Douăsprezece bile și o scară

Împarte acest i la trei grupe de patru, A1, A2, A3, A4; B1, B2 …; C1, C2 … Fiecare pas de aici corespunde unei cântăriri.

• Cântărește A contra B.
  • Dacă A> B, atunci cântărește A1, B1 și B2 împotriva B3 , B4 și C1.
    • Dacă greutățile sunt egale, atunci una dintre A2 … 4 este mai grea; cântărește A2 și A3. Dacă sunt egale, A4 este mai greu. Dacă unul este mai greu, atunci mingea este mai grea.
    • Dacă primul grup este mai greu, atunci fie A1 este mai greu, fie B3-4 este mai ușor. Comparați B3 și B4; dacă sunt egali, A1 este mai greu; dacă sunt diferite, cea mai ușoară este cea mai ușoară bilă.
    • Dacă primul grup este mai ușor, atunci fie B1, fie B2 este mai ușor. Cântărește-le și vezi.
  • Dacă A < B, renumerotează toate bilele A în bile B și execută cele de mai sus pași.
  • Dacă A = B, cântărește A1, A2, A3 împotriva C1, C2, C3
    • Dacă sunt egali, atunci cântărește A1 împotriva C4. Dacă A1 este mai ușor, atunci C4 este bila ciudată și este grea. Dacă A1 este mai greu, atunci C4 este bila ciudată și este ușoară.
    • Dacă A este mai greu decât C, cântărește C1 împotriva C2. Dacă sunt egale, atunci C3 este bila ciudată și este mai ușoară. Dacă nu sunt egale, atunci bricheta dintre cele două bile este cea mai ușoară bilă
    • Dacă A este mai ușoară decât C, cântărește C1 împotriva C2. Dacă sunt egale, atunci C3 este bila ciudată și este mai grea. Dacă nu sunt egale, atunci cea mai grea dintre cele două bile este cea mai grea.

Putem lucra înapoi de la al treilea pas pentru a vedea, aproximativ, de ce funcționează acest lucru. La a treia cântărire, opțiunile trebuie reduse fie la două, fie la trei bile. Aceasta înseamnă că a doua cântărire trebuie să se reducă la două sau trei mingi posibile.

Știm că primul pas va elimina 1/3 sau 2/3 din soluțiile posibile, indiferent de ceea ce faceți. Aceasta înseamnă că, în cazul 1/3, trebuie să împărțiți posibilitățile de la 8 la un grup de 3, un grup de 3 și un grup de 2. De aici, a treia cântărire indică bilele ciudate. Deoarece acest caz implică faptul că un set de bile este mai greu, în virtutea găsirii mingii ciudate, știm dacă este mai grea sau mai ușoară, deci nu trebuie să ne facem griji cu privire la această informație.

În cazul 2/3, trebuie să reduceți posibilitățile într-un grup de 3 și un grup de 1, ceea ce este suficient de ușor de realizat intuitiv. Deoarece de fapt nu cunoaștem greutatea relativă a mingii ciudate în acest caz, informațiile din a treia cântărire trebuie utilizate pentru a determina dacă bila este mai grea sau mai ușoară.

Comentarii

• Deși acest răspuns este corect, speram un răspuns care să explice strategia din spatele alegerilor articolelor de cântărit.
• @JoeZ. I am adăugat un pic despre modul în care am determinat acest răspuns, deși nu ‘ nu sunt sigur că aș putea vorbi cu o soluție generală la această problemă. (De asemenea, FYI, am ‘ am editat răspunsul meu la cealaltă întrebare.)
• Ceea ce ați pus ‘ este bine. Mă gândeam la raționamente mai mult decât la strategie, gândiți-vă din nou la asta.

Acolo este o altă modalitate de a face această problemă, care nu implică deloc niciun fel de ramificare condiționată. De fapt, este posibil să setați un program fix de cântărire în prealabil și să stabiliți în continuare ce bilă este mai ușoară sau mai grea în doar 3 cântăriri. Voi explica cum mai jos.

Esența unor astfel de probleme este, cât de multe informații puteți obține din procedura pe care vi se permite să o întreprindeți? Cu fiecare cântărire, cântarul poate fie să se întoarcă la stânga, fie la dreapta sau să rămână echilibrat.Acest lucru vă oferă un total de 3 ³ = 27 de rezultate posibile și, în acest caz, trebuie să discerneți 24 de rezultate (una din cele 12 bile este ușoară sau grea, adică 12 × 2 = 24 ).

Deci, trebuie să începem sarcina plictisitoare de mapare a fiecărui rezultat la un rezultat.

Unul dintre lucrurile pe care le putem observa imediat este că există și trei stări fiecare bilă poate fi în timpul fiecărei cântăriri – în partea stângă a cântarului, în partea dreaptă a cântarului sau în afara cântarului. Bineînțeles, aceasta mapează stările scalei într-un mod care este intuitiv analog:

Dacă bila ciudată este mai grea …

• și mingea este plasat pe partea stângă, cântarul se va înclina spre stânga.
• iar mingea este plasată pe partea dreaptă, cântarul se va înclina spre dreapta.
• iar mingea este în afara scalei, scala va rămâne echilibrată.

Dacă mingea este mai ușoară, primele două cazuri sunt inversate.

Există 27 de modalități posibile de a plasa fiecare bilă în toate cele trei cântăriri, fiecare corespunzând unui rezultat diferit dacă acea bilă este cea ciudată. Trebuie să găsim un aranjament de bile în care fiecare set posibil de plasări și inversul său (pentru cazurile grele și ușoare) sunt distincte – deci nu două bile sunt în același loc pentru toate cele trei cântăriri.

Aici este un aranjament preliminar care satisface proprietatea distinctivă. Observați că niciun aranjament posibil nu apare de mai multe ori în ambele tabele:

 Normal Inverse Ball 1 2 3 1 2 3 1 L R 2 L R 3 L R 4 L R R L 5 L R R L 6 L R R L 7 L L R R 8 L L R R 9 L L R R 10 L L R R R L 11 L R L R L R 12 R L L L R R L = place it on the left R = place it on the right = leave it off 

Imediat, ne confruntăm cu problema că „nu punem același număr de Dacă aveți șapte bile pe o parte și una pe cealaltă, desigur, cântarul se va înclina în lateral cu șapte bile (cu excepția cazului în care ciudata dvs. bilă este ridicol de grea, dar să nu ne distrați că scenariu). Deci, trebuie să inversăm câteva dintre aceste configurații, astfel încât să „punem patru pe fiecare parte pentru fiecare cântărire. Cu unele încercări și erori, putem obține ceva de genul acesta:

 Normal Inverse Ball 1 2 3 1 2 3 1 L R 2 L R 3 R L 4 L R R L 5 R L L R 6 L R R L 7 R R L L 8 L L R R 9 L L R R 10 R R L L L R 11 R L R L R L 12 L R R R L L 

Deci, programul nostru final de cântărire a bilelor este după cum urmează:

Weighing 1: 1 4 8 12 / 5 7 10 11 Weighing 2: 2 6 9 11 / 4 7 10 12 Weighing 3: 5 8 9 10 / 3 6 11 12 

Iar rezultatele sunt interpretate ca atare:

==L : 3L L== : 1H R== : 1L ==R : 3H L=L : 8H R=L : 5H =L= : 2H L=R : 5L R=R : 8L =LL : 9H LL= : 7L RL= : 4L =LR : 6H LLR : 10L RLL : 12L =R= : 2L LR= : 4H RLR : 11H =RL : 6L LRL : 11L RR= : 7H =RR : 9L LRR : 12H RRL : 10H = : scale balanced L : scale tipped to the left R : scale tipped to the right nL : ball n is light nH : ball n is heavy 

Astfel, am creat o schemă de cântărire în care fiecare cântărire este complet predeterminată în prealabil, care încă reușește să determine ce bilă este cea ciudată și dacă este mai ușoară sau mai grele.

