Cum se creează “ bune ” probleme de matematică?

Întrucât întrebarea dvs. este foarte largă, iată un răspuns oarecum larg: Citiți despre punerea problemelor.

Trei piese cheie sunt:

Silver, EA (1994). Despre poziționarea problemelor matematice. Pentru învățarea matematicii, 14 (1), 19-28.

și cartea

Brown, SI, & Walter, MI (2005). Arta de a pune probleme . Psychology Press.

Acesta din urmă este o re-tipărire a unei cărți care a apărut pentru prima dată în 1983. Puteți găsi, de asemenea, o carte asociată editată de Brown și Walter; o citație pentru cea mai recentă versiune este:

Brown, SI, & Walter, MI (Eds. ). (2014). Problemă: Reflecții și aplicații . Psychology Press.

Începeți cu aceste trei documente, referințele lor și (căutând pe google scholar) alte lucrări și articole care le-au citat.

Pentru a schița foarte aproximativ sugestia lui Brown și Walter: începeți cu un scenariu matematic, enumerați ipotezele, variați constrângerile (în termenii lor: ” What-if- fără „) și apoi puneți întrebări. Puteți chiar să ” cicla ” prin acest proces în mod repetat, pentru a produce probleme de complexitate crescândă.

Desigur, punerea problemei aduce cu sine pericolul de a nu ști răspunsul la ceea ce cereți.

De exemplu , scenariul dvs. de pornire ar putea utiliza teorema lui Pitagora:

Găsiți toate soluțiile întregi pentru $ x ^ 2 + y ^ 2 = z ^ 2 $ .

Acest exemplu particular este explorat în cartea lui Brown și Walter, dar mi se pare o presupunere rezonabilă de a enumera că exponentul de pretutindeni este $ 2 $ și să solicite soluții întregi atunci când exponentul este $ 3 $ .. .. sau, dacă cineva se simte deosebit de îndrăzneț, să generalizeze și să solicite exponent $ k \ geq 3 $ .

Dintr-o privire, aceasta ar putea părea o întrebare rezonabilă; dar, dacă sunteți familiarizat cu Ultima Teoremă a lui Fermat, atunci veți realiza că aceasta nu este o problemă adecvată pentru majoritatea studenților.

Puteți găsi unele dintre scurtele mele remarci despre poziționarea problemelor și creativitatea parțial $ 4b $ aici și câteva alte exemple referitoare la poziționarea problemelor și intuiția în exemplu concret secțiune aici .

O remarcă finală: Începeți menționând esențialul ” ” rolul problemei rezolvarea în îmbunătățirea înțelegerii noastre asupra matematicii. Poate merita menționat faptul că problema poziționarea joacă un rol important în rezolvați; luați în considerare lista de euristici a lui Polya și câte dintre ele sunt întrebări: Care este o problemă legată? Care este o problemă mai simplă? Cum pot generaliza această problemă? Etc. (Din punct de vedere istoric, atât Silver, în prima piesă citată mai sus, cât și Kilpatrick, despre formularea problemei , urmăresc această observație, adică faptul că punerea problemei este o parte integrantă a rezolvării problemelor, cel puțin înapoi la o lucrare din 1945 a lui Karl Duncker.)

Așa cum a scris Cantor (1867) în teza sa de doctorat:

“In re matematica ars proponendi pluris facienda est quam solvendi ”

(„ În matematică arta de a pune întrebări este mai valoroasă decât rezolvarea problemelor ”).

Comentarii

• În timp ce eu ‘ sunt un fan al P ó lya ‘, mă tem că presupune că vi se oferă toate datele necesare și numai datele necesare, prea mult încorporate . ” Problemele din lumea reală ” sunt în mare parte legate de aflarea a ceea ce este relevant și a ceea ce nu este ‘ t, și adunarea missin date g.
• @vonbrand Pe lângă căutarea la unele dintre cărțile ulterioare ale lui Polya ‘ (post- Cum se rezolvă ) I ‘ sugerează, pentru ” problemele din lumea reală „, investigând literatura de modelare matematică. Intersecția dintre modelarea matematică și educația matematică poate fi încă pieptănată destul de complet; începeți cu lucrarea lui Pollak ‘ (relevant: matheducators.stackexchange.com/a/1344/262 ) și mutați la citările sale …

Pentru mine există probabil trei tipuri principale de probleme pe care le assign:

1. Construirea rutină a abilităților : fie sunt modelate pe un calcul pe care l-am arătat probleme similare rezolvate sau sunt o problemă de probă care este doar o consecință naturală a definiției, cu puțină tehnică suplimentară necesară. Pentru un curs de probă, multe probleme sunt puțin mai mult decât o invitație la grija a ceea ce înseamnă de fapt notația.
2. Descoperirea lățimii : în fiecare curs există anumite subiecte pentru care nu avem suficient timp în curs. Este o experiență foarte plină de satisfacții pentru elevi să fie îndrumați printr-un scurt modul de probleme în care descoperă trăsăturile esențiale ale unui subiect care nu este acoperit în profunzime de prelegere și alte materiale.
3. Provocare : aici nu există șine, nici o cutie, nici o așteptare pe cineva din curs să o rezolve. Uneori acestea sunt folosite pentru a arăta limitele unei familii actuale de tehnici de rezolvare a problemelor, uneori acestea implică o intuiție fuzzy care ghidează un salt creativ.

Bănuiesc că majoritatea problemelor pe care le scriu și / sau atribuie încadrare fie în 1, fie în 2, dar studenții mă acuză adesea de 3. Sincer, unul dintre motivele pentru care încerc să navighez în MSE o sumă justă este să evaluez ceea ce este acoperit în cursurile mele la alte universități. De asemenea, aroma internațională a MSE mă ajută să obțin o secțiune transversală a ceea ce se întâmplă la școlile din întreaga lume.

Comentarii

• Lăsați deoparte întrebarea trucului preferat din toate timpurile, unde trebuie să veniți cu o răsucire Rube-Goldbergiană pentru a avea orice speranța de a rezolva problema. Mulți oameni de aici sunt acuzați că au comis puzzle-uri, nu examene …
• @vonbrand, probabil că ar intra sub incidență. Adesea astfel de probleme încep cu un răspuns, apare o magie întunecată care implică serii și apoi elevului i se cere să vadă un tipar … ha ha ha … malefic.

Două sugestii:

1) Participă la ateliere și conferințe și caută sesiuni de rezolvare a problemelor sau prezentatori care își împărtășesc „problemele preferate”.„Când se discută despre probleme și soluții apar metode și abordări unice.

2) Construiește o bibliotecă și fă-ți timp pentru a citi. Colectează cărți, pdf-uri și surse. Un manual care nu este potrivit pentru studenți poate fi un lucru grozav sursa problemelor. (Utilizați Amazon și eBay pentru a obține versiuni utilizate care sunt mult mai ieftine.) Modificați versiunea manualului după cum este necesar. Creativitatea în crearea problemelor vine din răsfoirea surselor.

Comentarii

• Consultați site-urile olimpiadelor de matematică. Căutați note de curs, examene (rezolvate), teme, … rețeaua ‘ plină de acest gen de lucruri.

Nu ați specificat un anumit nivel, dar cred că întrebarea dvs. are merit în orice caz. O voi lua la nivelul K-8. Mai întâi vreau să abordez cerința dvs. specifică:

Prin „bine”, mă refer la probleme provocatoare, inspiratoare, cu soluții extensibile la alte domenii.

Voi interpreta „inspirator” pentru a însemna că elevii vor avea o motivație de a se angaja în matematica problemei. Pentru „provocarea gândirii” voi presupune că vrei să spui că problemele au o mare probabilitate de a cere elevilor să se angajeze în raționamente matematice productive. Acestea sunt caracteristici esențiale ale investigațiilor bune dintr-un curriculum. Adică, un curriculum bun ar trebui să conțină activități și investigații care să le satisfacă.

Am întrebat odată un cunoscut dezvoltator de curriculum de înaltă calitate cum știa că problemele sale curriculare se potrivesc cerințelor „ educație realistă la matematică „(care a fost abordarea care i-a inspirat programa. Ea a răspuns că trebuie să încerce fiecare activitate cu studenți reali de multe ori în procesul de cercetare și dezvoltare. În timp ce primele proiecte s-ar fi putut baza pe teorie, în realitate programa finală a fost puternic testată.

Prin urmare, găsiți și colectați problemele dezvoltate de buni designeri de curriculum. Dacă este necesar, construiți-vă propria bibliotecă cu astfel de probleme.

O ultimă notă: ați sugerat că doriți probleme ale căror soluții sunt extensibile la alte domenii. Vă sugerez să fiți atenți la acest tip de presupunere în căutarea problemelor. Ceea ce au ajuns să înțeleagă în procesul de punere a problemelor și rezolvarea îi poate ajuta să formeze conn ecțiuni între contexte. Cu toate acestea, s-ar putea să fiți dificil să susțineți noțiunea de „soluții transferabile de domeniu” în literatura de specialitate despre educația matematică bună. Concentrați-vă mai mult asupra tipului de raționament matematic pe care elevii vor avea ocazia și resursele să se angajeze.