De ce este forța un vector?

Uhm … începi cu un obiect la odihnește-te și observă că, dacă îl împingi în direcții diferite, se deplasează în direcții diferite? Atunci observați că puteți aranja mai mult de două (trei pentru geometrii plane și patru pentru geometrii 3D complete) forțe non-coliniare pentru a se anula reciproc (sperăm că ați făcut un exercițiu de masă a forței în clasa dvs. și ați făcut acest lucru singur).

Demonstrația asupra unui obiect deja în mișcare este puțin mai evidentă, dar puteți lua ideile aici și le puteți generaliza.

Într-un sens, acest lucru este atât de evident încât este greu de răspuns deoarece aproape orice faceți cu forțele utilizează natura lor vectorială.

Comentarii

• Este evident doar pentru oameni care sunt obișnuiți cu vectorii. După un timp te obișnuiești atât de mult, uiți că a fost confuz să înveți. Uiți ce ai făcut și ce ‘ nu știai atunci. face dificil să explici lucrurile bine începătorilor. Comentariul EG safeshere ‘ este corect. Dar cineva care se întreabă de ce forța este un vector se va întreba și de ce este impulsul. Îmi amintesc bei Am confundat că energia cinetică are o direcție evidentă, dar nu este ‘ un vector.
• Energia cinetică nu are o direcție. Elanul unui obiect are o direcție. Un obiect de 500 g care se mișcă la 2 m / s în direcția x pozitivă nu are același impuls ca un obiect de 500 g care se mișcă la 2 m / s în direcția x negativă, dar ambele au aceeași energie cinetică.
• @BillN mmesser314 este conștient de acest lucru, dar este o neînțelegere suficient de frecventă în rândul studenților introductivi (în special cei mai atenți). El critică noțiunea că ” uite aceasta are o direcție ” este un instrument suficient de bun pentru a oferi elevilor distincția vectorilor de non-vectori. Nu sunt de acord pentru că ‘ mă ocup mai degrabă de problema energiei cinetice decât să încerc să ofer studenților introductivi o definiție mai abstractă a ‘ vector ‘, dar este un punct demn de luat în seamă.
• @dmckee Da, îmi făceam mâna cu mâna prin Biot-Savart azi încercând să explic de ce curentul, $ I $, nu este un vector ‘, dar $ d \ vec {\ ell} $ este. Aproape că m-am înecat în timp ce bombăneam. 🙂 Că ‘ este încă un vector nesatisfăcător pentru mine, dar îmi țin nasul și merg mai departe.
• @ BillN Cred că exemplul tău KE este un bun exemplu pentru care acest lucru poate fi dificil puțini nou-veniți la fizică. Mi se pare ‘ că nu este neapărat evident că KE nu are o componentă de direcție până când ‘ ați făcut câteva experimente care arată că există o ” energie scalară ” la care merită să fii atent.

Vectorii sunt lucruri care se adaugă ca niște săgeți mici. Săgețile adaugă vârf la coadă.

Numărul de roci nu este un vector. 2 roci + 2 roci = 4 roci.

Deplasarea este un vector. Dacă vă deplasați 2 picioare la stânga și 2 picioare la stânga din nou, v-ați deplasat 4 picioare. Două săgeți cu lungimea de 2 metri îndreptată spre stânga, vârful adăugat la coadă sunt echivalente cu o săgeată cu lungimea de 4 metri îndreptată spre stânga.

Dacă vă deplasați 2 picioare la stânga și 2 picioare la dreapta, v-ați mutat înapoi la început. Acesta este același lucru care nu se mișcă deloc. Nu puteți adăuga pietre în acest fel.

Forța adaugă astfel. Două forțe mici la stânga sunt echivalente cu o forță mare la stânga. Forțe egale la stânga și la dreapta sunt echivalente cu nici o forță. Aceasta este de ce forța este un vector.

Editare – Comentariile ridică un punct pe care l-am analizat. Acest punct nu este de obicei ridicat la introducerea vectorilor.

Matematicienii definesc un vector ca lucruri care se comportă ca niște săgeți mici atunci când sunt adunate împreună și înmulțite cu scalari. Fizicienii adaugă o altă cerință. Vectorii trebuie să fie invarianți în transformările sistemului de coordonate.

