Aici „o întrebare de probabilitate (probabil foarte simplă) Nu sunt sigur cum să rezolv:
Gamma distribuție $ X \ sim \ mathcal {G} (\ alpha, \ beta) $ cu $ \ mu = 20 $ și $ \ sigma ^ 2 = 80 $
$ P (X \ le 24) $ =?
Întrebarea anterioară a găsit valorile $ \ alpha $ și $ \ beta $, ceea ce am făcut folosind $ \ mu $ = $ \ alpha $$ \ beta $ și $ \ sigma ^ 2 $ = $ \ alfa $$ \ beta ^ 2 $.
Pentru distribuția gamma cdf, manualul meu spune $ P (X \ le x) = F (x; \ alpha, \ beta) = F (x / \ beta; \ alpha, 1) $ unde $ F (x / \ beta; \ alpha, 1) $ este distribuția gamma standard cdf $$ F (x; \ alpha, 1) = \ frac {1} {\ Gamma (\ alpha)} \ int_0 ^ x { y ^ {\ alpha-1} e ^ {- y}} \ text {d} y $$
Pentru a integra asta, se pare că trebuie să folosesc regula lanțului, dar profesorul nostru nu a făcut-o niciodată un exemplu. Există o metodă de comandă rapidă? Nu am folosit niciodată integrarea într-un exemplu real, doar pentru a defini pdf-ul și a obține cdf-ul pentru diferite distribuții.
Edit
Exemplele din manualul care implică probleme standard de distribuție gamma spune să caute valorile pentru $ F (x; \ alpha) $ în Tabelul A.4 din apendice. Când m-am uitat, lipsea Tabelul A.4, ceea ce mă dezamăgește cu adevărat. Există ceva tabele standard de distribuție gamma online pe care le pot imprima și preda cu sarcina? Am verificat Wolfram Alpha, dar nu aveau unul. Casio are ceva , dar nu sunt sigur care sunt formele și parametrii scării.
Editați 2
Am găsit acel tabel. În partea din față a cărții, tabelul A.5 a venit imediat după A.3, motiv pentru care am crezut că A.4 lipsește. M-am dus la bibliotecă pentru a vedea dacă au aveau același manual; aveau și cineva avea bunul simț (pe care eu nu-l aveam) să se uite în spatele cărții, și acolo era. Nu mai este nevoie de ajutor.
Comentarii
- Trebuie să te integrezi pe părți în mod repetat începând cu $ u = y ^ {\ alpha-1} $ și $ v = -e ^ {- y} $, $ dv = e ^ {- y} dy $ și $$ \ int u dv = uv – \ int v du. $$ De fiecare dată când faceți acest lucru, veți obține o integrală cu un exponent mai mic pentru $ y $. Dacă $ \ alpha $ este un număr întreg, veți putea termina procesul. Dacă $ \ alpha $ nu este un număr întreg, lucrurile sunt mai complicate.
- @dilip ar trebui să postezi comentariul ca răspuns.
- @DilipSarwate, nu există nicio soluție închisă pentru $ \ alpha $ non-integer, acest cdf este apoi funcția gamma incompletă .
- Și mă îndoiesc că integrarea pe părți a fost scopul a exercițiului.
- wolframalpha.com/input/?i=CDF[GammaDistribution[5%2C+4]%2C+24]
Răspuns
După cum sugerează probabilityislogic, comentariul meu este convertit într-un răspuns.
Trebuie să integrați prin părți în mod repetat începând cu $ u = y ^ {\ alpha -1} $, $ v = −e ^ {- y} $, $ \ mathrm dv = e ^ {- y} \ mathrm dy $ și folosind $$ \ int_0 ^ xu \ \ mathrm dv = uv \ biggr | _0 ^ x – \ int_0 ^ xv \ \ mathrm du. $$ Deoarece $ \ mathrm du = (\ alpha-1) y ^ {\ alpha-2} \ mathrm dy $, de fiecare dată când faceți o integrare pe părți, va primi o integrală cu un e mai mic xponent pentru $ y $ pe partea dreaptă. Dacă $ \ alpha $ este un număr întreg (așa cum este în acest caz particular), veți putea termina procesul cu un $ \ int_0 ^ x e ^ {- y} \ mathrm dy $. Dacă $ \ alpha $ nu este un număr întreg, lucrurile sunt mai complicate deoarece nu există o expresie generală în formă închisă pentru $ \ int_0 ^ xy ^ {\ gamma} e ^ {- y} \ mathrm dy $ unde $ 0 < \ gamma < 1 $. După cum a remarcat Xi „an, cdf este funcția gamma incompletă, iar valorile sale numerice au fost tabelate.
Dacă integrarea pe părți nu este nu punctul acestui exercițiu, așa cum este sugerat în comentariul lui Elvis, poate doriți să verificați dacă profesorul dvs. dorește să vă gândiți la valoarea unei variabile gamma aleatorii ca timp de sosire într-un proces aleatoriu Poisson și să rezolvați problema din acel punct de vedere.
Comentarii
- Există un tabel online pentru diferite valori ale lui x și alfa? Manualul meu are numai tabele pentru curbele normale standard și distribuțiile t. Am încercat să caut unul, dar am găsit în schimb prea multe tabele Chi-pătrate
- Nu ' nu știu de un tabel online, dar MATLAB va calcula valori pentru dvs. și presupun că R sau Mathematica sau Wolfram Alpha sau Maple sau … etc. ar face același lucru.