Cum funcționează flotabilitatea?

Idee de bază

Imaginați-vă în minte un ocean adânc de apă. Imaginați-vă o coloană de apă, care merge de la suprafață până la o adâncime $ d $. Coloana de apă are o greutate de aproximativ $ W $. Prin urmare, există o forță descendentă de magnitudine $ W $ pe acea coloană de apă. Cu toate acestea, știți că coloana de apă nu se accelerează, deci trebuie să existe o forță ascendentă de magnitudine $ W $ care împinge coloana respectivă. Singurul lucru sub coloană este mai multă apă. Prin urmare, apa la adâncimea $ d $ trebuie să împingă în sus cu forța $ W $. Aceasta este esența flotabilității. Acum, să facem detalii.

Detalii

Greutatea $ W $ a unei coloane de apă cu secțiunea transversală $ A $ și înălțimea $ d $ este

$$ W (d) = A d \ rho _ {\ text {water}} $$

unde $ \ rho _ {\ text {water}} $ este densitatea apei. Aceasta înseamnă că presiunea apei la adâncimea $ d $ este

$$ P (d) = W (d) / A = d \ rho _ {\ text {water}}. $$

Acum, să presupunem că ați pus un obiect cu secțiune transversală $ A $ și înălțime $ h $ în apă. Există trei forțe pe acel obiect:

1. $ W $: Obiectul „s greutatea proprie.
2. $ F _ {\ text {above}} $: Forța apei deasupra obiectului.
3. $ F _ {\ text {below}} $: Forța a apei de sub obiect.

Să presupunem că fundul obiectului este la adâncimea $ d $. Apoi partea de sus a obiectului este la adâncimea $ d-h $. Folosind rezultatele noastre de mai înainte, avem

$$ F _ {\ text {mai jos}} = P (d) A = d \ rho _ {\ text {water}} A $$

$$ F _ {\ text {above}} = P (dh) A = (dh) A \ rho _ {\ text {water}} $$

Dacă obiectul este în echilibru, este nu accelerează, deci toate forțele trebuie să se echilibreze:

$ \ begin {eqnarray} W + F _ {\ text {above}} & = & F _ {\ text {mai jos}} \\ W + (dh) \ rho _ {\ text {water}} A & = & d \ rho _ {\ text {water}} A \\ W & = & h A \ rho _ {\ text {water}} \\ W & = & V \ rho _ {\ text {water}} \ end { eqnarray} $

unde în ultima linie am definit volumul obiectului ca $ V \ echiv h A $. Aceasta spune că condiția pentru echilibru este că greutatea obiectului trebuie să fie egală cu volumul este mai mare decât densitatea apei. Cu alte cuvinte, obiectul trebuie să deplaseze o cantitate de apă care are aceeași greutate ca obiectul. Aceasta este legea obișnuită a flotabilității.

Din această descriere cred că vă puteți extinde la cazul aerului în loc de apă și la gradientul de presiune orizontal în loc de vertical.

Cred că presiunea care acționează asupra suprafeței lucrului mai ușor are ceva de-a face cu aceasta, dar despre asta este vorba aceasta.

Acesta este de fapt începutul și sfârșitul întregii povești. Aceasta, în teorie, este tot ce trebuie să știți despre flotabilitate. Să vedem cum se desfășoară această afirmație și cum duce la celelalte bucăți de cunoștințe pe care le-ați obținut despre flotabilitate.

Vă imaginați pur și simplu o diagramă corporală gratuită pentru corpul plutitor / scufundat. pe el se află presiunea, peste tot normală la suprafața corpului și greutatea corpului.

Forța netă asupra corpului din fluidul din jur este atunci:

$ $ \ mathbf {F} = \ int_S \, p (\ mathbf {r}) \, \ mathbf {\ hat {n}} (\ mathbf {r}) \, \ mathrm {d} S \ tag {1} $$

unde însumăm forțele de presiune $ p (\ mathbf {r}) \, \ mathbf {\ hat {n}} (\ mathbf {r}) $ acționând asupra elementelor zonei $ \ mathrm {d} S $ în direcția unității normale $ \ mathbf {\ hat {n}} (\ mathbf {r}) $ în funcție de poziția $ \ mathbf {r} $ peste suprafața interfeței $ S $ între fluid și corp. Asta este tot ceea ce există. Desigur, este greu de văzut doar din (1) ce se va întâmpla cu un corp plin de lichide, așa că să trecem la răspunsuri mai practice.

