Am citit deseori că metalele care sunt lichide Fermi ar trebui să aibă o rezistivitate care variază în funcție de temperatura cum ar fi $ \ rho (T) = \ rho (0) + a T ^ 2 $.
Cred că partea $ T ^ 2 $ este rezistența datorată interacțiunilor electron-electron și termenul constant se datorează împrăștierii impurității.
Există un argument simplu pentru a arăta acest lucru? Sau poate m-ați putea îndrepta către o referință drăguță?
De asemenea, se pare că pentru interacțiunile electron-electron pentru a introduce o rezistivitate finită, este necesară o anumită împrăștiere umklapp (pentru a sparge invarianța galileană și translatională). Este corect? Care dintre aceste simetrii (galileene sau de traducere) trebuie ruptă?
Comentarii
- Caut un răspuns mai bun, dar înțelegerea mea simplă este după cum urmează: $ \ rho \ sim \ Im \ Sigma \ sim \ omega ^ 2 \ sim T ^ 2 $. Și $ \ Im \ Sigma \ sim \ omega ^ 2 $ este ceea ce definește comportamentul lichidului Fermi.
- Scalarea $ T ^ 2 $ are nevoie atât de Umklapp, cât și de împrăștiere electron-electron. În mod efectiv, o vecinătate de $ O (kT) $ a suprafeței Fermi pentru cvasiparticule participă la interacțiunile care implică scalarea, arxiv.org/abs/1204.3591 .
- @ EverettYou: ‘ este ceea ce mă gândeam și eu, dar unde vine umklapp-ul?
- Are cineva câteva referințe bune despre calculul efectului umklapp în teoria lichidului Fermi?
- Există câteva argumente simple ” fază-spațiu ” a motiva dependența de $ T ^ 2 $; le-ați întâlnit, @jjj?
Răspundeți
Cum interacțiunea electron-electron duce la un $ T ^ {2} Dependența de $ poate fi explicată prin înțelegerea constrângerilor plasate pe împrăștierea electron-electron prin conservarea impulsului și Principiul de excludere.
Luați în considerare suprafața fermi a unui gaz de electroni în 3D. Suprafața Fermi este o sferă cu raza $ k_ {f} $. La temperaturi finite, electronii ocupă stări în afara suprafeței Fermi guvernate de ecuația Fermi Dirac, caractarizată de o coajă în afara sferei Fermi cu o rază proporțională cu temperatura. Există, prin urmare, stări goale în sfera Fermi într-o coajă de aceeași rază.
Dacă activăm interacțiunile electron-electron, la puteri mici de interacțiune, îl putem considera ca o împrăștiere a electronilor între aceste stări în imaginea care nu interacționează mai sus. Electronii, fiind fermioni, pot ocupa doar stări care nu sunt deja ocupate, împreună cu conservarea satisfăcătoare a impulsului. Astfel, trebuie să alegem doi electroni, ambii fiind pe cochilii de rază proporțională cu T, de ambele părți ale suprafeței razei $ k_ {f} $, astfel încât să ne putem împrăștia într-o stare goală în afara lui $ k_ {f} $ surface și cealaltă într-o stare goală în shell în interiorul $ k_ {f} $ surface. Astfel, probabilitatea de a alege doi astfel de electroni este proporțională cu $ T ^ 2 $.
Deoarece contribuția la rezistivitate este proporțională cu probabilitatea acestor evenimente de împrăștiere, aceste interacțiuni conduc la un $ T ^ 2 $ dependență de rezistivitate.
Există argumente mai riguroase, dar cred că acest lucru oferă o imagine intuitivă, valabilă în contextul interacțiunilor slabe și a temperaturii scăzute.
Răspuns
Sau poate m-ați putea îndrepta către o referință drăguță?
Detaliile din spatele următorului răspuns pot fi găsite în următoarea hârtie arXiv (și referințe) arXiv: 1109.3050v1 .
Există un argument simplu care să arate acest lucru?
Se pare că nu, dar pot spune următoarele. Conductivitatea datorată coliziunilor electroni-electroni este dată în general de: $$ \ sigma = \ frac {n \ e ^ {2} \ \ tau_ {coll} } {m} \ tag {0} $$ unde $ \ sigma $ este conductivitatea electrică, $ n $ este densitatea numărului de electroni, $ e $ este taxa fundamentală , $ m $ este masa electronică și $ \ tau_ {coll} $ este scara medie a timpului de coliziune (sau rata de relaxare). Rețineți că rezistivitatea , $ \ eta $, este doar inversul conductivității în aproximarea scalară.
Pentru un lichid Landau-Fermi , rata medie de relaxare pentru electronii de pe o suprafață Fermi se poate dovedi a fi: $$ \ tau_ {coll} ^ {- 1} = \ frac {\ alpha \ \ left (m * \ right) ^ {3} \ \ left (k_ {B} \ T \ right) ^ {2}} {12 \ \ pi \ \ hbar ^ {6}} \ \ langle \ frac {W \ left (\ theta, \ phi \ right)} {\ cos {\ left (\ theta / 2 \ right)}} \ rangle \ tag {1} $$ unde $ \ alpha $ este eficiența transferului impulsului la rețeaua ionică ca o cantitate adimensională care satisface $ \ alpha $ < 1, $ k_ {B} $ este Constanta Boltzmann , $ \ hbar $ este constanta Planck , $ W \ left (\ theta, \ phi \ right) $ este probabilitatea de tranziție pentru împrăștierea inelastică.
Citând din hârtia arXiv de mai sus:
Cu toate acestea, faptul că un solid nu posedă o simetrie completă a traducerii are consecințe importante. Deja în 1937 Baber a demonstrat un mecanism de rezistivitate finită într-un model cu două benzi în care $ s $ electroni sunt împrăștiați din găuri mai grele de $ d $ printr-o interacțiune Coulomb ecranată … procesele Umklapp cu o singură bandă permit transferul impulsului către sistemul de coordonate cristal …
unde procesele Umklapp se referă la electron- phonon și / sau împrăștierea phonon-phonon într-o rețea. Autorii arată, de asemenea, că termenul dintre paranteze poate fi integrat la următoarele: $$ \ langle \ frac {W \ left (\ theta, \ phi \ right)} {\ cos {\ left (\ theta / 2 \ dreapta)}} \ rangle = 12 \ lambda _ {\ tau} ^ {2} \ frac {\ left (\ pi \ \ hbar \ right) ^ {5}} {\ left (m * \ right) ^ {3} \ \ epsilon_ {F} *} \ tag {2} $$ unde $ \ lambda _ {\ tau} $ este un parametru fără dimensiuni care descrie interacțiunea eficientă în polaron -polaron scattering și $ \ epsilon_ {F} * $ este energia Fermi a polaronilor. După puțină algebră, putem arăta că: $$ \ frac {\ hbar} {\ tau_ {coll}} = \ alpha \ \ lambda _ {\ tau} ^ {2} \ frac {\ pi} {\ epsilon_ {F } *} \ left (\ pi \ k_ {B} \ T \ right) ^ {2} \ tag {3} $$
Astfel, rezistivitatea este proporțională cu $ \ eta \ propto T ^ {2} $.