În imaginea Heisenberg (folosind dimensiuni naturale): $$ O_H = e ^ {iHt} O_se ^ {- iHt}. \ tag {1} $$ Dacă Hamiltonianul este independent de timp, atunci putem lua o derivată parțială a ambelor părți în raport cu timpul: $$ \ partial_t {O_H} = iHe ^ {iHt} O_se ^ {- iHt} + e ^ {iHt} \ partial_tO_se ^ {- iHt} -e ^ {iHt} O_siHe ^ {- iHt}. \ tag {2} $$ Prin urmare, $$ \ partial_t {O_H} = i [H, O_H] + (\ partial_tO_s) _H \,, \ tag {3} $$ dar acest lucru nu este echivalent cu ceea ce listează multe manuale ecuația Heisenberg a mișcării. În schimb, afirmă că $$ \ frac {d} {dt} {O_H} = i [H, O_H] + (\ partial_tO_s) _H. \ tag {4} $$ De ce, în general, este adevărat și nu afirmația anterioară? Sunt doar pedant cu utilizarea derivatelor parțiale și totale?
Comentarii
- De ce ați aplicat derivate parțiale? În formalismul Heisenberg, kets de stat sunt fixate în timp și operatorii variază în timp. Deci, puteți lua derivatul de timp total al operatorului pe LHS.
- Ne pare rău, nu pot ' să vă înțeleg logica. Aici $ O_s $ este permis să varieze în funcție de timp, la fel și $ O_H $, dar este foarte clar că pe LHS există un total timp derivat de $ O_H $ și există un parțial timp derivat care apare pe RHS. De ce ' nu sunt ambele derivate parțiale în timp?
- @ I.E.P. În ec. (2), În partea stângă, de ce nu ' este $ \ frac {d \, O_H} {dt} $?
- @IEP, În partea stângă, veți utiliza $ \ frac {d \, O_H} {dt} $, iar derivatul total poate fi exprimat ca suma derivatelor parțiale.
- @IEP Cred că aici, ceea ce vă lipsește este diferența matematică a derivatei totale și a derivatei parțiale. În stânga $ O_H $ ca funcție de $ t $, de aici derivată totală, în dreapta, $ O_H $ ca funcție compusă prin relația (1), de aici derivată parțială pentru fiecare funcție componentă.
Răspuns
Cu unele definiții pentru a face dependențele de timp explicite, ecuația dvs. (4) poate avea sens. Să luăm următoarele:
Fie $ O_s $ un operator în funcție de timp și de alți parametri $ O_s: \ mathbb {R} \ times S \ rightarrow \ mathrm {Op} $, unde $ S $ este spațiul celorlalți parametri și $ \ mathrm {Op} $ este spațiul operatorilor din spațiul Hilbert. Fie $ \ phi: \ mathbb {R} \ times \ mathrm {Op} \ rightarrow \ mathrm {Op} $ denotă evoluția în timp a operatorilor din imaginea Heisenberg, dată de $ \ phi_t (O) = e ^ {iHt} Oe ^ {- iHt} $.
Rețineți că $ (\ partial_t \ phi) _t (O) = i [H, \ phi_t (O)] $ și $ \ partial_O \ phi = \ phi $ (deoarece $ \ phi $ este liniar în $ O $). Acum, dat un parametru $ p \ în S $ putem defini funcția timpului: $ O_H: \ mathbb {R} \ rightarrow \ mathrm {Op} $ cu $ O_H (t) = \ phi_t (O_s (t, p)) $. Funcția noastră $ O_H $ este o un singur parametru, deci are sens să luați derivata totală: \ begin {align} \ frac {dO_H} {dt} (t) = & (\ partial_t \ phi ) _t (O_s (t, p)) + (\ partial_O \ phi) _t \ left [(\ partial_tO_s) (t, p) \ right] \\ = & i [ H, \ phi_t (O_s (t, p))] + \ phi_t \ left [(\ partial_tO_s) (t, p ) \ right] \\ = & i [H, O_H (t)] + e ^ {iHt} (\ partial_tO_s) (t, p) e ^ {- iHt}, \ end {align}
unde în primul pas am aplicat regula lanțului și în celelalte, egalitățile pe care le-am avut deja.
Răspuns
Nu, nu sunteți „doar” pedant cu utilizarea greșită a derivatelor parțiale: ecuațiile (2) și (3) sunt greșite. Pur și simplu nu ați aplicat corect definițiile, așa cum a subliniat @WeinEld. (S-ar putea să vă fi scutit de durere dacă ați ilustrat chiar întrebarea dvs. pentru un sistem simplu, cum ar fi SHO.)
$$ O_H \ equiv e ^ {iHt} O_se ^ {- iHt}, $$ deci pentru $$ O_S = f (x, p; t) \ qquad \ Longrightarrow \ qquad O_H = f (x (t), p (t); t), $$ unde $ x (t) = e ^ {iHt } xe ^ {- iHt} $ și, de asemenea, pentru p .
Derivata în timp a $ O_H $ constă din derivata parțială wrt t după punct și virgulă, plus derivatul convectiv datorită fluxului de x și p în imaginea Heisenberg, $$ \ frac {\ partial O_H} {\ partial x (t)} \ dot {x} + \ frac {\ partial O_H} {\ partial p (t)} \ dot {p} = i [H, O_H] = e ^ {iHt} (i [H, O_S]) e ^ {- iHt}. $$ (Dovediți acest lucru! Dacă nu ați făcut-o, discuția este pură.)
Derivatul parțial este $$ \ frac {\ partial O_H} {\ partial t} = e ^ {iHt} \ frac {\ partial O_S} {\ partial t} e ^ {- iHt} = \ left (\ frac {\ partial O_S} {\ partial t} \ right) _H. $$ (Unii exprimă acest lucru ca $ \ frac {\ partial O_H} {\ partial t} $, având încredere că cititorul va înțelege corect diferențierea evidentă doar a argumentului după punct și virgulă, însă chiar această întrebare le poate face gândiți-vă de două ori . Acum, pentru a fi sigur, deoarece $ O_S $ are un derivat convectiv care dispare, $ dO_S / dt = \ partial O_S / \ partial t $, așa cum este ridicat într-un comentariu deci aceasta este o problemă.)
În orice caz, punând cele două piese laolaltă rețeaua convențională $$ \ frac {d} {dt} {O_H} = i [H, O_H] + (\ partial_tO_s) _H. $$
Monitorizați comportamentul evident al unui observabil simplu, cum ar fi $ O_S = tx $ în SHO, $ H = (p ^ 2 + x ^ 2) / 2 $, celebrul rigid rotație asemănătoare clasică în spațiul de fază, $ x (t) = x \ cos t + p \ sin t $, $ p (t) = p \ cos t – x \ sin t $; astfel $ O_H = tx (t) $. Prin urmare $ dO_H / dt = t p (t) + x (t) $: acum apreciați eficiența și diferențele imaginilor respective. (Cum ar fi $$ dO_H / dt = \ exp (itH) (it [p ^ 2/2, x] + x) \ exp (-itH) = e ^ {it ~ [(x ^ 2 + p ^ 2) / 2,} ~ (tp + x) ~, $$ cu fizicienii „evitarea obișnuită a notării hărții ad a matematicianului.)
S-ar putea să vă regăsiți gândindu-ne la imaginea S ca la un cadru eulerian și la imaginea H ca la un cadru lagrangian, în mișcare.