De ce este gravitația Pământului ' mai puternică la poli?

Ideea este că, dacă aproximăm Pământul cu un elipsoid oblat, atunci suprafața Pământului este o suprafață echipotențială , $ ^ 1 $ vezi de ex. această postare Phys.SE.

Acum, deoarece raza polară este mai mică decât raza ecuatorială, densitatea suprafețelor echipotențiale la poli trebuie să fie mai mare decât la ecuator.

Sau echivalent, puterea câmpului $ ^ 2 $ $ g $ la poli trebuie să fie mai mare decât la ecuator.

–

$ ^ 1 $ Rețineți că potențialul de aici se referă la efectul combinat al forțelor gravitaționale și centrifuge. Dacă turnăm un pic de apă pe o suprafață echipotențială, nu ar exista o direcție de curgere preferată.

$ ^ 2 $ În mod similar, intensitatea câmpului, cunoscută sub numele de puțin $ g $ , se referă la efect combinat al forțelor gravitaționale și centrifuge, chiar dacă $ g $ este adesea (dezinvoltă și oarecum înșelătoare) denumită constantă gravitațională pe suprafața Pământului.

Comentarii

• Funcționează argumentul ” sunteți mai aproape de centrul de masă „?
• Frumos. Deși răspunsul nu folosește niciodată termenul ” forță centrifugă, ” pe care ‘ o implică argumentul, deoarece echipotențialul este un echipotențial în cadrul rotativ.
• @Floris – Argumentul că ” ești mai aproape de centrul de masă ” kinda-sort works, unde kinda-sorta înseamnă aproximativ 3/2 (spre deosebire de unul) în acest caz. Aproximativ 2/3 din reducerea la ecuator este atribuibilă ecuatorului aflându-se la 21 km mai departe de centrul Pământului. Celălalt 1/3 se datorează direct forței centrifuge (și bineînțeles că primul 2/3 se datorează indirect forței centrifuge).
• @DavidHammen – Cred că în cărțile mele ” gravitația ” este doar atracția dintre două obiecte masive; forța experimentată de o masă pe suprafața pământului este modulată atât la distanță, cât și la rotație, dar numai prima este ” gravitație ” în cartile mele. Mai mult, de vreme ce OP a declarat că înțelege partea de rotație, sugeram cu adevărat să mă concentrez pe cea mai simplă modalitate de a afirma a doua parte.
• Cred că Lubos a scris cu mult timp în urmă un răspuns care explică oarecum de ce gravitațional datorită ecuatorialului umflatura este diferită decât s-ar crede naiv. ‘ voi vedea dacă pot dezgropa acel răspuns.

O mulțime de locuri afirmă că gravitația Pământului este mai puternică la poli decât la ecuator din două motive:

1. Centrifuga forța anulează gravitația minim, mai mult la ecuator decât la poli.
2. Polii sunt mai aproape de centru datorită bombei ecuatoriale și, astfel, au un câmp gravitațional mai puternic.

TL; versiunea DR: există trei motive. În ordinea mărimii,

1. Polii sunt mai apropiați către centrul Pământului datorită bombei ecuatoriale. Aceasta întărește gravitația la poli și o slăbește la ecuator.

2. Bulja ecuatorială modifică modul în care Pământul gravitează. Acest lucru slăbește gravitația la poli și o întărește la ecuator.

3. Pământul se rotește, deci un observator legat de Pământ vede o forță centrifugă. Th nu are niciun efect la poli și slăbește gravitația la ecuator.

Să vedem cum se compară cele două explicații din întrebare cu observația.Tabelul următor compară ceea ce prezice un model de gravitație sferică mai puțin accelerarea centrifugă pentru accelerația gravitațională la nivelul mării la ecuator ($ g _ {\ text {eq}} $) și polul nord ($ g _ {\ text {p}} $) comparativ cu valorile calculate folosind formula gravitației Somigliana bine stabilită $ g = g _ {\ text {eq}} (1+ \ kappa \ sin ^ 2 \ lambda) / \ sqrt {1-e ^ 2 \ sin ^ 2 \ lambda } $.

