Această întrebare poate fi puțin leneșă, dar cineva îmi poate oferi o dovadă a formulei sferei Hill? Conform wikipedia , formula pentru raza, $ r $, este
$$ r \ approx a (1-e) \ stânga (\ frac {m} {3M} \ dreapta) ^ {1/3} $$
unde un corp de masă $ m $ orbitează un corp mult mai masiv de masă $ M $ cu un semi-major axis $ a $ and excentricty $ e $.
Comentarii
- Uită-te la introducerea din această lucrare .
- Plasați o masă de test între două mase, presupuneți că originea este în masa mai mare și calculați unde mărimile ambelor forțe sunt egale?
- @Dave that ‘ este o hârtie destul de grozavă (‘ am planificat să fac ceva astăzi, dar acum …) și Sunt sigur că ‘ se află acolo; $ R_H = 3 ^ {- 1/3} $ și ” unitatea de lungime este scalată de factorul µ $ {} ^ { 1/3} $ ” dar nu ‘ nu văd cum să obțin (1- e ) în față atât de ușor.
- Deoarece a (1-e) este periastron?
- Se pare că ‘ au adăugat de fapt o derivare la pagina Wikipedia – interesant ceva care nu este menționat pe pagina Wikipedia este că această suprafață nu este sferică, se referă la pierderea unei particule pe axa (cel puțin în timpul unui singur eveniment – mai multe evenimente non-rezonante în cele din urmă dezbracă tot materialul în afara a razei Hill lăsând o sferă)
Răspuns
Sfera Hill este definită ușor diferit de lobul Roche , dar raza este aproximată de distanța până la punctele Lagrange L 1 și L 2 .
Pentru mișcare circulară cu viteză unghiulară $ \ omega $ în jurul originii, avem:
$$ \ ddot {\ mathbf {r}} = – \ omega ^ 2 \ mathbf {r} $$
Accelerația datorată gravitației dintr-o masă punctuală pe o altă masă la poziția $ \ mathbf {r} $ este dat de legea pătrată inversă obișnuită:
$$ \ ddot {\ mathbf {r}} = – \ frac {Gm} { \ left \ | \ mathbf {r} \ right \ | ^ 2} \ hat {\ mathbf {r}} $$
Acum luați în considerare un sistem cu două corpuri cu mase $ m_1 $ și $ m_2 $ , separate de o distanță $ r $ orbitând centrul comun de masă (com) la distanțe $ r_1 $ și $ r_2 $ respectiv.
> 1 < / sub >
Acesta este un sistem unidimensional, deci putem trece de la vectori la scalari. Din definiția centrului de masă, avem:
$$ r_1 = \ left (\ frac {m_2} {m_1 + m_2} \ right ) r $$ $$ r_2 = \ left (\ frac {m_1} {m_1 + m_2} \ right) r $$
Pentru orbita $ m_2 $ în jurul centrului de masă, echivalând accelerația gravitațională cu accelerația necesară pentru mișcarea circulară, se obține:
$$ \ omega ^ 2 r_2 = \ frac {G m_1} {r ^ 2} $$
Și apoi exprimarea $ r_2 $ în termeni de $ r_1 $ oferă a treia lege a lui Kepler:
$$ \ omega ^ 2 = \ frac {G \ left (m_1 + m_2 \ right)} {r ^ 3} $$
În continuare găsim distanța până la punctul L 1 , unde forțele gravitaționale ale primarului și secundarului se combină pentru a furniza accelerația necesară pentru mișcarea circulară.Echivalarea accelerației pentru mișcare circulară cu forțele gravitaționale dă:
$$ \ omega ^ 2 \ left (r_2 – h \ right) = \ frac {G m_1 } {\ left (r – h \ right) ^ 2} – \ frac {G m_2} {h ^ 2} $$
Și substituind $ \ omega $ are ca rezultat:
$$ \ frac {\ left (m_1 + m_2 \ right) \ left (r_2 – h \ dreapta)} {r ^ 3} = \ frac {m_1} {\ left (r – h \ right) ^ 2} – \ frac {m_2} {h ^ 2} $$
Apoi rescrieți acest lucru în raport cu raportul de masă $ q = \ frac {m_2} {m_1} $ și distanța relativă $ z = \ frac {h} {r} $ , oferind:
$$ 1 – z \ left (1 + q \ right) = \ left (1 – z \ right) ^ {- 2} – qz ^ {- 2} $$
Acest lucru are ca rezultat un ecuație chintică pentru $ z $ , care trebuie rezolvată numeric, deoarece chinticele generale nu au soluții algebrice (I „m nr o să mă prefac că înțeleg dovada acestui lucru ).
