Întrebarea mea este cum să calculez eroarea de tip II $ \ beta $?
-
Să presupunem că vreau să testez $ H_0: \ mu = 0 $ față de $ H_1: \ mu = 1 $ (trebuie să calculez eroarea de tip II $ \ beta $, deci trebuie să remediez un $ \ mu $, să zicem 1, în $ H_1 $).
-
Să presupunem că distribuția pentru $ H_0 $ este $ F_0 $, $ H_1 $ este $ F_1 $, unde $ E [\ xi] = 0 $ dacă $ \ xi \ sim F_0 $, $ E [\ xi] = 1 $ dacă $ \ xi \ sim F_1 $.
-
Acum creez un estimator pentru $ \ mu $, să zicem $ \ bar {X} _n $ și statistici de testare $ S_n = \ frac {\ bar {X} _n-E [F_0]} {\ sigma} = \ frac {\ bar {X} _n-0} {\ sigma} = \ frac {\ bar {X} _n} {\ sigma} $ (să presupunem $ \ sigma $ este cunoscut).
-
Acum creez o regulă de respingere ($ H_0 $): $ S_n > b $.
-
Eroarea de tip II este calculată ca $ P_ {F_1} (S_n > b) $
Întrebările mele sunt (doriți să verificați trei lucruri):
-
Logica de construcție de mai sus este corectă, nu?
-
Distribuția în „$ P_ {F_1} (S_n > b) $” este $ F_1 $, nu?
-
[cel mai mult îmi pasă] $ S_n $ din „$ P_ {F_1} (S_n > b) $” ar trebui să folosească $ F_0 $ pentru a calcula, nu?
-
Adică, indiferent de eroarea de tip I sau tip II, calculez, trebuie întotdeauna să folosesc $ F_0 $ pentru a calcula statisticile de testare, nu?
-
Adică, $ S_n $ este întotdeauna $ \ frac {\ bar {X} _n-E [F_0]} {\ sigma} $ în calculul erorilor de tip I sau tip II acțiune, dar nu $ \ frac {\ bar {X} _n-E [F_1]} {\ sigma} $ în calculul $ \ beta $, nu?
-
Sau, aceasta nu ar trebui să fie o problemă, deoarece statisticile de testare sunt doar o funcție a eșantionului și nu ar trebui să implice parametri?
-
Comentarii
- Eroarea de tip II nu este de a respinge ipoteza nulă atunci când este falsă, adică $ H_1 $ este adevărat. Cred că ar trebui să utilizați $ F_1 $ pentru a calcula P, dar nu $ F_0 $ așa cum ați scris $ P_ {F_1} (S_n > b) $. De asemenea, vă puteți referi la calculul puterii care se bazează pe parametrul $ H_1 $ și tipul II $ \ beta $ = 1-putere
- Vă mulțumim! Ai dreptate. Am facut o greseala. Este $ P_ {F_1} (S_n \ le b) $ pentru eroarea de tip II.
Răspuns
Denotați $ \ mathcal {F} ^ {(0)} (\ mu = \ mu_0, \ sigma = \ sigma_0) $ fie distribuția sub ipoteza nulă și $ \ mathcal {F} ^ {(1)} (\ mu = \ mu_1, \ sigma = \ sigma_1) $ sub $ H_1 $, deci aveți o statistică de testare $ X $ și doriți să testați
$ H_0: X \ sim \ mathcal {F} ^ {(0)} (\ mu = 0, \ sigma = \ sigma_0) $ versus $ H_1: X \ sim \ mathcal {F} ^ {(1)} (\ mu = 1, \ sigma = \ sigma_1) $
Modul în care îl descrieți, doriți să efectuați un test unilateral și definiți regiunea critică în coada dreaptă. Deci, după ce ați ales un nivel de încredere $ \ alpha $, veți utiliza distribuția $ \ mathcal {F} ^ {(0)} (\ mu = 0, \ sigma = \ sigma_0) $ pentru a găsi valoarea cuantică $ q_ {\ alpha} ^ {(0)} $ astfel încât $ P ^ {(0)} (X \ ge q _ {\ alpha} ^ {(0)}) = \ alpha $ (presupun distribuții continue). Superindexul $ (0) $ indică faptul că probabilitățile sunt măsurate sub $ \ mathcal {F} ^ {(0)} $, , deci aveți nevoie de distribuția nulă $ \ mathcal { F} ^ {(0)} $ pentru a defini regiunea critică, adică cuantumul $ q _ {\ alpha} ^ {(0)} $ .
Dintr-un eșantion puteți observa un rezultat $ x $ pentru variabila aleatoare $ X $, iar valoarea nulă va fi respinsă când $ x \ ge q _ {\ alpha} ^ {(0)} $. Cu alte cuvinte, testul dvs. va decide că $ H_1 \ textrm {a decis ca adevărat} \ if x \ în [q _ {\ alpha} ^ {(0)}; + \ infty [$.
Puterea a testului dvs. este probabilitatea ca $ H_1 $ să fie decis ca adevărat ori de câte ori este adevărat $ H_1 $ , deci puterea este probabilitatea ca $ X \ ge q _ {\ alpha} ^ {(0)} $ ori de câte ori este adevărat $ H_1 $, acesta este probabilitate ca $ X \ ge q _ {\ alpha} ^ {(0)} $ când distribuția adevărată este $ \ mathcal {F} ^ {(1)} $ sau puterea $ \ mathcal {P} $ este
$ \ mathcal {P} = P ^ {(1)} (X \ ge q _ {\ alpha} ^ {(0) }) $
În cazul în care superindexul $ (1) $ indică faptul că probabilitățile sunt calculate sub $ \ mathcal {F} ^ {(1)} $ Deci, puterea se măsoară cu $ \ mathcal {F} ^ {(1)} $, dar aveți nevoie de valoarea $ q _ {\ alpha} ^ {(0)} $ care se calculează cu $ \ mathcal {F} ^ { (0)} $.
Am folosit puterea $ \ mathcal {P} $ și eroarea de tip II $ \ beta $ este $ \ beta = 1- \ mathcal {P} $.
În cazul dvs.
Aveți dreptate când spuneți că „„ Distribuția în „$ P_ {F_1} (S_n > b ) $ „este $ F_1 $” „
Cu toate acestea, pentru a găsi $ b $ va trebui să utilizați $ F_0 $. De fapt, $ b $ este analogul lui $ q _ {\ alpha} ^ {(0)} $