect. Și ce zici de ecuația de undă amortizată? Care este forma sa?
Răspuns
Mason a gestionat distincția dintre ecuații diferențiale neomogene și omogene, dar dacă una vorbește despre cea mai generală formă posibilă a ecuației undei, este,
$$ \ square \ phi ^ {i_1 \ dots i_m} _ {j_1 \ dots j_n} (x) = f ^ { i_1 \ dots i_m} _ {j_1 \ dots j_n} (x) $$
unde ambele câmpuri au ranguri $ (m, n) $ tensori, acționați de operatorul Laplace-Beltrami $ \ square = \ nabla ^ a \ nabla_a $ a cărui acțiune asupra tensorilor depinde atât de metrică, cât și de rangul lor. Pentru un câmp scalar cu metrică $ \ eta _ {\ mu \ nu} $, acesta se reduce la cea mai familiară formă a ecuației undei, $ (\ partial ^ 2_t – \ nabla ^ 2) \ phi = f $. (Cele de mai sus pot fi reformate și în limbajul formelor diferențiale.)
Cu toate acestea, într-un fel acest lucru nu acoperă toate posibilitățile. De exemplu, în relativitate generală, pentru o perturbație $ h_ {ab} $ a metricei, prima modificare a ordinii în curbură este,
$$ \ delta R_ {ab} \ propto \ Delta_L h_ { ab} = \ square h_ {ab} -2 \ nabla _ {(a} \ nabla ^ c \ bar {h} _ {b) c} -2 R_ {d (a} h ^ d_ {b)} +2 R_ {acbd} h ^ {cd} $$
care este înțeles ca „operator de unde” al spațiului curbat, deoarece admite cu siguranță soluții de undă, dar nu este în mod clar echivalent cu ecuația de undă de mai sus, așa cum conține alți termeni care implică tensori de curbură. Astfel, „cea mai generală formă” a ecuației de undă nu este ceva ce putem scrie cu adevărat, cu excepția cazului în care ideea dvs. este strict $ (\ partial ^ 2_t – \ nabla ^ 2) \ phi = f $.