$ \ begin {matrix} \ text {Quantity} & GM / r ^ 2 & r \ omega ^ 2 & \ text {Total} & \ text {Somigliana} & \ text {Error} \\ g_ \ text {eq} & 9.79828 & -0.03392 & 9.76436 & 9.78033 & -0.01596 \\ g_ \ text {p} & 9.86431 & 0 & 9.86431 & 9.83219 & \ phantom {-} 0.03213 \\ g_ \ text {p} – g_ \ text {eq} & 0.06604 & \ phantom {-} 0.03392 & 0.09995 & 0.05186 & \ phantom {-} 0.04809 \ end {matrix} $

Acest model simplu funcționează într-un sens calitativ. Arată că gravitația la polul nord este mai mare decât la ecuator. Cantitativ, acest model simplu nu este foarte bun. Supraevaluează considerabil diferența dintre gravitație la polul nord față de ecuator, aproape cu un factor de doi.

Problema este că acest model simplu nu ține cont de influența gravitațională a bombei ecuatoriale. O modalitate simplă de a te gândi la acea umflătură este că adaugă masă pozitivă la ecuator, dar adaugă masă negativă la poli, pentru o schimbare netă de masă zero. Masa negativă la pol va reduce gravitația în vecinătatea polului, în timp ce masa pozitivă la ecuator va crește gravitația ecuatorială. Exact asta a ordonat medicul.

Din punct de vedere matematic, ceea ce face acea mișcare a masei este să creeze un moment cvadrupolar în câmpul gravitațional al Pământului. Fără a intra în detaliile armonicelor sferice, acest lucru adaugă un termen egal cu $ 3 J_2 \ frac {GMa ^ 2} {r ^ 4} \ left (\ frac 3 2 \ cos ^ 2 \ lambda – 1 \ right) $ la forța gravitațională, unde $ \ lambda $ este latitudinea geocentrică și $ J_2 $ este a doua formă dinamică a Pământului. Adăugarea acestui termen cvadrupolar la tabelul de mai sus produce următoarele:

$ \ begin {matrix} \ text {Quantity} & GM / r ^ 2 & r \ omega ^ 2 & J_2 \, \ text {term} & \ text {Total} & \ text {Somigliana} & \ text {Error} \\ g_ \ text {eq} & 9.79828 & -0.03392 & \ phantom {-} 0.01591 & 9.78027 & 9.78033 & -0.00005 \\ g_ \ text {p} & 9.86431 & 0 & – 0,03225 & 9.83206 & 9.83219 & -0.00013 \\ g_ \ text {p} – g_ \ text {eq} & 0.06604 & \ phantom {-} 0.03392 & -0.04817 & 0.05179 & 0.05186 & -0.00007 \ end {matrix} $

Această adăugare simplă din quadrupol face acum o potrivire foarte frumoasă.

Numerele pe care le-am folosit în cele de mai sus:

• $ \ mu_E = 398600.0982 \, \ text {km} ^ 3 / \ text {s} ^ 2 $, parametrul gravitațional al Pământului mai puțin contribuția atmosferică.

• $ R_ \ text {eq} = 6378.13672 \, \ text {km} $, raza ecuatorială a Pământului (valoarea medie a mareei).

• $ 1 / f = 298.25231 $, aplatizarea Pământului (mareea medie) valoare).

• $ \ omega = 7.292115855 \ times 10 ^ {- 5} \, \ text {rad} / \ text {s} $, rotația Pământului rata.

• $ J_2 = 0,0010826359 $, al doilea factor de formă dinamic al Pământului.

• $ g_ {\ text {eq}} = 9.7803267714 \, \ text {m} / \ text {s} ^ 2 $, gravitație la nivelul mării la ecuator.

• $ \ kappa = 0,00193185138639 $, care reflectă diferența observată între gravitația la ecuator și polii.

• $ e ^ 2 = 0,00669437999013 $, pătratul excentricității figurii Pământul.

Aceste valori provin în mare parte din Groten, „Parametrii fundamentali și cele mai bune estimări actuale (2004) ale parametrilor de relevanță comună pentru astronomie, geodezie și geodinamică. ” Journal of Geodesy , 77: 10-11 724-797 (2004) , cu parametrul gravitațional standard modificat pentru a exclude masa atmosferei. Atmosfera Pământului are un efect gravitațional asupra Lunii și asupra sateliților, dar nu atât de mult asupra oamenilor care stau pe suprafața Pământului.

