Am văzut această enigmă făcând rundele pe internet: https://ed.ted.com/lessons/can-you-solve-the-frog-riddle-derek-abbott
În rezumat; Există o populație de broaște cu mascul: femelă care apare în proporție de 50:50. Există două pete de pământ lângă tine, una conținând o singură broască, cealaltă conținând două broaște. Supraviețuirea ta depinde de găsirea unei broaște femele într-unul dintre aceste două patch-uri, dar nu reușești decât să faci o singură încercare. Nu puteți spune care broaște sunt care în avans, cu excepția faptului că știți că una dintre broaștele din plasture cu două broaște înăuntru este masculin.
Răspunsul dat la enigmă este că șansele broaștei unice a fi femelă este de 50%, dar șansele ca una dintre cele două broaște să fie femele este de 2/3 (67%). Explicația este că există patru combinații posibile de perechi de femei de sex masculin, una este exclusă deoarece știm că o broască este de sex masculin, prin urmare 2/3 combinații în care găsim o broască de sex feminin în pereche și 1/3 în care nu avem „ / p>
Probabilitățile mi se par greșite; poate cineva să clarifice motivul pentru care acesta este cazul?
Bănuiesc că există o subtilitate în cadrul întrebării care îmi lipsește .
Pe măsură ce citesc problema, avem de ales dintre două opțiuni, ambele fiind pur și simplu 50:50 șanse dacă o singură broască este mascul sau femelă. Nu știu care broască din pereche este cu siguranță masculină nu ar trebui să aibă niciun efect asupra probabilității celeilalte.
Dacă mă înșel, chiar vreau să înțeleg de ce!
Comentarii
- Poți să refaci ghicitul aici, astfel încât cititorii să nu ‘ nu trebuie să urmați link-ul (care, de asemenea, se poate rupe în viitor) și apoi să urmăriți un videoclip?
- Mi se pare că trebuie să faceți mai puternic presupuneri pentru a obține orice răspuns. De ex., , presupunând că broaștele masculi scârțâie numai în prezența unei femele, veți obține un singur răspuns; dar presupunând că au tendința de a scârțâi în prezența unui alt mascul, ați obține un răspuns diferit (și ați lua o decizie diferită). Sau dacă femelele nu sunt gregare și tind să evite alte broaște? Ați lua încă o a treia decizie. Deși ‘ intenționează în mod clar să ignorați toate aceste considerente, contemplarea acestora vă poate ajuta să înțelegeți de ce șansele pe care le calculați nu sunt neapărat 50:50.
- Răspunsul la ghicitoare TED-Ed broască este greșit. Există un răspuns foarte detaliat aici: duckware.com/tedfrog
Răspuns
Să ne uităm la perechea de broaște. Broaștele masculine sunt identificate grațând în videoclip.
Așa cum s-a explicat în videoclip, înainte de a auzi orice grațat, există 4 rezultate la fel de probabile, având în vedere 2 broaște:
- Broasca 1 este masculin, broasca 2 este bărbat
- Broasca 1 este femeie, broasca 2 este bărbat
- Broasca 1 este bărbat, broasca 2 este Femelă
- Broasca 1 este feminină, Broasca 2 este femeie
Făcând presupunerile despre bărbați și femele care apar în mod egal și independent, spațiul nostru eșantion este de $ \ {(M, M), (F, M), (M, F), (F, F) \} $ și avem probabilitate de $ 1/4 $ pentru fiecare element.
Acum, odată ce auzim scârțâitul provenind din această pereche, știm că cel puțin o broască este bărbat. Astfel, evenimentul $ (F, F) $ este imposibil. Avem apoi un spațiu de eșantionare nou, redus indus de această condiție: $ \ {(M, M), (F, M), (M, F) \} $. Fiecare posibilitate rămasă este încă la fel de probabilă, iar probabilitățile toate evenimentele adăugate trebuie să fie de 1 $. Deci, probabilitatea fiecăruia dintre aceste trei evenimente în noul spațiu eșantion trebuie să fie de $ 1/3 $.
Singurul eveniment care se termină prost pentru noi este $ (M, M) $, deci există un $ 2 / 3 $ șansă de supraviețuire.