S-ar putea să observați că nu am folosit „div id =” 4d09335b53 „>

Unele dintre răspunsurile existente la această întrebare străveche sunt excelente, dar există un răspuns celebru care Cred că merită menționat aici. Provine dintr-un articol din Eureka , revista anuală a societății matematice studențești a Universității din Cambridge, scrisă de CAB Smith sub pseudonimul „Blanche Descartes”.

Are două caracteristici foarte frumoase. Primul este că este o soluție „neramificabilă”: nu trebuie să schimbați ceea ce faceți la cântăririle ulterioare, în funcție de rezultatele celor anterioare. Al doilea este că, odată ce ați „văzut-o, este aproape imposibil să uitați.

Soluția lui Smith este scrisă în întregime în versuri și include o explicație a modului în care funcționează totul, dar voi cita doar răspunsul actual. „F” iată protagonistul nostru, profesorul Felix Fiddlesticks, a cărui mamă i-a cerut ajutor cu puzzle-ul. Am făcut câteva modificări minuscule la formatarea originală.

F așeză monedele într-un rând
Și a scris pe fiecare câte o literă, deci,
Pentru a forma cuvintele: F AM NOT LICKED
(Un ideea din creierul său făcuse clic.)

Și acum mama lui îi va cere:
„MA, DO / LIKE
ME TO / FIND
FAKE / COIN!”

Fiecare dintre cele trei linii ale ordinului F descrie o cântărire.Când le-ați făcut pe toate, rezultatele determină în mod unic ce monedă este falsă și în ce mod.

Comentarii

• +1. este o versiune înfrumusețată a răspunsului Joe Z ‘

Am petrecut ceva timp lucrând la acest puzzle după ce a apărut pe „Brooklyn Nine-Nine” (dacă doriți, puteți vedea căpitanul Holt descriind puzzle-ul aici ) și am scris aici o soluție detaliată, ilustrată: Soluția Island of Tyreses . În acest versiune specială Încerc să găsesc un insular, Diffy, care este mai greu sau mai ușor decât ceilalți 11 insulari.

Lecții

Soluția finală ia în considerare două lucruri de la care am învățat încercări anterioare:

1. Într-un grup de patru, îl pot identifica pe Diffy în două cântăriri.

   A. În primul rând, am stabilit doi insulari din grup împotriva a doi cunoscut non-Dif fys. Dacă vedeta se înclină, știu că Diffy este unul dintre aceste două. Dacă vedeta rămâne uniformă, știu că Diffy este unul dintre celelalte două.

   B. Acum, selectez una dintre cele două rămase posibile – Diffys și îl pun împotriva unui non-Diffy cunoscut. Dacă cântarul se înclină, l-am găsit pe Diffy. Dacă placa rămâne uniformă, știu că Diffy este ultimul insulă rămasă.

   C. Alternativ, dacă ferăstrăul se înclină în Pasul A și doriți să știți dacă DIffy este greu sau ușor, puteți observa direcția de la Pasul A și puteți pune cele două posibile Diffys rămase pe scara opusă. Dacă drujba se înclină în aceeași direcție ca la Pasul A, atunci Diffy este cel care se află încă pe aceeași parte ca în timpul Pasului A. În caz contrar, dacă orientarea drujbei se schimbă, Diffy se află pe cealaltă parte.

2. Într-un grup de trei, îl pot identifica pe Diffy într-o singură cântărire, atâta timp cât am informații direcționale. Voi descrie acest lucru în detaliu în secțiunea Use # 3.

Soluție

Din cauza lecției nr. 1, pot împărți patru insulari înainte de a verifica restul. Dacă Diffy se află în acel grup de patru, prima cântărire va ieși chiar și acum îl pot identifica dintre cele patru cu cele două mișcări rămase ale mele. Dacă Diffy nu se află în acel grup de patru, acum am patru insulari pe care îi pot exclude și, de asemenea, îi pot folosi pentru a-mi tară gaterul.