Facem un mic truc: se dovedește că pe care îl puteți presupune oricând pentru probleme de flotabilitate că suprafața $ S $ în (1) este o limită închisă a unui volum (asta chiar și atunci când vă confruntați cu probleme precum bărcile care, în mod ideal, sunt not total scufundat și limita închisă ar părea la prima vedere inaplicabilă). Mai întâi formăm produsul interior al $ \ mathbf {F} $ cu un vector unitate arbitrar $ \ mathbf {\ hat {u}} $ și apoi, având în vedere suprafața închisă, putem aplica teorema divergenței la (1) pentru volumul $ V $ în interiorul suprafeței închise $ S = \ partial \, V $:

$$ \ langle \ mathbf {F}, \, \ mathbf {\ hat {u}} \ rangle = \ oint _ {\ partial V} \, p (\ mathbf {r}) \, \ mathbf {\ hat {u}} \ cdot \ mathbf {\ hat {n}} (\ mathbf {r}) \, \ mathrm {d} S = \ int_V \ boldsymbol {\ nabla} \ cdot (p (\ mathbf {r}) \, \ mathbf {\ hat {u}}) \, \ mathrm {d} V = \ mathbf {\ hat {u}} \ cdot \ int_V \ boldsymbol {\ nabla} (p (\ mathbf {r})) \, \ mathrm {d} V $$

care, având în vedere vectorul unitar $ \ mathbf {\ hat {u}} $ este arbitrar, înseamnă:

$$ \ mathbf {F} = \ int_V \ boldsymbol {\ nabla} (p (\ mathbf {r})) \, \ mathrm {d} V \ tag {2} $$

și trebuie să ne imaginăm câmpul de presiune $ p (\ mathbf {r}) $ care ar fi prezent în fluidul din suprafață dacă fluidul nu ar fi fost deplasat de corp, luând volumul $ V $. Din (2) putem vezi imediat a doua bucată de kn recunoaștere de care ați auzit:

baloanele își obțin „simțul în jos” de la o presiune . [bold mine]

adică nu există o forță netă puternică asupra corpului, cu excepția cazului în care presiunea $ p $ variază de la din loc in loc. În caz contrar, $ \ boldsymbol {\ nabla} (p (\ mathbf {r})) $ nu este identic.

Dacă nu sunteți pe deplin confortabil cu teorema divergenței, gândiți-vă și analizați un cub scufundat. Într-un fluid în care presiunea nu variază în funcție de poziție, forța de pe fiecare față este exact echilibrată de forța opusă de pe fața opusă. Un alt caz care dă intuiție este o sferă într-un fluid cu o presiune constantă peste tot: forța pe orice punct este echilibrată precis de forța opusă pe punctul antipodal. Argumentul teoremei divergenței vă permite pur și simplu să deduceți generalitatea unor astfel de concluzii pe care le puteți face pentru obiecte simetrice.

Acum, să trecem la un câmp de presiune care vă va fi obișnuit ca scafandru; luând direcția $ \ mathbf {\ hat {z}} $ ca în jos, câmpul de presiune dintr-un fluid care se află pe suprafața unei planete cu o rază mult mai mare decât adâncimile pe care trebuie să le luăm în considerare este:

$$ p (\ mathbf {r}) = (p_0 + \ rho \, g \, z) \, \ mathbf {\ hat {z}} \ tag {3} $$

unde $ \ rho $ este densitatea fluidului, $ g $ accelerația gravitațională și $ p_0 $ presiunea la $ z = 0 $. Dacă conectăm acest lucru la (2) vom obține:

$$ \ mathbf {F } = \ rho \, g \, \ mathbf {\ hat {z}} \, \ int_V \, \ mathrm {d} V = \ rho \, g \, V_f \, \ mathbf {\ hat {z}} \ tag {4} $$

