Vreau să trec prin derivarea reprezentării în frecvență a unui tren de impuls.
Definiția funcției trenului de impulsuri cu perioada $ T $ și reprezentarea frecvenței cu frecvența de eșantionare $ \ Omega_s = 2 \ pi / T $ pe care aș dori să o obțin este:
\ begin {align *} s ( t) & = \ sum \ limits_ {n = – \ infty} ^ {\ infty} \ delta (t – nT) \\ S (j \ Omega) & = \ frac {2 \ pi} {T} \ sum \ limits_ {k = – \ infty} ^ {\ infty} \ delta (\ Omega – k \ Omega_s) \\ \ end { align *}
Folosind reprezentarea exponențială Fourier a funcției de impuls și aplicând transformata Fourier de acolo rezultă:
\ begin {align *} s (t) & = \ frac {1} {T} \ sum \ limits_ {n = – \ infty} ^ {\ infty} e ^ {- jn \ Omega_s t} \\ S (j \ Omega ) & = \ int _ {- \ infty} ^ \ infty s (t) e ^ {- j \ Omega t} dt \\ S (j \ Omega) & = \ int _ {- \ i nfty} ^ \ infty \ frac {1} {T} \ sum \ limits_ {n = – \ infty} ^ {\ infty} e ^ {- jn \ Omega_s t} e ^ {- j \ Omega t} dt \\ S (j \ Omega) & = \ frac {1} {T} \ int _ {- \ infty} ^ \ infty \ sum \ limits_ {k = – \ infty} ^ { \ infty} e ^ {- j (k \ Omega_s + \ Omega) t} dt \\ \ end {align *}
Pentru a ajunge de acolo la rezultatul final, s-ar părea că integrarea ar fi trebuie să fie pe o perioadă de 2 $ \ pi $. În cazul în care $ \ Omega = -k \ Omega_s $, exponentul ar fi $ e ^ 0 $ și s-ar integra la $ 2 \ pi $ și pentru alte valori de $ \ Omega $, ar exista o undă sinusoidală completă care s-ar integra la zero. Cu toate acestea, limitele integrării sunt infinit negativ până la infinit pozitiv. Poate cineva să explice acest lucru? Mulțumesc!
Răspuns
Ai dat seama corect că integralele care apar nu converg în sens convențional. Cea mai ușoară (și cu siguranță neriguros) mod de a vedea rezultatul este notând relația transformării Fourier
$$ 1 \ Longleftrightarrow 2 \ pi \ delta (\ Omega) $$
Prin schimbarea / proprietate de modulare avem
$$ e ^ {j \ Omega_0t} \ Longleftrightarrow 2 \ pi \ delta (\ Omega- \ Omega_0) $$
Deci fiecare termen $ e ^ { jn \ Omega_s t} $ din seria Fourier se transformă în $ 2 \ pi \ delta (\ Omega-n \ Omega_s) $, iar rezultatul urmează.
Comentarii
- Acest lucru este perfect și mult mai ușor decât mi-am dat seama. Mulțumesc foarte mult !!!
- Celălalt răspuns a fost, de asemenea, corect. Am schimbat cel acceptat.
Răspuns
@MattL a sugerat un mod frumos și simplu de a vedea rezultatul de mai sus.
Dar dacă doriți să vedeți rezultatul în ecuațiile normale de analiză pe care le-ați menționat, puteți face ca mai jos.
Spuneți S (t) este un tren periodic de impulsuri. Deci S (t) poate fi scris ca
$$ \ S (t) = \ sum_ {n = – \ infty } ^ {\ infty} \ delta (t-nT) $$
Acum, dacă luați seria Fourier de S (t), puteți scrie S (t) ca
$$ S (t) = \ sum_ {n = – \ infty} ^ {\ infty} C_ke ^ {jnw_ot} $$
Unde $ C_n $ sunt coeficienți exponențiali de serie Fourier și $ w_o $ este frecvență fundamentală.
Deci, din seria exponențială Fourier știm că
$$ C_n = (1 / T) \ int _ {- T / 2} ^ {T / 2} S ( t) e ^ {- jnw_ot} dt $$
Acum, în expresia de mai sus, înlocuiți valoarea lui S (t) din prima expresie.
Deci $$ C_n = (1 / T) \ sum_ {n = – \ infty} ^ {\ infty} \ int _ {- T / 2} ^ {T / 2} \ delta (t-nT) e ^ {- jnw_ot} dt $$
Acum, trebuie să faceți o observație, dacă observați integralul, este de la -T / 2 până la + T / 2. În această perioadă integrală, observați că există doar un singur impuls $ \ delta (t) $. Toate celelalte funcții de impuls din însumare apar după T / 2 sau înainte de -T / 2. Deci ecuația de mai sus pentru $ C_n $ poate fi scrisă ca
$$ C_n = (1 / T) \ sum_ {n = – \ infty} ^ {\ infty} \ delta (t) e ^ {- jnw_ot} $$
Din cernerea proprietății putem scrie cele de mai sus ca
$$ C_n = (1 / T) e ^ {- jw_on (0)} = ( 1 / T) $$
Acum puneți această valoare de $ C_n $ în prima ecuație S (t)
$$ S (t) = (1 / T) \ sum_ {n = – \ infty} ^ {\ infty} e ^ {jnw_ot} $$
Acum găsiți transformata fourier a ecuației de mai sus
$$ 1 \ Longleftrightarrow 2 \ pi \ delta (w) $$
$$ e ^ {jw_ot} \ Longleftrightarrow 2 \ pi \ delta (w-w_o) $$
Deci transformata fourier este $$ S (jw ) = (2 \ pi / T) \ sum_ {n = – \ infty} ^ {\ infty} \ delta (w-nw_o) $$
Acest lucru ar trebui să vă ajute.