Deci, pentru prima mea utilizare a gaterului, am cântăriți cei opt insulari rămași unul cu celălalt, cu patru pe fiecare parte.

Use # 1

Mi-am prezentat deja planul în cazul în care prima utilizare a gaterului se pare, deci ce urmează dacă se dovedește ciudat? Aici intervine geniul.

Acum am câteva „informații direcționale”. De acum înainte voi suna pe oricare direcție înclinată de ferăstrăul înclinat în Utilizarea 1 „Direcția 1 ″ sau„ D1 ″ pe scurt. Știu că, dacă Diffy este greu, el este din partea drujbei care a coborât și, dacă Diffy este ușor, este din partea drujbei care a urcat. Dacă îl mut pe Diffy, ferăstrăul va schimba orientarea! Nu are de ales, deoarece Diffy, și numai Diffy, determină înclinarea ferăstrăului. De asemenea, amintiți-vă de lecția nr. 2, am informații direcționale și o mișcare după cea curentă, așa că pot scoate în total trei posibile Diffys înainte de următoarea utilizare a ferăstrăului. Va trebui să folosesc unul dintre insularii pe care i-am exclus în Utilizarea 1 pentru a menține trei insulari pe fiecare parte.

Utilizați # 2

Dacă Use # 2 ne oferă o ferăstrău uniform, îl putem găsi pe Diffy în cele trei pe care le-am eliminat, dar dacă nu, trebuie să fim atenți spre direcția în care se mișcă ferăstrăul. S-a mișcat la fel ca înainte, direcția 1 sau a schimbat orientarea în direcția 2? Următoarea noastră alegere se va baza pe răspuns! Dacă s-a deplasat în direcția 1, atunci știm că Diffy nu este unul dintre insularii care au schimbat părțile pentru utilizarea nr. 2. Dacă drujba s-a deplasat în direcția 2, atunci Diffy este unul dintre comutatoarele laterale. Oricum ar fi, l-am făcut să fie unul din trei sau doi. Utilizarea # 3 este puțin greu de generalizat, deoarece este diferită pentru fiecare posibilitate.

Utilizați # 3

În cazul în care am un grup de trei insulari Diffy posibili, doi dintre acei insulari au fost de aceeași parte în timpul Utilizării nr. 1, când drujba s-a mutat în D1. Dacă așez unul dintre acești insulari pe fiecare parte a ferăstrăului și ferăstrăul se mută din nou în D1, atunci știm că Diffy este insularul pe partea originală. Dacă drujba se deplasează în D2, atunci știm că Diffy se află pe partea opusă a drujbei. Dacă vedeta rămâne uniformă, știm că Diffy este al treilea membru al grupului.

Toate cartografiate

Comentarii

• Această soluție este greșită pentru această întrebare.Este acceptabil numai dacă cer să-l identifice pe Diffy, dar nu dacă este mai ușor sau mai greu (vezi Even – Even – Chiar și în diagrama ta, L nu a fost ponderat :)) Din nou, în acest caz putem rezolva puzzle-ul cu 13 oameni.

Aceasta este o rescriere de R. Allen Gilliam de la Soluția lui Jared Anderson dintr-o altă versiune a acestui puzzle pe acest site. Poate că „funcționează mintea mea, dar acest lucru pare mult mai ușor de înțeles.

Numerați bărbații (sau monedele sau bilele) de la 1 la 12.
Cântăriți 1 2 3 4 față de 5 6 7 8.
Dacă „sunt la fel, atunci omul diferit este 9 10 11 sau 12. Treceți la I de mai jos.
Dacă sunt diferite, notați dacă 1 2 3 4 este mai greu sau mai ușor.

Se cântărește 1 2 3 5 față de 4 10 11 12. (Observați că știm că 10 11 și 12 nu sunt diferite.) Există trei posibilități:
(1) Dacă 1235 are același lucru diferență (mai grea sau mai ușoară) ca 1234, atunci diferita trebuie să fie 1 2 sau 3 și are aceeași diferență (mai grea sau mai ușoară) ca 1234. Treceți la II de mai jos.
(2) Dacă 1235 echilibrează 4 10 11 12 , atunci diferitele trebuie să fie 6 7 sau 8 (cele pe care le-am eliminat) și să aibă aceeași diferență (mai grea sau mai ușoară) ca 5678. Treceți la II de mai jos.
(3) Dacă 1235 are acum diferența opusă (mai grea sau mai ușor) ca 1234, atunci fie 4, fie 5 este diferit. Fie 4 are aceeași diferență ca 1234 (mai greu sau mai ușor), fie 5 are aceeași diferență ca 5678 (mai greu sau mai ușor). Deci, cântărim pur și simplu 4 față de 1. Dacă sunt „la fel, atunci 5 este diferit. Dacă sunt diferiți, atunci 4 este diferit.

I. Găsirea careia dintre 9 10 11 12 este diferită cu două cântăriri atunci când nu știi dacă diferitele sunt mai grele sau mai ușoare:

Cântărește 9 contra 10. Două posibilități:
(1) Dacă „sunt diferite, atunci trebuie să fie 9 sau 10. Cântărește 9 și 11. Dacă sunt” la fel, 10 este diferit. Dacă sunt „diferiți, este” s 9.
(2) Dacă „sunt la fel, atunci trebuie să fie 11 sau 12. Cântărește 9 și 11. Dacă sunt” la fel, 12 este diferit. Dacă sunt „diferiți, este” s 11.
(Dacă este ” s 12, nu vom ști dacă este mai greu sau mai ușor, deoarece nu l-am cântărit niciodată. L-am găsit prin proces de eliminare. El trebuie să fie diferit, deoarece toți ceilalți cântăresc la fel.)

II. Găsirea careia dintre trei bărbați este diferită cu o cântărire atunci când știți dacă cel mai diferit este mai greu sau mai ușor:

Redenumiți cei trei bărbați 1 2 3. Cântăriți 1 contra 2. Două posibilități:
(1) Dacă „sunt la fel, 3 este diferit.
(2) Dacă sunt” diferiți, oricare dintre aceștia are diferența corectă rence (mai greu sau mai ușor) este diferit.

Aceasta pare a fi cea mai simplă soluție pentru 12 articole, dacă trebuie doar să găsiți articolul cu greutate diferită, așa cum cer unele versiuni ale puzzle-ului. Soluția lui Joe Z poate găsi elementul și diferența cu 12 articole și diferitele articole cu 13 articole. Găsirea articolului diferit și diferența cu 14 articole pare matematic imposibilă cu 3 cântăriri deoarece există doar 27 de rezultate posibile cu 3 cântăriri și există 28 de posibilități cu 14 articole. Dar o variantă a soluției lui Joe Z ar putea găsi diferitele elemente din 13 și dacă este mai greu sau mai ușor? Dacă da, atunci găsirea diferitului, dar nu diferența cu 14 Obiectele ar fi posibile. Găsirea diferitului, dar nu diferența dintre 15 ar fi imposibilă, deoarece puteți lăsa un singur obiect din cântărire, în timp ce puteți identifica diferitul obiect, iar dacă cântăriți obiectul, atunci veți să știm dacă este mai ușor sau mai greu, ceea ce știm că este matematic imposibil cu 14 itemi.

Această soluție este similară cu cel oferit de R Gilliam dar diferă în al doilea pas.Divi de bilele în 3 grupe a câte 4 bile fiecare. Să le numim g1 g2 și g3 alegeți două grupuri și cântăriți-le unul împotriva celuilalt. Unul din cele două scenarii este adevărat. Tigaile sunt echilibrate: cele 8 bile pe care tocmai le-ați cântărit au greutatea corectă. Tigaile sunt dezechilibrate: 4 bile pe care nu le-ați cântărit au toate greutatea corectă.