Există o mică săgeată independent de modul în care o priviți. O mică săgeată nu se schimbă când vă întoarceți, așa că acum este orientată spre înainte. În mod echivalent, săgețile mici nu se schimbă dacă rotiți săgeata astfel încât să fie orientată înainte.

Acest lucru se datorează faptului că spațiul este omogen și izotrop. Nu există locuri sau direcții speciale în spațiu care să vă schimbe pe dvs. sau pe o săgeată dacă s-ar muta într-o nouă locație sau orientare. (Dacă vă îndepărtați de Pământ gravitația este diferită. Dacă acest lucru contează, trebuie să mutați și Pământul.)

În schimb, un scalar este un număr unic care nu se schimbă sub transformările sistemului de coordonate. Numărul de roci este un scalar.

Coordonatele care descriu un vector se modifică atunci când sistemul de coordonate este modificat. Componenta stângă a unui vector nu este un scalar.

Există un spațiu vectorial matematic 1-D paralel cu coordonata stângă a unui vector. Dacă rotiți sistemul de coordonate, acesta poate fi paralel cu ceea ce a devenit componenta directă. Un fizician nu ar spune că este un spațiu vector.

Comentarii

• Ceea ce ați explicat, se potrivește și cu un scalar semnat. Ar fi trebuit să includeți un ” înainte ” sau ” în sus ” mișcare pentru a o face mai clară.
• @RalfKleberhoff – Adevărat. Ridicați un punct bun.
• @RalfKleberhoff Cum este un scalar semnat nu un vector într-o singură dimensiune? Într-adevăr. Asta m-a confundat mereu. Se pare că are mult, mult mai multe în comun cu vectorii decât scalarii.
• @ jpmc26 physics.stackexchange.com/questions/35562/…
• @ jpmc26 – Întrebare bună. Mi-am actualizat răspunsul pentru a-l aborda.

O minpick minor: forța este nu un vector. La fel ca impulsul, este un covector sau one-form și covariant. Puteți vedea acest lucru în mai multe moduri:

• de la principiul muncii virtuale: forța este o funcție liniară care mapează deplasările infinitesimale $ \ delta \ mathbf {x} $ (un vector) la modificările infinitezimale în energie $ F \ delta \ mathbf {x} $ (un scalar) și deci un covector prin definiție.
• A doua lege a lui Newton $ F = ma $: accelerația este un vector, care este „indexat” de masă pentru a da forță.
• forțele conservatoare apar din diferențialul de energie potențială, $ F = -dV $, iar diferențialul unei funcții este o formă unică (covariantă).

Este posibil ca diferența dintre un vector și un covector să nu aibă sens dacă „Abia încep să învăț despre fizică și, deocamdată, știind că forțele pot fi„ adăugate vârf la coadă ”, cum ar fi vectori, poate fi suficient pentru calcule practice. Dar este ceva la care ar trebui să începeți să acordați atenție pe măsură ce înțelegerea dvs. se maturizează: cum ar fi analiza dimensională, urmărirea atentă a obiectelor dvs. fizice, din punct de vedere matematic, este utilă atât pentru construirea unei înțelegeri mai profunde, cât și pentru a prinde erori.

Comentarii

• Cred că acesta este un comentariu util, deoarece ilustrează că ” acesta este cel mai natural mod de a gândi forța ” de fapt nu este neapărat adevărat. Covectorii sunt lucruri destul de naturale și vă puteți imagina un curriculum care a funcționat atât cu ei, cât și cu vectori. Este o tradiție a sistemului nostru de învățământ pe care nu o facem (cel puțin în mod explicit).
• @FrancisDavey Aș spune mai degrabă că tradiția este că nu facem distincția între vectori și convectori până mult prea târziu. , și numiți-le pe toți vectorii. (‘ nu am învățat în mod explicit distincția până când am luat relativitatea generală sau, eventual, mecanica cuantică cu sutiene și kets. Ar trebui să ‘ ve au fost explicite în primul curs de algebră liniară, unde au apărut ca vectori de coloană și vectori de rând, dar nu a fost ‘ t explicit.)
• Nu merită un vot negativ, dar cu siguranță nu merită un vot pozitiv. ‘ nu sunt încântat de acest ” cum transformă lucrurile ” definiția a ceea ce constituie o ” vector „. Definiția matematică a unui vector este mult mai simplă: vectorii sunt membri ai unui spațiu vectorial – un spațiu dotat cu două operații, care respectă opt axiome simple. Prin această definiție, forțele (în mecanica newtoniană) sunt vectori.
• @DavidHammen Un ” vector ” poate însemna fie 1) un vector tangent , adică un element al pachetului tangent (sau mai general, (0,1) -tensorii unei algebre tensoriale) sau 2) un element al unui spațiu vectorial general. De obicei, în fizică, atunci când spunem ” vector ” ne referim la ” vector (tangent) „: nu am ‘ să apelăm scalari, funcții, 2-tensori sau, într-adevăr, covectori, ” vectors ” chiar dacă din punct de vedere tehnic toate sunt elemente ale unui spațiu vectorial. Observați că, prin definiția # 2, chiar OP ‘ s ” este forța unui vector sau scalar ” este o întrebare fără sens!
• Toate aceste lucruri sunt vectori autentici. ‘ nu le numim de obicei vectori deoarece ‘ nu este de obicei o caracteristică utilă. Dacă ‘ folosiți o definiție diferită a ” vector ” ar trebui să fie explicată .

Accelerarea se transformă ca un vector 3 sub rotații (grupul O (3)).

Accelerarea se transformă ca un 4-vector sub rotații și crește (grupul Lorentz O (3,1)).

Accelerarea poate face parte dintr-o structură mai mare (de exemplu: tensorul 2 index ) sub un grup mai mare de transformări, inclusiv rotații, amplificări, încordări și translații.

Ideea mea este că, atunci când spui că accelerația (sau forța) este un vector 3 (sau altceva), trebuie să specificați pentru ce grup de transformări. De exemplu, „accelerarea se transformă ca un 3-vector sub rotații” și de aceea îl numim 3-vector.

Comentarii

• Această întrebare a fost în mod clar despre fizica newtoniană, pe care autorul nu o înțelege pe deplin ‘. Sunteți ‘ încercați să discutați cu prevederi din domenii fizice mult mai complicate (de care s-ar putea ca autorul să nu aibă nici măcar nevoie). Este ‘ echivalentul cu care cineva întreabă legea lui Bernoulli ‘ și îi cereți să precizeze dacă fluidul este vâscos. Vă rugăm să explicați termenii pe care îi utilizați și să se potrivească cu nivelul de tehnicitate la întrebare.
• @CodyP Nu participă deloc! Ei bine, poate teoria grupurilor este puțin mai mare decât este necesar aici, dar … Definiția unui vector este intim legată de modul în care se comportă cantitatea sub rotația coordonatelor. Faptul că simplificăm ideea respectivă pentru a ” mărimea și direcția ” nu ‘ t elimină importanța înțelegerii rotației sistemelor de coordonate și ceea ce ‘ invariant și ce ‘ nu. Acest lucru poate fi avansat, dar ‘ este esențial pentru a răspunde OP. La nivelul Kleppner și Kalenkow, persoana ar trebui să fie introdusă într-o definiție mai largă a vectorilor și a rotațiilor coordonate.
• @CodyP Întrebări pe site-urile Stack Exchange nu sunt ‘ doar pentru PO. Ele sunt, de asemenea, o resursă durabilă pentru vizitatorii ulteriori. Răspunsurile la nivel variat sunt un lucru de dorit, deși este puțin probabil ca Gary să primească acceptul OP ‘.
• Este adevărat, dar ‘ sunt încă valoroși pentru a vă înțelege publicul țintă și pentru a defini termeni precum boosturi, tensori sau chiar ” grup de transformări „. Puteți, pentru o analogie, să vorbiți despre efectele vâscozității într-o întrebare despre legea lui Bernoulli ‘, dar a face acest lucru fără grijă este mai probabil să pară pedant și confuz decât util și clar.
• @CodyP adevărat, dar poate că într-o zi OP își revizuiește întrebările și înțelege acest lucru

Răspunsul real în opinia mea nu este câteva argumente filosofice subiacente despre ceea ce este o forță. Răspunsul real este că gândirea forței ca vector vă oferă un model care îndeplinește criteriul cel mai important pentru orice model: este de acord cu experiment. Este, de asemenea, frumos și simplu, ceea ce este un bonus suplimentar.