Mai formal, definiția probabilității condiționale spune:
$$ P (A | B) = \ frac {P (A \ capital B)} {P (B)} $$ Deci, dacă $ A $ este evenimentul în care este prezentă cel puțin o femeie și $ B $ este evenimentul în care este prezent cel puțin un bărbat, avem: \ begin {align} P (\ text {F dat cel puțin 1 M}) & = \ frac {P (\ text {F și cel puțin 1 bărbat})} {P (\ text {la minimum 1 M})} \\ & = \ frac {P (\ text {1 M și 1 F})} {P (\ text {1 M sau 2 M}) } \\ & = \ frac {P [(M, F), (F, M)]} {P [(M, M), (F, M), ( M, F)]} \\ & = \ frac {1/2} {3/4} = 2/3 \ end {align}
This este într-adevăr aceeași procedură pe care am motivat-o ca mai sus.
Comentarii
- Bună mb7744, mulțumim pentru răspunsul rapid. Înțeleg răspunsul așa cum este prezentat, totuși acest lucru mi se pare ca o dublă numărare, motiv pentru care ‘ mă străduiesc să accept răspunsul. (M, F) = (F, M), cu siguranță și dacă nu, de ce?
- (M, F) și (F, M) nu sunt același eveniment. Dacă o broască se numește Alex și cealaltă broască se numește Taylor, Alex ar putea fi femela și Taylor bărbat SAU invers. Alex și Taylor probabil nu ar fi de acord că această distincție nu are sens. Acum, ai putea vizualiza cele două evenimente ca echivalent.Cu toate acestea, atunci cele trei rezultate (M, M), (F, F) și (M, F) sunt nu la fel de probabile. Împerecherea mixtă este de două ori mai probabilă. Acesta este același motiv pentru care este mult mai probabil să aruncați un 7 pe o pereche de zaruri decât un 2, chiar dacă vedeți toate modurile diferite de a arunca 7 ca echivalent.
- Bună, cred acest lucru ajută la clarificarea locului în care ‘ nu ‘ obțin ‘ enigma. Dacă este posibil să reiterez problema pe măsură ce ‘ o văd, înlocuiți broasca cu o aruncare de monede (sau o aruncare de zaruri). Dacă ar trebui să aruncați două monede și să excludeți anumite combinații, aș accepta complet răspunsul. Cu toate acestea, în analogia ghicitorului ‘, am citit acest lucru deoarece primim o singură aruncare de monede. Celălalt a fost deja făcut și nu poate schimba rezultatul celuilalt. Necunoscând care dintre cele două rezultate a fost deja determinat, nu ne ‘ ne permite să aruncăm două monede și să alegem ce rezultate să includem sau să excludem. Deci, folosind analogia aruncării zarurilor …..
- … trebuie să arunci două zaruri, dar necunoscut pentru tine, un zar ‘ a fost deja hotărât. Ai doar 1/6 șanse să faci orice număr 7-12. Mă înșel aici?
- Dacă ne uităm la toate perechile de rezultate la fel de probabile la lansarea zarurilor, ordinea contează . Imaginați-vă că o moară este albastră și cealaltă roșie, iar noi ne scriem rezultatele cu moartea albastră mai întâi și cu moartea roșie ultima. Apoi rezultatul (1,2) nu este același cu rezultatul (2,1). Și, ca și până acum, probabilitatea de a roti un ” 1 și un 2, indiferent de ordinea ” va fi de două ori mai mare decât, spunem , rulând o pereche de 2s. Pentru ultima dvs. întrebare, presupun că ați intenționat să spuneți că un rezultat ‘ a fost decis 6 . În acest caz, aveți dreptate.
Răspuns
Deoarece matematica este deja prezentată, voi încerca să furnizați o anumită intuiție. Problema este că a ști că cel puțin o broască este mascul este diferit de a ști că orice broască specială este masculină. Primul caz conține mai puține informații și acest lucru ne sporește efectiv șansele față de situația din urmă .
Apelați broaștele la stânga și la dreapta și să presupunem că ni se spune că broasca dreaptă este masculină. Apoi am eliminat doi evenimente posibile din spațiul eșantion: evenimentul în care ambele broaștele sunt femele și evenimentul în care broasca stângă este masculă și broasca dreaptă este femeie. Acum probabilitatea este cu adevărat o jumătate și nu contează pe care o alegem. Același argument este adevărat dacă aflăm că broasca stângă este mascul.