unde $ V_f $ este volumul de lichid deplasat. Acesta este, desigur, principiul lui Archimede; se menține pentru regiuni de fluid suficient de mici încât variația presiunii să fie o funcție liniară a poziției. Deși pare să spună că „fluidul deplasat împinge înapoi” la fel de multe explicații vagi ale stării de flotabilitate, dar aceasta este o prostie. Fluidul deplasat nu este chiar acolo: principiul este doar rezultatele aplicării unor trucuri matematice pentru a traduce principiul fundamental, care este întruchipat în textul dvs. pe care l-am citat în prima linie a acestui răspuns și în (1) și în „ deplasarea fluidului deplasat „doar o mnemonică pentru a aminti principiul.

Două alte comentarii sunt în ordine:

1. În primul rând, rețineți că răspunsul din (4) este independent de $ p_0 $, Prin urmare, dacă corpul nu este în întregime scufundat (ca un corp de barcă de lucru), atunci putem pur și simplu să luăm intersecția volumului cu fluidul pentru a fi volumul $ V $; intersecția suprafeței fluidului cu volumul limitează apoi volumul redus și contribuția forței pe fața superioară este atunci nimic (deoarece putem seta arbitrar $ p_0 = 0 $ fără a ne schimba rezultatele).
2. În al doilea rând, din nou, dacă nu vă simțiți confortabil cu teorema divergenței, faceți analiza pentru un cub cu marginile sale verticale și orizontale ca exemplu clarificator. Deși forța de presiune variază între suprafețele verticale, suprafețele de presiune de pe fiecare față verticală sunt încă exact opuse de cele de pe fața opusă. Forța netă este diferența dintre forța de pe fețele de jos și de sus ale cubului, care, prin (3), este forța calculată prin principiul lui Arhimede.

Ca scafandru știi că presiunea crește atunci când mergi mai adânc.

Imaginează-ți un cilindru ținut vertical sub apă. Forța de pe partea superioară a cilindrului este suprafața timpilor de presiune (prin definiție a presiunii). Pe partea de jos a cilindrului zona este aceeași, dar forța este mai mare (mai profundă, mai mare presiune). Diferența dintre cele două este forța de flotabilitate.

Când aveți un obiect de „orice” formă, vă puteți gândi că este format din mulți cilindri subțiri (paie cu capetele închise, dacă doriți) ). Acum puteți repeta calculul pentru fiecare dintre acestea. Acest lucru arată că acest lucru este valabil chiar și atunci când obiectul are o formă amuzantă.

Se întâmplă ca diferența să fie egală cu greutatea apei deplasate – dar cred că cele de mai sus sunt mai puțin abstracte.

Amintiți-vă întotdeauna oprirea dvs. de siguranță!

Comentarii

• Mulțumesc @floris! Da, acest lucru are sens acum. Problema pe care o aveam era cu aerul, unde credeam că există o schimbare atât de mică a presiunii peste un obiect, încât nu ar putea ‘ să provoace suficientă flotabilitate. Dar când cred că în loc de masa care împinge în partea de sus și masa care împinge în partea de jos (cum spui), pare complet rezonabil. Și, bineînțeles, că împingerea masei este ceea ce este ” presiunea „, deci explicația gradientului de presiune trebuie să fie și ea corectă. Mulțumesc 🙂

Ei bine, mereu m-am gândit la asta ca la o atracție gravitațională asupra unui non -stare de echilibru.

Încercați să imaginați 2 bile diferite, una peste alta căzând din cer (în atmosfera pământului). Dacă bila mai ușoară este deasupra celei mai grele, bila mai ușoară se va separa din minge mai grea. Dacă minge mai grea se află în partea superioară a mingii mai ușoare, atunci avem 2 opțiuni:

1. Stare de echilibru – Adică mingea mai grea este direct deasupra mingii mai ușoare – Nu vor exista forțe care să accelereze mingea lateral – doar în jos. Bilele vor cădea ca una singură.
2. Mingea mai grea este ușor laterală față de minge mai ușoară (încă se ating). În acest caz, minge mai grea va rulați lateral de mingea mai ușoară și va merge sub bila ușoară (accelerând mai repede).