Gândirea la forțe ca vectori vă va permite să veniți cu predicții despre ceea ce se întâmplă atunci când faceți experimente, în special experimente în care aplicați mai multe De exemplu, puneți o ladă pe gheață și trageți-o folosind frânghii cu solzi de arc încorporate în ele pentru a măsura magnitudinea întregii forțe e implicat. Măsurați și scrieți toate forțele și direcțiile lor, gândiți-vă la forțe ca la vectori și calculați forța rezultată care acționează asupra lăzii, care ar trebui să vă ofere o predicție a accelerației sale. Apoi măsurați accelerația sa reală. Cei doi ar trebui să fie de acord, într-o anumită eroare.

Oamenii au făcut experimente de acest gen, atât mai mult cât și mai puțin sofisticate, de mult timp și până acum nu am găsit nimic care să indice că gândirea forțelor ca vectori dă rezultatul greșit. forțele ca vectori vor da cel mai probabil rezultate exacte data viitoare când trebuie să calculăm și o predicție.

Deci, învățăm să gândim forțele ca vectori pentru că funcționează. Și atunci filozofii pot argumenta despre de ce funcționează, de obicei punându-l în contextul unei imagini mai mari, care a și rezistat testului experimentelor.

Acestea fiind spuse, există modalități de a veni cu ideea de a chiar considera că forța este un vector. Mai exact, fiecare forță are o direcție și o magnitudine. După cum sa subliniat în alte comentarii, acest lucru nu înseamnă neapărat că este trebuie să fie un vector (energia cinetică are în mod clar o direcție și o magnitudine, dar nu este de obicei gândită ca un vector). Dar este suficient să ne întrebăm dacă ar putea fi un vector și să începem să proiectăm experimente în jurul acestei ipoteze.

Comentarii

• Modificări ale energiei cinetice sunt scalare. Nu există energie cinetică absolută; dacă o energie cinetică absolută este dată ca vector, se înțelege că este relativă la un cadru de referință și indică practic cantitatea de energie care ar fi convertită dacă obiectul dat ar înceta să se miște în raport cu acel cadru. Nu poate fi tratat pur și simplu ca un vector; de exemplu, două mase egale care se deplasează în direcții opuse, la aceeași viteză față de cadrul de referință, nu adaugă la energie cinetică zero.
• @Kaz ” niciun comentariu absolut ” nu se aplică și impulsului, totuși, astfel încât ‘ nu este un motiv bun, deoarece impulsul s-a dovedit a fi util pentru a gândi aproximativ ca vector. De asemenea, ” două mase egale care se deplasează în direcții opuse, cu aceeași viteză față de cadrul de referință, nu adaugă la zero energia cinetică ” Nu ‘ nu văd problema. Energia cinetică devine energie internă dacă considerați cele două obiecte ca un singur sistem. Problema apare atunci când treceți la un cadru de referință în mișcare, caz în care suma vectorului de energie cinetică ar deveni diferită de zero. Aceasta nu este o proprietate bună de transformare a vectorilor.
• (Bineînțeles că devine diferită de zero. Este doar obosit. Adevărata problemă este că vectorul diferit de zero depinde de proprietățile interne ale sistemului. Cele două obiecte sunt de aceeași dimensiune și se mișcă cu aceeași viteză sau un obiect este mai mare și mai lent? Acest lucru afectează energia transformată ” vectorul „.)

Am avut și eu această întrebare și am petrecut 5 ore bune pe ea. În cele din urmă, explicația pentru acest lucru este doar că deplasarea acționează ca un vector. Și accelerația fiind dubla derivată a acesteia acționează și ea ca una singură. De ce deplasarea acționează ca un vector ?? Ei bine, urmează regulile trigonometriei și deplasările într-o singură direcție sunt independente de deplasarea perpendiculară pe ea. Prin urmare, definim concepte vectoriale pentru a cuprinde acest comportament. De ce deplasarea respectă regulile trigonometriei ?? Ei bine, acest lucru a fost găsit mai mult sau mai puțin observând mai degrabă decât derivând. Cea mai fundamentală bază a tuturor lucrurilor în matematică este, de asemenea, observarea și logica.

