De ce așteptarea este aceeași cu media aritmetică?

În mod informal, o distribuție de probabilitate definește frecvența relativă a rezultatelor unei variabile aleatorii – valoarea așteptată poate fi considerată ca o medie ponderată a acestor rezultate (ponderată de frecvența relativă). În mod similar, valoarea așteptată poate fi considerată a fi media aritmetică a unui set de numere generate în proporție exactă cu probabilitatea lor de apariție (în cazul unei variabile aleatoare continue, acest lucru nu este „t exact adevărat deoarece valorile specifice au probabilitate $ 0 $).

Conexiunea dintre valoarea așteptată și media aritmetică este cea mai clară cu o variabilă discretă aleatorie, unde valoarea așteptată este

$$ E ( X) = \ sum_ {S} x P (X = x) $$

unde $ S $ este spațiul eșantion. De exemplu, să presupunem că aveți o variabilă discretă aleatorie $ X $ astfel încât:

$$ X = \ begin {cases} 1 & \ mbox {cu probabilitate} 1/8 \\ 2 & \ mbox {cu probabilitate} 3/8 \\ 3 & \ mbox {cu probabilitate} 1/2 \ end {cases} $$

Adică, funcția de masă a probabilității este $ P (X = 1) = 1/8 $, $ P (X = 2) = 3/8 $ și $ P (X = 3) = 1/2 $. formula de mai sus, valoarea așteptată este

$$ E (X) = 1 \ cdot (1/8) + 2 \ cdot (3/8) + 3 \ cd ot (1/2) = 2.375 $$

Acum ia în considerare numerele generate cu frecvențe exact proporționale cu funcția de probabilitate a masei – de exemplu, setul de numere $ \ {1,1,2,2,2 , 2,2,2,3,3,3,3,3,3,3,3,3 \} $ – doi $ 1 $ s, șase $ 2 $ s și opt $ 3 $ s. Acum luați media aritmetică a acestor numere:

$$ \ frac {1 + 1 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 3 + 3 + 3 + 3 + 3 + 3 + 3 + 3 +3} {16} = 2.375 $$

și îl puteți vedea „exact egal cu valoarea așteptată.

Comentarii

• Nu ar fi ‘ acest lucru mai bine ilustrat prin utilizarea setului mai simplu de {1,2,2,2,3,3,3,3}? Expresia care arată aritmetica media acestui set este identică cu expresia care arată valoarea de așteptare a acelei variabile (dacă convertiți produsele ponderate în sume simple).
• Re: ” expresia care arată media aritmetică a acelui set este identică cu expresia care arată valoarea de așteptare a acelei variabile (dacă convertiți produsele ponderate în sume simple) ” – Da @Dancrumb, acesta a fost întreg punct 🙂

Așteptarea este valoarea medie sau media unei variabile aleatoare, nu o probabilitate ca atare este pentru discreție Variabilele aleatoare media ponderată a valorilor pe care variabila aleatoare o ia în cazul în care ponderarea este în funcție de frecvența relativă de apariție a acestor valori individuale. Pentru o variabilă aleatorie absolut continuă este integralul valorilor x înmulțite cu densitatea probabilității. Datele observate pot fi privite ca valori ale unei colecții de variabile aleatoare independente distribuite identic. Media eșantionului (sau așteptarea eșantionului) este definită ca așteptarea datelor cu privire la distribuția empirică a datelor observate. Acest lucru îl face pur și simplu media aritmetică a datelor.

Comentarii

• +1. Captură bună re: ” Așteptarea este valoarea medie sau media unei variabile aleatorii, nu o distribuție de probabilitate „. Nu ‘ nu am observat această subtilă utilizare incorectă a terminologiei.

Să acordăm o atenție deosebită definițiilor:

Media este definită ca suma unei colecții de numere împărțite la numărul de numere din colecție. Calculul ar fi „pentru i în 1 la n, (suma x sub i) împărțit la n. „

Valoarea așteptată (EV) este valoarea medie pe termen lung a repetărilor experimentului pe care îl reprezintă. Calculul ar fi„ pentru i în 1 la n, suma evenimentului x sub i de probabilitatea sa (și suma tuturor p sub i trebuie = 1). „

În cazul unei matrițe corecte, este ușor de văzut că media și EV sunt aceleași. Media – (1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6) / 6 – 3.5 și EV ar fi:

prob xp * x

0.167 1 0.17

0.167 2 0.33

0.167 3 0.50

0.167 4 0.67

0.167 5 0.83

0,167 6 1,00

EV = sum (p * x) = 3,50

Dar dacă matrița nu ar fi „corectă”. O modalitate ușoară de a face o matură nedreaptă ar fi să forăm Ah ole în colț la intersecția celor 4, 5 și 6 fețe.Mai departe, să spunem acum că probabilitatea de a arunca un 4, 5 sau 6 pe noua noastră matriță strâmbă este acum .2 și probabilitatea de a arunca un 1, 2 sau 3 este acum .133. Este aceeași mor cu 6 fețe, câte un număr pe fiecare față, iar media pentru această moară este încă 3,5. Cu toate acestea, după ce am aruncat această moară de multe ori, EV-ul nostru este acum 3,8, deoarece probabilitățile evenimentelor nu mai sunt aceleași pentru toate evenimentele.

prob xp * x

0.133 1 0.13

0.133 2 0.27

0.133 3 0.40

0.200 4 0.80

0.200 5 1.00

0.200 6 1.20

EV = sum (p * x) = 3.80

Din nou, să fie aveți grijă și reveniți la definiție înainte de a ajunge la concluzia că un lucru va fi întotdeauna „la fel” ca altul. Uitați-vă la modul în care este instalată o matriță normală și găuriți o gaură în celelalte 7 colțuri și vedeți cum se schimbă vehiculele electrice – distrați-vă.

Bob_T

Singura diferență între „medie” și „valoare așteptată” este că media este utilizată în principal pentru distribuirea frecvenței și așteptarea este utilizată pentru distribuția probabilității. În distribuția frecvenței, spațiul eșantionului constă din variabile și frecvențele lor de apariție. În distribuția probabilității, spațiul eșantionului constă din variabile aleatorii și probabilitățile acestora. Acum știm că probabilitatea totală a tuturor variabilelor din spațiul eșantionului trebuie să fie = 1. Aici se află diferența de bază. Termenul numitor pentru așteptare este întotdeauna = 1. (adică Suma f (xi) = 1) Cu toate acestea, nu există astfel de restricții privind însumarea frecvenței (care este practic numărul total de intrări).