Dar dacă ni se spune doar că cel puțin o broască este mascul, ceea ce se întâmplă când auzim scârțâitul, atunci nu putem eliminați cazul în care broasca stângă este masculă și broasca dreaptă este femeie. Putem elimina doar evenimentul în care ambele sunt femei, ceea ce face ca cel puțin una dintre femei să fie mai probabilă decât setarea anterioară.
Cred că motivul pentru care acest lucru este confuz este că, în mod natural, credem că învățăm că cel puțin unul este bărbat ar trebui să ne facă să nu fim înclinați să alegem perechea de broaște. Este adevărat că aceste informații fac mai puțin probabil ca cel puțin una să fie de sex feminin, dar recunoaștem, de asemenea, că au existat șanse complete de trei sferturi de cel puțin o femeie înainte de a afla nimic. „Este ambiguitatea informațiilor pe care le primim, ceea ce le face astfel încât ar trebui să preferăm în continuare cele două broaște decât una.
Comentarii
- Mulțumesc dsaxton, în mod intuitiv am optat pentru cele două broaște, dar raționamentul meu mi-a spus că ambele alegeri sunt la fel de probabile.
- Mulțumesc dsaxton, banuiesc că ‘ este expresia enigmei care mă aruncă. După cum am întâlnit, cele două broaște nu se disting (fără informații suplimentare), așa că nu văd distincția (M, F), (F, M) ca fiind semnificativă în acest sens context. Nu sunt convins că raționamentul meu este defect, dar îmi cer scuze dacă sunt puțin cam lent.
- Mulțumesc din nou dsaxton. După cum sa menționat mai sus, eu ‘ am găsit închiderea mentală pe care o aveam și pot vedea acum de ce răspunsul este răspunsul corect (și întrebarea la care încercam să răspund). Mulțumesc din nou pentru ajutor, văzând că răspunsul nu este același lucru cu a avea ajutorul pentru a o înțelege cu adevărat.
Răspuns
Intuiția ta este corectă în acest caz. Pe măsură ce se afirmă problema, șansele de supraviețuire sunt de 50%. Videoclipul indică incorect spațiul problemei pe baza informațiilor pe care le avem și, prin urmare, ajunge la o concluzie incorectă. Spațiul corect pentru probleme conține 8 condiții și este după cum urmează.
Avem două broaște pe un butuc, iar unul dintre ei a scârțâit care sunt posibilitățile noastre?(M desemnează bărbat, F desemnează femeie și c desemnează excitat, prima poziție este stângă, a doua poziție este dreaptă)
[ [Mc, M], [M, Mc], [Mc, F], [M, Fc], (X No Male croak) [Fc, M], (X No Male croak) [F, Mc], [Fc, F], (X No Male croak) [F, Fc], (X No Male croak) ] Fiecare caz este la fel de probabil bazat pe informațiile pe care le avem, atunci când eliminăm condițiile, având în vedere știința că o broască mascul a scârțâit. Constatăm că există 4 rezultate de așteptat. Broasca bărbătească stângă croacă lângă o broască masculină dreaptă care tăcea. Broasca masculă dreaptă croacă lângă o broască masculină stângă care tăcea. Sau era o broască masculă care scârțâia asociată cu o singură broască femelă în ambele direcții. Pentru o modalitate intuitivă de a înțelege acest lucru, cele două broaște masculine au șanse mai mari de două ori mai mari decât broasca bărbătească asociată cu o femelă, așa că trebuie să o cântărim în mod corespunzător. prin broască care cârcăiește (C) și broască care nu cârâie (N). Deoarece broasca care scârțâie este 100% bărbat, o puteți elimina din căutare, deoarece nu are nicio șansă să vă ajute să supraviețuiți. În timp ce autorul intenționa să creeze o „problemă monty hall”, ei au creat din greșeală un „paradox de băiat sau fată”.
Următoarele întrebări dau rezultate diferite:
Având în vedere că există un bărbat, care este probabilitatea ca celălalt să fie feminin?
Având în vedere că un broască mascul este probabilitatea ca cealaltă să fie feminină?
Știu mai multe informații în al doilea caz
Răspuns
Un răspuns mai clar, deoarece anterior a fost prea lung și nu era ușor de înțeles.