Oricum, la sfârșitul primei cântăriri aveți cel puțin 4 bile din greutatea corectă.

Pentru a doua cântărire o parte a cratiței ar trebui să aibă 3 bile de greutatea corectă. Dacă cratițele au fost dezechilibrate după prima cântărire puneți 3 bile dintr-una din cratițele neechilibrate în cealaltă tigaie. Dacă cratițele au fost echilibrate după prima cântărire puneți 3 din 4 bile care au așezat prima cântărire în cealaltă tigaie.

Dacă cratițele sunt dezechilibrate după această cântărire, veți ști dacă ciudatul este mai greu sau mai ușor, deoarece una dintre cratițe conține bile de greutatea corectă. Dacă tigaile sunt echilibrate, a 4-a bilă care a fost lăsată afară este cea ciudată și puteți afla dacă este mai grea sau mai mare ghter prin cântărirea acestuia cu o bilă cu greutate corectă.

Dacă tigaile sunt dezechilibrate, știți dacă ciudatul este mai greu sau mai ușor. Scoateți 2 din cele 3 bile din tigaie (care nu conține bilele de greutate corecte) și cântăriți-le una împotriva celeilalte. Știți deja dacă ciudatul este mai greu sau mai ușor. Dacă tigaile sunt dezechilibrate, alegeți tigaia care se potrivește cu direcția de greutate a ciudatului. dacă tigaile sunt echilibrate a treia minge este cea ciudată.

De asemenea, o puteți rezolva folosind 4 grupuri de 3 bile . Cântărește 3 contra 3 și dacă se echilibrează, poți ține acele 6 bile deoparte ca cunoscute-egale. Dacă nu echilibrează, știi că mingea ciudată se află în acel grup de 6. Apoi, cântărește 3 dintre cei cunoscuți egali cu oricare dintre cele 2 grupuri de 3 necunoscute. Dacă se echilibrează, cea ciudată este în finală grup de 3. Dacă nu se echilibrează, știi că cel ciudat este încă pe scară. În cele din urmă, folosind ultimul grup de 3 bile care este necunoscut și inegal, puneți una pe fiecare capăt și țineți-o pe a treia deoparte. Dacă cântarul se echilibrează, știi că mingea singură pe care ai ținut-o deoparte este bila impară. Dacă scara nu se echilibrează, știi că bila impar este pe scară. Pentru a determina bila impar și dacă este mai grea sau mai ușoară, trebuie să observi dacă grupul necunoscut a fost mai greu sau mai ușor decât cel cunoscut-egal grupuri. Dacă au fost mai grele, atunci mingea singuratică este mai grea.

Comentarii

• ” Pentru a determina mingea ciudată și dacă este ‘ mai grea sau mai ușoară, trebuie să observați dacă grupul necunoscut era mai greu sau mai ușor decât grupurile cunoscute-egale. ” Dacă toate cele trei grupuri pe care le-ați cântărit în primele două cântăriri au fost egale, atunci nu aveți ‘ aceste informații.

(1) Plasați bilele 6 și 6 pe scară. Scoateți câte una din fiecare parte până când echilibrul cântarului.

(2) Luați ultimele două îndepărtate (sau două rămase dacă scara nu este echilibrată niciodată) și așezați pe o parte (partea A) și două bile egale ponderate pe cealaltă (partea B). Dacă partea A este mai mică, ciudatul este mai greu, dacă partea B este mai mică, ciudatul este mai ușor. Scoateți una din fiecare parte. Dacă echilibrul balanței, mingea scoasă din partea A este ciudată, dacă nu mingea care rămâne pe partea A este.

Comentarii

• Aceasta necesită la șapte cântăriri. Problema vă cere să o faceți în trei.
• @nosun – Bine ați venit la puzzling.se. Doar pentru a vă anunța, răspunsurile incorecte sunt uneori votate în jos pentru a le separa de răspunsurile bune. Acest lucru nu este destinat să vă descurajeze să oferiți răspunsuri bune la alte întrebări.