Descriere simplă a interacțiunii de schimb?

Interacțiunea de schimb este o adăugare la alte interacțiuni între particule identice cauzate de simetria permutării.

Această adăugare este rezultatul unei forme specifice de mai multe particule funcția de undă. Nu oferă nicio contribuție la Hamiltonian, spre deosebire de interacțiunile „obișnuite”, dar apare ca un termen suplimentar în ecuații pentru funcțiile de undă a particulei unice (de exemplu, ecuația Hartree-Fock). cu energie și forțe. Am putea găsi corecția schimbului ca o forță adăugată forțelor Coulomb, dar ar trebui să înțelegem mai întâi ce este forța în sistemul cuantic.

Să considerăm doi fermioni cu funcții de undă coordonate cu particule simple $ \ psi_a ( x) $ și $ \ psi_b (x) $ și fuziuni de undă de spin $ \ phi_a (s) $ și $ \ phi_b (s) $. Funcțiile de undă cu două particule posibile sunt singlet cu partea de coordonate simetrică $$ \ Psi_S (x_1 , x_2) = \ frac {1} {\ sqrt {2}} \ left [\ psi_a (x_1) \ psi_b (x_2) + \ psi_a (x_2) \ psi_b (x_1) \ right] $$ și triplet cu coordonată antisimetrică partea $$ \ Psi_A (x_1, x_2) = \ frac {1} {\ sqrt {2}} \ left [\ psi_a (x_1) \ psi_b (x_2) – \ psi_a (x_2) \ psi_b (x_1) \ right] $$

Fie că Hamiltonianul cu două particule nu depinde de rotiri: $$ \ hat {H} = \ frac {\ hat {\ mathbf {p}} _ 1 + \ hat {\ mathbf {p }} _ 2} {2m} + V (x_1, x_2) $$ atunci energia medie a interacțiunii va fi: $$ U_S = \ left < \ Psi_S \ right | V \ left | \ Psi_S \ right > = U + U_ \ text {ex} $$ $$ = \ left < \ psi_a (x_1) \ psi_b (x_2) \ right | V \ left | \ psi_a (x_1) \ psi_b (x_2) \ right > + \ left < \ psi_a (x_1) \ psi_b (x_2) \ right | V \ left | \ psi_a (x_2) \ psi_b (x_1) \ right > $$ $ $ U_A = \ left < \ Psi_A \ right | V \ left | \ Psi_A \ right > = U – U_ \ text {ex } $$ $$ = \ left < \ psi_a (x_1) \ psi_b (x_2) \ right | V \ left | \ psi_a (x_1) \ psi_b (x_2) \ right > – \ left < \ psi_a (x_1) \ psi_b (x_2) \ right | V \ left | \ psi_a (x_2) \ psi_b (x_1) \ right > $$

Termenul $ U_ \ text {ex} $ nu este zero numai dacă particulele sunt suficient de apropiate între ele și funcțiile lor de undă se suprapun (a se vedea imaginea de mai jos). În limita clasică, când distanța $ L $ este mare, suprapunerea este zero și $ U_S = U_A = U $

Să presupunem că $ \ psi_a $ și $ \ psi_b $ nu sunt negative oriunde și $ V $ acționează ca interacțiune Coulomb (adică pozitivă și scade când distanța crește). Apoi $ U $ și $ U_ \ text { ex} $ sunt pozitive și energia stării de coordonate simetrice (spini opuși) este mai mare decât energia stării de coordonate antisimetrice (spini similari). Dacă pozițiile medii ale particulelor sunt fixe, interacțiunea de schimb va pune rotirile în aceeași direcție.

Forța de interacțiune dintre particule poate fi definită ca forța generalizată corespunzătoare parametrului L: $$ F = – \ frac {\ partial U} {\ partial L} $$ În cadrul ipotezelor noastre referitoare la $ \ psi_a $, $ \ psi_b $ și $ V $ derivatul ambelor $ U $ și $ U_ \ text {ex} $ sunt negative. Prin urmare, forța „obișnuită” este pozitivă (repulsie), iar forța de schimb este pozitivă pentru coordonatele simetrice s tate și negativ pentru starea de coordonate antisimetrice (atracție).

Deci, interacțiunea de schimb pentru cazul a două particulele pot fi considerate ca o forță suplimentară în funcție de configurația de centrifugare. Pentru mai multe particule, acest lucru este mai complicat.

Comentarii

• Bună, cum să înțelegeți forța efectivă a interacțiunii de schimb pentru Fermion este atractivă? Foarte contraintuitiv.