Cu condiția să ne aflăm într-o situație în care $ m_1 \ gg m_2 $ , care este o bună aproximare pentru planetele sistemului solar, putem face aproximări pentru a evita rezolvarea chinticii. În acest caz, sfera Hill este mult mai mică decât separarea dintre cele două obiecte, ceea ce înseamnă că putem aproxima:
$$ \ begin {align} 1 + q & \ approx 1 \\ \ left (1 – z \ right) ^ {- 2} & \ approx 1 + 2z \ end {align} $$
Unde a doua linie este aproximare binomială . Acest lucru oferă:
$$ 1 – z \ approx 1 + 2z – qz ^ {- 2} $$
Rearanja a rezolva pentru $ z $ :
$$ z ^ 3 \ approx \ frac {q} {3} $$
Și apoi folosind definițiile $ z $ și $ q $ devine
$$ h \ approx r \ left (\ frac {m_2} {3 m_1} \ right) ^ {1 / 3} $$
Care este formula obișnuită pentru dimensiunea sferei Hill.
Pentru L 2 , punctul Lagrange este situat dincolo de secundar, deci ecuația forței gravitaționale și a mișcării circulare devine:
$$ \ omega ^ 2 \ left (r_2 + h „\ right) = \ frac {G m_1} {\ left (r + h” \ right) ^ 2} + \ frac {G m_2} {h „^ 2} $$
Unde $ h „$ este distanța de la secundar la punctul L 2 .
Înlocuiți în $ \ o mega $ și rescriere în termeni de $ q $ și $ z „= \ frac {h”} { r} $ oferă:
$$ 1 + z „\ left (1 + q \ right) = \ left (1 + z” \ right ) ^ {- 2} + qz „^ {- 2} $$
Din nou, aceasta oferă o ecuație chintică pentru $ z” $ , dar putem face aproximări similare cu cazul pentru L 1 :
$$ \ begin {align} 1 + q & \ approx 1 \\ \ left (1 + z „\ right) ^ {- 2} & \ approx 1 – 2z „\ end {align} $$
Acest lucru oferă:
$$ 1 + z” \ approx 1 – 2z ” + qz „^ {- 2} $$
Simplificarea și înlocuirea variabilelor din nou:
$$ h” \ approx r \ left (\ frac {m_2} {3m_1} \ right) ^ {1/3} $$
Acest lucru funcționează pentru orbite circulare. Pentru orbite excentrice, abordarea obișnuită este simpla înlocuire a distanței $ r $ cu distanța pericentrică $ a \ left (1 – e \ right) $ unde $ a $ este axa semimajoră. O abordare mai riguroasă ar fi utilizarea vitezei unghiulare la pericentru și derivarea de acolo, dar o voi lăsa ca exercițiu pentru cititorul interesat 🙂
Comentarii
-
+1Nu ‘ nu uitați de quod erat demonstrandum !
Răspuns
Sfera Hill este numită după John William Hill (1812–1879) și logica sa simplă rezultă din prezența a trei corpuri (să presupunem că Soarele este cea mai mare masă cu Pământul ca masă secundară și un satelit de masă neglijabilă care orbitează Pământul ca a treia masă), unde raza sferei Hill cea mai mare rază la care un satelit ar putea orbita masa secundară (Pământul în acest caz). Dacă orbita sa depășește raza Hills, atunci va cădea sub influența gravitațională a primului corp (soare) și, prin urmare, nu va mai fi un satelit al corpului secundar.
S-ar putea scrie ecuațiile lui Newton folosind ideea că satelitul are aceeași viteză unghiulară ca și obiectul secundar.Aceasta este că, viteza unghiulară a Pământului în jurul soarelui este egală cu viteza unghiulară a satelitului din jurul soarelui. O demonstrație despre derivare este dată în linkul următor, precum și în limita Roche: