Dacă PDF-ul standard standard este $$ f (x) = \ frac {1} {\ sqrt {2 \ pi}} e ^ {- x ^ 2/2} $$
iar CDF este $$ F (x) = \ frac {1} {\ sqrt {2 \ pi}} \ int _ {- \ infty} ^ xe ^ { -x ^ 2/2} \ mathrm {d} x \ ,, $$
cum se transformă într-o funcție de eroare de $ z $?
Comentarii
- johndcook.com/erf_and_normal_cdf.pdf
- Am văzut acest lucru, dar începe cu ERF deja definită.
- Ei bine, există ' o definiție a erf și o definiție a CDF normal .. Relațiile, derivabile prin unele calcule de rutină, sunt prezentate ca la modul de conversie între ele și la modul de conversie între inversele lor.
- Ne pare rău, nu ' nu văd multe dintre detalii. De exemplu, CDF este de la -Inf la x. Deci, cum merge ERF de la 0 la x?
- Sunteți familiarizat cu tehnica de calcul a schimbării variabilei? Dacă nu, aflați cum să o faceți.
Răspundeți
Deoarece acest lucru apare adesea în unele sisteme (pentru exemplu, Mathematica insistă să exprime CDF-ul normal în termeni de $ \ text {Erf} $), este bine să aveți un fir ca acesta care să documenteze relația.
Prin definiția , funcția de eroare este
$$ \ text {Erf} (x) = \ frac {2} { \ sqrt {\ pi}} \ int_0 ^ xe ^ {- t ^ 2} \ mathrm {d} t. $$
Scrierea $ t ^ 2 = z ^ 2/2 $ implică $ t = z / \ sqrt {2} $ (deoarece $ t $ nu este negativ), de unde $ \ mathrm {d} t = \ mathrm {d} z / \ sqrt {2} $. Punctele finale $ t = 0 $ și $ t = x $ devine $ z = 0 $ și $ z = x \ sqrt {2} $. Pentru a converti integralul rezultat în ceva care arată ca o funcție de distribuție cumulativă (CDF), acesta trebuie exprimat în termeni de integrale care au limite inferioare de $ – \ infty $, astfel:
$$ \ text {Erf} (x) = \ frac {2} {\ sqrt {2 \ pi}} \ int_0 ^ {x \ sqrt {2}} e ^ {- z ^ 2/2} \ mathrm {d} z = 2 \ left (\ frac {1} {\ sqrt {2 \ pi}} \ int _ {- \ infty} ^ {x \ sqrt {2}} e ^ {- z ^ 2/2} \ m athrm {d} z – \ frac {1} {\ sqrt {2 \ pi}} \ int _ {- \ infty} ^ 0 e ^ {- z ^ 2/2} \ mathrm {d} z \ right). $ $
Aceste integrale din dimensiunea mâinii drepte sunt ambele valori ale CDF ale distribuției normale standard,
$$ \ Phi (x) = \ frac {1} {\ sqrt {2 \ pi}} \ int _ {- \ infty} ^ xe ^ {- z ^ 2/2} \ mathrm {d} z. $$
Mai exact,
$ $ \ text {Erf} (x) = 2 (\ Phi (x \ sqrt {2}) – \ Phi (0)) = 2 \ left (\ Phi (x \ sqrt {2}) – \ frac {1} {2} \ right) = 2 \ Phi (x \ sqrt {2}) – 1. $$
Aceasta arată cum se exprimă funcția de eroare în termenii CDF-ului normal. Manipularea algebrică a acestui lucru oferă CDF-ului normal în ceea ce privește funcția de eroare:
$$ \ Phi (x) = \ frac {1 + \ text {Erf} (x / \ sqrt {2}) } {2}. $$
Această relație (pentru numere reale, oricum) este expusă în graficele celor două funcții. Graficele sunt curbe identice. Coordonatele Funcției de eroare din stânga sunt convertite în coordonatele $ \ Phi $ din dreapta înmulțind coordonatele $ x $ cu $ \ sqrt {2} $, adăugând $ 1 $ la coordonatele $ y $ și apoi împărțind coordonatele $ y $ la $ 2 $, reflectând relația
$$ \ Phi (x \ sqrt {2}) = \ frac {\ text {Erf} (x) + 1} {2} $$
în care notația arată în mod explicit aceste trei operații de multiplicare, adunare și divizare.
Comentarii
- Cred că $$ \ Phi (x, \ mu, \ sigma) = \ frac {1} {2} \ left (1+ \ text {Erf} \ left (\ frac {x- \ mu} {\ sigma \ sqrt {2}} \ right) \ right) $$ este corect modalitate de a le raporta, luând în considerare abaterea medie și standard.