Comentarii

• Re ” Polii sunt mai aproape de centrul Pământului datorită la umflatura ecuatorială. Aceasta întărește gravitația la poli și o slăbește la ecuator. ” : Acest lucru ar nu să fie adevărat dacă Pământul a avut o distribuție uniformă a masei .
• @PeterMortensen – Acest lucru este incorect. Chiar dacă Pământul ar avea o densitate uniformă, accelerația gravitațională la pol ar fi mai mare decât cea de la ecuator cu un factor de aproximativ $ 1 + \ frac 1 5 f $, unde $ f $ este factorul de aplatizare. Consultați Distribuția forței gravitaționale pe un sferoid oblat care nu se rotește .
• Acesta ‘ este foarte util să aveți toate acestea într-un singur loc; Nu mi-am dat seama niciodată cu adevărat de gravitatea situației până când am parcurs-o simultan.

Aici „un argument simplu care nu necesită cunoștințe despre lucruri fanteziste, cum ar fi echipotențiale sau cadre de referință rotative. Imaginați-vă că am putea învârti treptat pământul din ce în ce mai repede. În cele din urmă s-ar zbura. În momentul în care a început să zboare separat, ceea ce s-ar întâmpla ar fi că porțiunile pământului la ecuator ar avea viteza orbitală. Când sunteți pe orbită, vă confruntați cu aponderea aponderii, la fel ca astronauții de pe stația spațială.

Deci, într-un punct de pe ecuator, accelerația aparentă a gravitației $ g $ (adică, ceea ce măsurați într-un laborator fixat pe suprafața pământului) coboară la zero atunci când pământul se învârte suficient de repede. Prin interpolare, ne așteptăm ca efectul rotirii reale să fie de a scădea $ g $ la ecuator, în raport cu valoarea pe care ar avea-o dacă pământul nu ar roti.

Rețineți că acest argument în mod automat ia în considerare distorsiunea pământului departe de sfericitate. Forma oblată este doar o parte a interpolării dintre sfericitate și despărțire.

Este diferit la poli. Indiferent cât de repede învârtiți pământul, o porțiune a pământului la polul nord nu va fi niciodată pe orbită. Valoarea $ g $ se va modifica din cauza schimbării formei pământului, dar acest efect trebuie să fie relativ slab, deoarece nu poate duce niciodată la despărțire.

Diferența de accelerație a căderii libere între poli și ecuator are doi factori care contribuie. Le voi discuta unul câte unul.

La poli măsurat accelerația gravitațională este 9.8322 $ m / s ^ 2 $
La ecuator accelerația gravitațională măsurată este 9.7805 $ m / s ^ 2 $

Având în vedere raza ecuatorială a Pământului și rata de rotație a Pământului, puteți calcula câtă accelerație centripetă este necesară pentru a co-roti cu Pământul atunci când sunteți situat pe ecuator. Aceasta ajunge la 0,0339 $ m / s ^ 2 $

Această accelerație centripetă necesară (la ecuator) merge în detrimentul adevăratei accelerații gravitaționale la ecuator.

Deci, putem reconstrui ce ar fi accelerația gravitațională ecuatorială pe un corp ceresc cu aceeași dimensiune și densitate și bombat ecuatorial ca Pământul, dar care nu se rotește.

Accelerația gravitațională adevărată: 9.7805 + 0,0339 = 9,8144 $ m / s ^ 2 $

Deci există încă o diferență de 0,0178 $ m / s ^ 2 $

Această diferență rămasă se datorează aplatizării Pământului: la ecuator ești mai departe de centrul de atracție gravitațională al Pământului decât la poli.

Ideea este dacă s-a luat în considerare toate efectele. Matematica ar fi însumată că efectul mai multor mase sub picioarele voastre este încă mai mic decât efectul distanței de la centrul masei

O altă vedere este. La ecuator există umflături lângă tine. Dar din toate celelalte părți ale pământului, umflătura este departe de tine. Comparați-vă cu polul că toate umflăturile sunt la fel de departe de dvs., ceea ce explică diferența