În acest răspuns, Jim Clay scrie:
… folosiți faptul că $ \ mathcal F \ {\ cos (x) \} = \ frac {\ delta (w – 1) + \ delta (w + 1)} {2} $ …
Expresia de mai sus nu este prea diferită de $ \ mathcal F \ {{ \ cos (2 \ pi f_0t) \} = \ frac {1} {2} (\ delta (f-f_0) + \ delta (f + f_0))} $.
Am încercat pentru a obține expresia ulterioară utilizând definiția standard a transformatei Fourier $ X (f) = \ int _ {- \ infty} ^ {+ \ infty} x (t) e ^ {- j2 \ pi ft} dt $ dar toate În sfârșit, este o expresie atât de diferită de ceea ce pare a fi răspunsul.
Aici este lucrarea mea:
\ begin {align} x (t) & = \ cos (2 \ pi f_0t) \\ \ Longrightarrow \ mathcal F \ left \ {x (t) \ right \} & = \ int _ {- \ infty} ^ {+ \ infty} \ cos (2 \ pi f_0t) e ^ {- j2 \ pi ft} dt \\ & = \ int _ {- \ infty} ^ {+ \ infty} \ frac 12 \ left (e ^ {- j2 \ pi f_0t} + e ^ {j 2 \ pi f_0t} \ right) e ^ {- j2 \ pi ft} dt \\ & = \ frac {1} {2} \ int _ {- \ infty} ^ { + \ infty} \ left (e ^ {- j2 \ pi f_0t} e ^ {- j2 \ pi ft} + e ^ {j2 \ pi f_0t} e ^ {- j2 \ pi ft} \ right) dt \\ & = \ frac {1} {2} \ int _ {- \ infty} ^ {+ \ infty} \ left (e ^ {- j2 \ pi t \ left (f_0 + f \ right)} + e ^ {- j2 \ pi t \ left (f-f_0 \ right)} \ right) dt \\ & = \ frac {1} {2} \ left (\ int _ {- \ infty} ^ {+ \ infty} \ left (e ^ {- j2 \ pi t (f_0 + f)} \ right) dt + \ int _ {- \ infty} ^ {+ \ infty} \ left (e ^ {- j2 \ pi t (f-f_0)} \ right) \ right) dt \ end {align}
Aici am „blocat.
Răspuns
Lucrul dvs. este OK, cu excepția problemei că transformata Fourier a $ \ cos (2 \ pi f_0 t) $ nu există în simțul obișnuit al unei funcții de $ f $ și trebuie să extindem noțiunea pentru a include ceea ce se numește distribuții sau impulsuri sau delte Dirac sau (așa cum noi inginerii obișnuim să facem, mult pentru dezgustul matematicienilor) delta funcții. Citiți despre condițiile care trebuie îndeplinite pentru transforma Fourier $ X (f) $ a semnalului $ x (t) $ să existe (în sensul obișnuit) și veți vedea că $ \ cos (2 \ pi f_0 t) $ nu are o transformată Fourier în sens obișnuit.
Trecând la întrebarea dvs. specifică, odată ce ați înțeles că impulsurile sunt definite numai în termeni de modul în care se comportă ca integranzi într-o integrală, adică pentru $ a < x_0 < b $, $$ \ int_ {a} ^ {b} \ delta (x-x_0) g (x) \, \ mathrm dx = g ( x_0) $$ cu condiția ca $ g (x) $ să fie continuu la $ x_0 $, atunci este mai ușor să deduceți transformata Fourier a $$ \ cos (2 \ pi f_0 t) = \ left . \ left. \ frac {1} {2} \ right [e ^ {j2 \ pi f_0 t} + e ^ {- j2 \ pi f_0 t} \ right] $$ reflectând la faptul că $$ \ int_ {- \ infty} ^ \ infty \ delta (f-f_0) e ^ {j2 \ pi ft} \, \ mathrm df = e ^ {j2 \ pi f_0t} $$ și deci trebuie să fie $ \ cos (2 \ pi f_0 t) $ este transformata Fourier inversă a lui $ \ displaystyle \ left. \ left. \ frac {1} {2} \ right [\ delta (f-f_0) + \ delta ( f + f_0) \ right] $.
Răspunde
Apoi folosiți doar un tabel de perechi de transformate Fourier pentru a vedea că $ \ delta (t) \ leftrightarrow 1 $ și substituția variabilă ($ f_1 = f + f_0 $ și $ f_2 = f-f_0 $), pentru a obține ceea ce aveți nevoie.
Comentarii
- Care, desigur, pune întrebarea cu privire la modul în care persoana care a scris tabelul a venit cu răspunsul care se află în tabel.
- @DilipSarwate 🙂 Acum ' vă puneți o întrebare mult mai dificilă. 🙂
- Vedeți răspunsul meu pentru o versiune a răspunsului la întrebarea mult mai dificilă care ar putea trece pe acest stackexchange dacă nu pe math.SE!
- @DilipSarwate: tu ' am primit deja +1-ul meu. Mulțumesc, răspuns frumos. De acord cu matematica. Băieții SE ar fi îngrozit. OK, suntem ' ingineri. 🙂
- dsp.stackexchange.com/questions/14990/…