Pentru a scoate droll bit din modul: știi că forța este un vector din definiția sa.

Pentru a demonstra că este într-adevăr, ar trebui să efectuați experimente: începeți prin atașarea a trei cântare de primăvară (cum sunt cele pe care pescarii le folosesc pentru a cântări pești) între ele în același punct și trageți celelalte capete ale scalează orizontal la unghiuri de 120 de grade cu forță egală non-zero F. Configurația este în frumoasa grafică ascii de mai jos și puteți spune că forțele sunt egale uitându-vă la citirile de pe fiecare scară.

 F / / F ----- o \ \ F 

Veți observa, de asemenea, că punctul de atașare din mijloc rămâne staționar, adică forța netă este zero.

Dacă F ar fi un scalar, ar fi imposibil să se adauge sau să se scadă exact 3 F diferite de zero în orice ordine și să se obțină 0 ca rezultat.

Acum că știi că forța nu este un scalar, apoi veți încerca să găsiți o modalitate de a face ca cele trei F să adauge la zero și observați că, dacă asociați direcția fiecărui arc la fiecare F, puteți obține exact acest lucru:

Dvs. efectuați apoi alte experimente, în diferite setări și constatați că, în fiecare caz, tratarea forței ca pe un scalar asociat cu o direcție oferă rezultatul corect, moment în care s-ar simți justificat să spună: în scopul calculului, forța are atât o magnitudine, cât și o direcție .

Un vector, pe de altă parte, nu este altceva decât o magnitudine asociată cu o direcție, așa că ați demonstrat experimental că, în limitele măsurării, forța este un vector .

Depinde de natura abordarea și interpretarea cuvântului „vector”. Conceptual, un vector spațial este un obiect matematic folosit pentru a încapsula cantități care au atât o magnitudine cât și o direcție. Când aplicați o forță pentru ceva, rezultatul net al mișcării acelui obiect depinde nu numai de cât de tare îl împingeți, ci și de direcția în care îl împingeți, deci este necesar să modelați forțele într-un mod care să ia componenta de direcție luată în considerare. Acest lucru este la fel de adevărat în trei dimensiuni ca și într-o singură. Acesta este cel mai simplu mod de a te gândi la asta.

Din perspectivă matematică, după cum ai menționat deja, este implicit în definiție.

„Ne-am concentrat discuția asupra mișcării unidimensionale. Este firesc să presupunem că pentru mișcarea tridimensională, forța, ca și accelerația, se comportă ca un vector. „- (Introducere către mecanică) Kleppner și Kolenkow.

Newton însuși a făcut natura vectorială a forțelor primul și al doilea corolar al celor trei legi ale mișcării sale:

Corolar I:
Un corp cu două forțe îmbinate va descrie diagonala unui paralelogram, în același timp în care ar descrie laturile, prin acele forțe separate .

Corolar II:
De aici se explică compoziția oricărei forțe directe AD, din oricare două forțe oblice AC și CD și, dimpotrivă, rezoluția oricărei forțe directe AD în două forțe oblice AC și CD: care compoziție și rezoluție sunt confirmate din abundență din mecanică.

Pe scurt, forțele sunt vectori cartezieni, în sens matematic a ceea ce constituie un vect sau.

Derivarea acestor corolari în Principia este destul de suspectă. A doua lege a lui Newton abordează forța netă asupra obiectului, în timp ce a treia lege a lui Newton abordează modul în care forțele individuale apar în perechi. Dar cum să relaționăm acele forțe individuale cu forța netă? Spre deosebire de Kleppner și Kolenkow, alte texte fac o treabă mai bună, afirmând că forțele sunt vectori este, în realitate, a patra lege a mișcării lui Newton. în mod evident acționează ca vectori și apoi treceți mai departe. Un răspuns fără undă de mână este să pretindeți axiomatic că forțele sunt vectori și apoi treceți mai departe. Există o diferență subtilă, dar semnificativă, între aceste două răspunsuri. Răspunsul valului de mână îi lasă pe elevi confuzi. Afirmația axiomatică îi invită pe elevi să pună la îndoială axioma. Următorul pas este, desigur, să testăm dacă axioma se aplică într-un cadru de laborator.

De fapt, o forță fizică este nu un vector. Este o linie în 3D. O linie cu o magnitudine. O forță fizică conține următoarele proprietăți

• Direcție, $ \ mathbf {e} $
• Un punct oriunde de-a lungul liniei, $ \ mathbf {r} $
• Magnitudine, $ F $

Pentru a descrie o forță fizică cu un vector, combinați magnitudinea și direcția în $ \ mathbf {F} = F \, \ mathbf {e } $ un singur vector. Dar acestui lucru îi lipsesc încă informațiile necesare pentru a descrie o forță fizică.

De asemenea, aveți nevoie de o locație (punctul de aplicare sau linia de acțiune așa cum se numește). Aici aveți de ales între un punct real $ \ mathbf {r} $ sau momentul echipolent despre originea $ \ mathbf {M} = \ mathbf {r} \ times \ mathbf {F} $. Dacă îl alegeți pe acesta din urmă, puteți recupera punctul cu $ \ mathbf {r} = \ frac {\ mathbf {F} \ times \ mathbf {M}} {\ | \ mathbf {F} \ | ^ 2} $.

Vectorul de forță cu care sunteți familiarizat este utilizat în mod obișnuit deoarece respectă regulile algebrei vectoriale

• Adăugarea se face după componenta $$ \ mathbf {F} _1 + \ mathbf {F} _2 = \ pmatrix {{Fx} _1 + {Fx} _2 \\ {Fy} _1 + {Fy} _2 \\ {Fz} _1 + {Fz} _2} $$
• Scalarea se face prin componenta $$ \ lambda \, \ mathbf {F} = \ pmatrix {\ lambda \, {Fx} \\ \ lambda \, {Fy} \\ \ lambda \ , {Fz}} $$
• Dar locațiile a două focare nu se adaugă ca vetorii.

Pentru a reprezenta forțe fizice cu vectori aveți nevoie de 6 cantități de componente numite șuruburi $$ \ hat {f} = \ left [\ matrix {\ mathbf {F} \\ \ mathbf {r} \ times \ mathbf {F}} \ right] $$ care urmează regulile algebrei liniare și poartă informațiile de poziție din interiorul acestora, producând rezultatele geometrice și algebrice corecte.

Comentarii

• Aceasta este a n-a definiție a unei forțe ” vector „?
• Citiți această postare pentru definiția unui vector șurub.

Să ne gândim la ce s-ar întâmpla dacă forța ar fi nu un vector.

În primul rând, rețineți că:

Legile fizicii sunt invariante în spațiu. Un obiect se comportă la fel când este acționat de o forță, indiferent dacă este la Paris sau la Beijing.

Mai mult, observăm:

Legile fizicii sunt invariante sub rotație spațială. Lovirea unei mingi de fotbal o va face să se îndepărteze de tine indiferent dacă ești cu fața spre vest sau spre est.

Acum imaginați-vă că am aplicat o forță unei mingi sprijinite pe o masă. Să spunem că observăm că:

Mingea începe să ruleze spre est cu o viteză de 1 m / s.

Așteptați. De unde a venit „estul”? De ce nu se rostogolește mingea vest ? Astfel, concluzionăm în mod firesc:

Trebuie să existe unele informații suplimentare conținute în forța pe care am aplicat-o asupra mingii.

Această informație suplimentară este direcția .

Conform celei de-a doua legi a mișcării lui Newton, forța care acționează asupra unui corp este proporțională cu rata de schimbare a impulsului și este în direcția în care forța este aplicat. Acum, din afirmație, puteți vedea că forța are o magnitudine și o direcție. Prin urmare, este un vector. Puteți chiar să-l vedeți ca produsul punct al masei (scalar) și al accelerației (vector), care vă va oferi un vector.