Rezultatele posibile sunt diferite, deși am folosit aceleași litere. Pentru a clarifica spațiul eșantionului, voi descrie rezultatele posibile
MM -> masculul este în stânga „-” Un bărbat aleatoriu în dreapta „
MF -> „Masculul este în stânga” – „O femeie aleatorie în dreapta”
MM – -> „Masculul este în dreapta” – „Un bărbat aleatoriu în stânga”
MF -> „Bărbatul este în dreapta” – „O femeie aleatorie în stânga”
Comentarii
- Numărați dublu MM caz. Puteți ‘ nu doar să enumerați toate scenariile posibile fără a lua în considerare dacă ‘ ajungeți la același scenariu prin căi diferite.
Răspuns
Problema pe care o am cu această problemă este că soluția pare să folosească reguli diferite pentru ce consideră un posibil rezultat pentru cele două broaște fiind mascul și femelă, și mascul și mascul.
Perechea F / M și perechea M / F sunt diferite, deoarece nu știm dacă prima broasca sau a doua broască este mascul, deci F / M și M / F sunt două posibilități separate, chiar dacă rezultatul se ridică încă la „o broască femelă, un broască masculină”.
Dar M / M perechea este considerată doar un posibil rezultat, chiar dacă ar trebui să se aplice aceeași logică: nu știm care broască este cea care a scos sunetul, așa că oricare broască ar putea fi cea pe care am auzit-o, iar cealaltă ar putea fi tot mascul , nu s-a întâmplat să scârțâie.
Commen ts
- Acest lucru are mai mult natura unui comentariu decât un răspuns la enigma „. ” Vă rugăm să îl modificați într-un comentariu și să ștergeți acest răspuns „. ”
- @DJohnson De fapt, acesta este un răspuns la enigmă, deși răspunsul ulterior de la tomciopp îl explică mai clar.
Răspuns
Nu știu nimic: $ \ {(M, M), (M, F), (F, M), (F, F) \} $ . Trei perechi cu cel puțin o femeie din patru combinații posibile: $ 3/4 $ sau 75 $ \% $
Cunoașterea primului este masculin: $ \ {(M, M), (M, F) \} $ . O pereche cu cel puțin o femeie din două combinații posibile: $ 1/2 $ sau 50 $ \% $
Știind că există cel puțin un bărbat: $ \ {(M, M), (M, F), (F, M) \} $ .Două perechi cu cel puțin o femeie din trei combinații posibile: $ 2/3 $ sau 67 $ \% $
Răspuns
Înainte de a auzi orice scârțâit, există 4 rezultate la fel de probabile, având în vedere 2 broaște:
Broasca 1 este bărbat, Broasca 2 este bărbat
Broasca 1 este femeie, Broasca 2 este bărbat
Broasca 1 este bărbat, Broasca 2 este femeie
Broasca 1 este Femeie, Frog 2 este Femeie
Făcând ipotezele despre bărbați și femele care apar în mod egal și independent, spațiul nostru eșantion este {(M, M), (F, M), (M, F), ( F, F)}, și avem probabilitatea 1/4 pentru fiecare element.
Odată ce auzim scârțâitul provenind din această pereche, știm că cel puțin o broască este mascul. Acest bărbat poate fi la fel de probabil Frog 1 sau Frog 2. Deci, există 2 rezultate la fel de probabile pentru Frog 1:
Frog 1 este mascul
Frog 1 este Random Frog
Făcând ipotezele despre bărbați și femele care apar în mod egal și independent, Random Frog este la fel de probabil să fie un bărbat aleator sau o femeie aleatorie.
