Să presupunem că avem Hamiltonian pe $ \ mathbb {C} ^ 2 $ $$ H = \ hbar (W + \ sqrt2 (A ^ {\ dagger} + A)) $$ Știm și $ AA ^ {\ dagger} = A ^ {\ dagger} A-1 $ și $ A ^ 2 = 0 $, lăsând $ W = A ^ {\ dagger} A $
Cum putem exprima $ H $ ca $ H = \ hbar \ Big (\ begin {matrix} 0 & \ sqrt2 \ \ \ sqrt2 & 1 \ end {matrix} \ Big) $
Până acum am arătat că, dacă luăm în considerare valorile proprii de $ W $, $ $ W | \ psi \ rangle = w | \ psi \ rangle $$ Aceasta implică faptul că $ A | \ psi \ rangle $ și $ A ^ {\ dagger} | \ psi \ rangle $ sunt, de asemenea, vectori proprii de $ W $ cu valoare proprie $ 1-w $. Folosind $ A ^ 2 = 0 $, constatăm că $ w = 0 $ sau $ 1 $
Nu sunt pe deplin sigur cum exprimați operatorii ca matrici, ca majoritatea cursul meu a folosit notația funcției de undă, aș aprecia cu adevărat dacă cineva ar putea explica pașii următori aici doar pentru a putea o înțelege mai riguroasă.
Comentarii
- Puteți rezolva pentru A, din cele 2 ecuații pe care le-ai scris? presupuneți numere complexe generale a, b, c, d ca valorile matricei lui A. Bănuiesc că acest lucru ar putea funcționa.
Răspuns
Așa cum a subliniat @MichaelBrown în răspuns, pentru a obține elementul matricial trebuie doar să treceți operatorul între două stări. Deci, în cazul $ H $ hamiltonian, elementele matricei sunt date ca $$ H_ {ij} = \ langle i | H | j \ rangle $$
Ar trebui să subliniez că $ i $ „pe care îl utilizați ar trebui să fie baza setată în care vă aflați. Dacă aveți un stat $ \ psi $, atunci dacă $$ | \ psi \ rangle = \ sum_ {i} c_i | i \ rangle $$ numai decât puteți exprima elementele matrice ale operatorului dvs. în acest fel. Dacă puneți operatorul între stat în sine, veți termina cu așteptările statului. $$ \ langle H \ rangle = \ langle \ psi | H | \ psi \ rangle $$
Comentarii
- Vă mulțumim că ați luat timp să răspundeți, totuși, așa cum i-am spus lui MichaelBrown, cum pot aplica acest lucru în această situație? Unde tot ce știu sunt doi vectori proprii și valori proprii corespunzătoare.
Răspuns
Elementul matricial $ O_ {ij} $ al unui operator este definit de $ $ O_ {ij} = \ langle i | \ hat {O} | j \ rangle, $$ și este tradițional ca indexul $ i $ să eticheteze rândul și $ j $ să eticheteze coloana. În acest fel, multiplicarea matricei funcționează ca dvs. s-ar aștepta: $$ (OP) _ {ij} = \ sum_k O_ {ik} P_ {kj}, $$ pe care îl puteți afișa inserând un set complet de stări.
Comentarii
- Vă mulțumim pentru răspunsul dvs., totuși, cum pot aplica această situație? Unde știu doar doi vectori proprii și valorile proprii corespunzătoare.