De ce formulele pentru unitățile planck ' folosesc h în loc de hbar?

pagina răspunsuri.com menționat folosește următoarea formulă: $$ L_ {Planck} = \ sqrt {\ frac {Gh} {2 \ pi c ^ 3}} $$ Rețineți că există factorul $ 2 \ pi $ în numitor – deci $ h / 2 \ pi $ poate fi simplificat ca $ \ hbar $ obișnuit. Probabil că nu au putut scrie acest caracter sau au dorit să evite terminologia și simbolurile cunoscute doar de fizicieni. Dar nu există nicio eroare numerică pe pagina de răspunsuri.com. În orice caz, definiția de mai sus este echivalentă cu $$ L_ {Planck} = \ sqrt {\ frac {G \ hbar} {c ^ 3}} $$ care este lungimea obișnuită „nededusă” a lui Planck. Consultați Wikipedia pentru aceeași formulă:

http://en.wikipedia.org/wiki/Planck_length

Numeric, este de $ 1,6 \ ori 10 ^ {- 35} $ metri. (Actualizare: Oxford Dictionary of English are o formulă greșită – au omis $ 2 \ pi $ și au uitat să treacă și $ h $. Dar înseamnă în mod clar aceeași lungime Planck.) Uneori, oamenii folosesc și Planck „redus” lungime mai elegantă și „profesională” într-un sens: $$ L_ {Planck, redus} = \ sqrt {\ frac {8 \ pi G \ hbar} {c ^ 3}} $$ Rețineți că valoarea $ 8 \ pi $ în numerator poate fi, de asemenea, fuzionat cu $ \ hbar $ pentru a obține $ 4h $ înapoi – deci lungimea redusă Planck este de două ori (din cauza rădăcinii pătrate) lungimea greșită Planck pe care ați obține-o utilizând $ h $ în loc de $ \ hbar $. Dar care este adevăratul motiv pentru care s-a adăugat acolo 8 $ \ pi $?

Motivul pentru care apare $ 8 \ pi G $ în loc de $ G $ se datorează faptului că, într-un anumit sens, $ 8 \ pi G $ este mai natural o constantă decât $ G $: această discuție este analogă tratamentului cu $ 4 \ pi $ în electrodinamică. Constanta $ 8 \ pi G $ este naturală deoarece acțiunea Einstein-Hilbert este $$ S_ {EH} = \ int d ^ D x \ frac {1} {16 \ pi G} R \ sqrt {-g} $$ coeficientul cel mai natural ar fi $ 1/2 $ în loc de $ 1/16 \ pi G $ ceea ce face firesc setarea a $ 8 \ pi G = 1 $. Lungimea redusă a lui Planck este ceva mai lungă (de cinci ori aproximativ) – mai puțin extrem de mică. Chiar mai des, fizicienii particulelor vorbesc despre energia Planck și energia redusă Planck, care sunt aproape de $ 10 ^ {19} $ și respectiv $ 10 ^ {18} $ GeV, respectiv.

Convenția pentru constanta $ G $ a fost inițial ales de Newton care dorea să scrie forța gravitațională ca $ GMm / r ^ 2 $. Ei bine, ar fi mai firesc să avem factorul de $ 4 \ pi $ sau $ 8 \ pi $ în numitor, $ \ Gamma Mm / 8 \ pi r ^ 2 $. Puteți vedea că $ \ Gamma $ este pur și simplu $ \ Gamma = 8 \ pi G $ și ar fi firesc să setați $ \ Gamma $ egal cu unul.

Sper că nu am pentru a explica de ce $ \ hbar $ este mai natural decât $ h $ pentru fizicienii adulți. Versiunile „laice” ale formulelor pot fi mai simple cu $ h $ – dar se ocupă de lungimea de undă etc. Fizicienii adulți știu că lungimea de undă a sinusului este proporțional cu $ 2 \ pi $. Iar cele mai fundamentale ecuații, cum ar fi ecuația lui Schrödinger sau comutatorii $ [x, p] $, iau o formă mai simplă în termeni de $ \ hbar $ decât $ h $, de desigur.

Înapoi la $ G $: oamenii trebuiau să aleagă convenția cum să normalizeze $ G $ în dimensiuni mai mari. Convenția obișnuită, așa cum este utilizată implicit mai sus, este că acțiunea Einstein-Hilbert are întotdeauna coeficientul $ 1/16 \ pi G $. Asta implică faptul că în dimensiunile spațiu-timp $ D $, forța câștigată „nu va fi $ GMm / r ^ {D-2} $, dar va avea în el niște coeficienți numerici dependenți de $ D $.

dorește Lubos

Comentarii

• Mulțumesc foarte mult Lubos! Înțeleg că ar trebui să existe reducerea Planck ' s constantă acolo într-un fel sau altul (cu hbar sau cu h peste 2 pi).Cu toate acestea, văd o discrepanță între ecuația Wikipedia ' și ecuația Oxford dict ' s, așa cum am ' Am actualizat întrebarea pentru afișare.
• Vă mulțumim pentru actualizare, nume de utilizator greșit. Dicționarul Oxford are o eroare – au uitat să reducă $ h $, fie din cauza fonturilor insuficiente, fie a scriitorilor incompetenți haha.