Confuzie cu privire la calculul perioadei fundamentale?

Funcțiile trigonometrice sunt în esență exponențiale. Astfel, o dublare a argumentului corespunde unui pătrat al funcției (într-un sens). În acest caz, poate fi văzut prin aplicarea formulei de adăugare a unghiurilor:

$$ \ begin {align} \ cos (2 \ theta) & = \ cos (\ theta + \ theta) \\ & = \ cos (\ theta) \ cos (\ theta) – \ sin (\ theta) \ sin (\ theta) \\ & = \ cos ^ 2 (\ theta) – (1- \ cos ^ 2 (\ theta)) \\ & = 2 \ cos ^ 2 (\ theta) – 1 \ end {align} $$

Making

$$ \ cos ^ 2 (\ theta) = \ frac {\ cos (2 \ theta) + 1} {2} $$

Aplicarea acestuia la ecuație:

$$ x (t) = \ cos ^ 2 (4 \ pi t) = \ frac {\ cos (8 \ pi t) + 1 } {2} $$

De aici este clar că perioada fundamentală este 0,25, deoarece asta face $ 8 \ pi t = 2 \ pi $ .

La cerere:

$$ \ begin {align} x (t) & = \ cos ^ 3 (4 \ pi t) \\ & = \ left (\ frac {e ^ {i 4 \ pi t} + e ^ {- i 4 \ pi t}} {2} \ right) ^ 3 \\ & = \ frac {1} {8} \ left (e ^ {i 12 \ pi t} + 3 e ^ {i 4 \ pi t} + 3 e ^ {- i 4 \ pi t} + e ^ {- i 12 \ pi t} \ right) \\ & = \ frac {1} {4} \ left [\ cos (12 \ pi t) + 3 \ cos (4 \ pi t) \ right] \\ \ end {align} $$

Ar trebui să vă puteți da seama de acolo. Notă, carcasa pătrată ar fi putut fi tratată în același mod.

Folosesc această tehnică pe scară largă pentru aceste formule:

• Formule de frecvență instantanee exacte, cele mai bune la vârfuri (partea 1)
• Formule de frecvență aproape instantanee exacte, cele mai bune la vârfuri (partea 2)
• Formule de frecvență aproape instantanee exacte, la cele mai bune treceri zero

Comentarii

• Vă rugăm să actualizați ultimul al doilea rând al răspunsului dvs. Este o perioadă fundamentală de 0,25, nu o frecvență fundamentală.
• @Man Gata, captură bună. Ne pare rău pentru asta.
• Vă rugăm să modificați răspunsul pentru a satisface nevoia de întrebare actualizată.
• @Man Renunțați la schimbarea posturilor obiectivului. n = 3,4,5 … poate fi calculat în funcție de model. rezultatul final este $ n4 \ pi T = 2 \ pi $ care este același cu $ T = 1 / (2n) $

Acest lucru pare a fi mai mult o problemă semantică.

Un semnal este periodic cu timpul $ T $ dacă

$$ x (t + n \ cdot T) = x (t), n \ in \ mathbb {Z} $$

Deci semnalul este periodic în $ 0,5 $ deoarece $ T = 0.5 \ cdot n $ argumentul cosinusului este un multiplu întreg al $ 2 \ pi $ . Deoarece este „periodic în $ 0,5 $ , este„ periodic și în toți multiplii întregi ai $ 0,5 $ , adică $ 1 $ , $ 1.5 $ , $ 2 $ etc.

În acest caz, este și periodic în 0,25 $ $ , deoarece $$ \ cos ^ 2 (4 \ cdot \ pi \ cdot t) = 0,5 \ cdot (1+ \ cos (8 \ cdot \ pi \ cdot t)) $$

Deci orice semnal periodic are un număr infinit de perioade, cea fundamentală este cea mai mică și toate celelalte sunt multipli întregi ai fundamentalului.

Dacă ajută pe oricare, generați o undă sinusoidală de amplitudine unitară la 1 Hz și pătratul său:

Apoi sinusoidala și pătratul său arată astfel:

Puteți vedea componenta DC: valoarea medie a undei sinusoidale pătrate (mediată pe un număr întreg de perioade) este 1/2. Iar frecvența roșie a undelor sinusoidale este exact dublată, deci perioada este înjumătățită. DC și frecvența dublată sunt „frecvențele de bătăi” obținute prin înmulțirea undei sinusoidale de la sine.

Comentarii

• ce software folosiți?
• Folosesc un program de simulare comercial numit Extend (versiune mai veche) și ExtendSim (versiuni mai noi), de la Imagine That, Inc. Acestea sunt completate cu patru biblioteci de blocuri pe care am început să le dezvolt în 1990. Bibliotecile mele, numite LightStone, sunt disponibile gratuit, cu codul sursă complet comentat. Adresa URL a bibliotecilor mele este umass.box.com/v/LightStone . Voi actualiza bibliotecile până la sfârșitul săptămânii, astfel încât să funcționeze cu cea mai recentă versiune ExtendSim 10.0.6 (ar trebui să fie doar o recompilare). Modelul de mai sus a fost făcut cu Extend 6.0.8 pe un Mac vechi (îmi place felul în care arată).
• Mulțumesc, ' îl voi verifica: )