Acum încercați să vă imaginați asta cu milioane de bile care cad prin cer. Este cam logic pentru cele mai grele să intre sub lumină ter, nu-i așa?

(Acesta nu este într-adevăr un răspuns de „fizică”, este mai mult decât un simplu exemplu al conceptului foarte de bază)

Comentarii

• Ambele bile sunt accelerate în același ritm. De ce s-ar separa?
• Forțele de tragere vor încetini mingea mai ușoară

Presiunea în sensul său cel mai simplu este doar o forță care acționează asupra unei zone. Imaginați-vă toate particulele din aerul mașinii. Presiunea aerului este într-adevăr o măsură a forței medii cu care se împing aceste particule. Când aducem un balon de heliu care să plutească în mașină, particulele de aer împing particulele de heliu, iar particulele de heliu împing înapoi particulele de aer.

Aici intrăm puțin în inginerie statică; forțele atomilor de heliu împing toate direcțiile diferite, dar din moment ce toate sunt conținute de balon și toate împing cu aceeași cantitate de forță, putem presupune că aceste forțe se anulează reciproc și că singurele forțe care afectează balonul ca un întreg sunt externe. În acest moment, fără forțe care acționează asupra sa, balonul ar putea fi împins liber în orice direcție, în esență fără forță. Totuși, aerul nu îl împinge oriunde, deoarece și aerul împinge balonul din toate direcțiile și, prin urmare, se anulează și el însuși.

Acum forța este calculată ca accelerație de masă * (a.k.a.un bowling la cap te va lovi mai tare decât o marmură care se mișcă cu aceeași viteză, deoarece are mai multă masă și, prin urmare, mai multă forță). Accelerarea la nivel molecular este direct proporțională cu temperatura. Deoarece temperatura tuturor gazelor din mașină este aceeași, putem anula acest lucru și singurul lucru care afectează cât de multă forță împing particulele este masa particulelor.

Revenirea la mașina noastră : Gravitația trage în jos toate particulele din mașină cu aceeași accelerație constantă, 9,8 m / s ^ 2. Particulele de aer sunt trase în jos cu o forță egală cu masa lor * 9,8m / s ^ 2. Particulele de heliu sunt, de asemenea, trase la aceeași accelerație, dar din moment ce masa lor este mult mai mică decât cea a oxigenului, azotului și a altor particule din aer, forța lor de coborâre este mult mai mică și sunt împinse înapoi cu particule de aer puternice. Acesta este motivul pentru care balonul plutește.

Apoi, mașina începe să se miște. Urmând legea inerției (obiectul în repaus tinde să rămână în repaus până când este acționat de o forță exterioară), chiar dacă mașina începe să avanseze, particulele de gaz rămân în poziție. Imaginați-vă o minge plutind deasupra tabloului de bord care rămâne în această locație absolută, indiferent de modul în care vă mișcați. Trageți înainte un picior, iar acum se află deasupra consolei centrale. Încă câteva picioare și se află pe bancheta din spate. Exact acest lucru se întâmplă cu toate particulele de gaz din mașină. Acum, toate particulele s-au mutat în spatele vehiculului și sunt mult mai puține în față. Deoarece acum există mai multe particule de aer în spatele balonului pentru a împinge împotriva lui decât există în spatele acestuia, forțele nu se mai anulează reciproc și balonul este împins înainte.

Sperăm că acest lucru vă va ajuta să îl explicați mai clar . Îmi pare rău, a fost destul de vorbăreț, anunțați-mă dacă este nevoie de ceva explicat mai bine!

Comentarii

• Câteva fizici șubrede acolo … de exemplu, un bila de bowling lovește mai tare decât o marmură care se mișcă la aceeași viteză, deoarece are mai mult impuls, prin urmare oprirea provoacă o schimbare mai mare a impulsului, ceea ce înseamnă că s-a aplicat mai multă forță dacă oprirea ambelor are loc în același interval de timp. Aproximativ jumătate din răspuns este în regulă și, în linii mari, ‘ este mai mult sau mai puțin corect, dar îi lipsesc câteva detalii (importante).
• Adevărat, este ‘ a trecut ceva timp în plus, încercând să simplifice cât mai mult posibil. Simțiți-vă liber să editați după cum este necesar.