P (broasca 1 este masculin aleator dat Random Frog) = P (Frog 1 este Random Female date Frog 1 is Random Frog) = 1/2 /
P (Frog 1 este Random Male și Frog 1 este Random Frog) = P (Frog 1 este Random) Broască) P (Broasca 1 este masculin aleatoriu dată Broasca 1 este broasca aleatorie) = (1/2) (1/2) = 1/4
P (broasca 1 este Feminin aleator și broasca 1 este broasca aleatorie) = P (broasca 1 este broasca aleatorie) P (broasca 1 este femeia aleatorie dată broasca 1 este broasca aleatorie) = (1/2) (1/2) = 1/4
Deci, există 3 rezultate posibile pentru Frog 1:
Frog 1 este bărbat
Frog 1 este mascul aleatoriu
Broasca 1 este feminin aleatoriu
iar probabilitățile sunt:
P (broasca 1 este masculin) = 1/2
P (Broasca 1 este masculin aleator ) = 1/4
P (Frog 1 este o femeie aleatorie) = 1/4
Acum, pentru fiecare rezultat posibil pentru Frog 1, există 2 rezultate posibile pentru Frog 2:
Frog 2 este bărbat
Broasca 2 este broasca aleatorie
Pentru fiecare rezultat posibil pentru broasca 1, Broasca aleatorie este la fel de probabil să fie un mascul aleator sau o femeie aleatorie.
Deci, pentru fiecare posibil rezultat pentru Frog 1, există 3 rezultate posibile pentru Frog 2:
Frog 2 este bărbat
Frog 2 este mascul aleatoriu
Frog 2 este feminin aleatoriu
P (Frog 2 este masculin dat Frog 1 este masculin) = 0
P (Frog 2 este masculin dat Frog 1 este masculin aleator) = 1
P (Frog 2 este bărbat dat Frog 1 este feminin aleatoriu) = 1
P (Frog 2 este masculin aleatoriu dat Frog 1 este masculin) = 1/2
P (Frog 2 este aleator masculin dat Frog 1 este aleator masculin) = 0
P (Frog 2 este aleator masculin dat Frog 1 este aleatoriu feminin) = 0
P (Frog 2 este o femeie aleatorie dată Frog 1 este un bărbat) = 1/2
P (Frog 2 este o femeie aleatorie dată Frog 1 este un bărbat aleator) = 0
P (Frog 2 este Random Female date Frog 1 este Random Fe male) = 0
P (Frog 2 este masculin aleatoriu și Frog 1 este masculin) = P (Frog 1 este masculin) P (Frog 2 este masculin aleatoriu dat Frog 1 este masculin) = ( 1/2) (1/2) = 1/4
P (Broasca 2 este feminină aleatorie și broasca 1 este bărbat) = P (broasca 1 este mascul) P ( Broasca 2 este o femeie aleatorie dată Broasca 1 este bărbatul) = (1/2) (1/2) = 1/4
P (broasca 2 este bărbatul și broasca 1 este masculul aleatoriu) = P (Frog 1 este masculin aleatoriu) * P (Frog 2 este masculin dat Frog 1 este masculin aleatoriu) = (1/4) * 1 = 1/4
P (Frog 2 este masculin și broască 1 este o femeie aleatorie) = P (broasca 1 este o femeie aleatorie) * P (broasca 2 este un bărbat dat Frog 1 este o femeie aleatorie) = (1/4) * 1 = 1/4
Deci, spațiul eșantion este {(masculin, masculin aleatoriu), (masculin, aleatoriu feminin), (masculin aleatoriu, masculin), (aleatoriu feminin, masculin)} și avem probabilitate 1/4 pentru fiecare element.
P (F dat cel puțin 1 M) = P (F și cel puțin 1 mascul) / P (cel puțin 1 M) = P (1 M și 1 F) / P (1 M sau 2 M) = P [( Bărbat, Femeie aleatorie), (Femeie aleatorie, Bărbat)] / P [(Bărbat, Mascul aleator), (Bărbat, Femeie aleatorie), (Bărbat aleator, Bărbat), (Femeie aleatorie, Bărbat)] = (1/2) / (4/4) = 1/2
Comentarii
- Ați copiat și lipit din răspunsul meu și ați eliminat formatarea?
- Ei bine, în primul rând, copierea și lipirea unei părți a altcuiva ‘ s, fără a fi menționat, este inacceptabil. Asta deoparte, dacă credeți că ați ajuns la un rezultat diferit, există o modalitate mai concisă de a explica acest lucru? Ați scris o mulțime de ecuații deconectate fără nicio explicație.
- Nu ‘ nu este literatură, dar este încă nepoliticos. Acum, în ceea ce privește răspunsul tău față de al meu: consider că ai tăi sunt aiurea. Care este semnificația rezultatului ” Frog 2 este Random Frog „?
- Răspunsul dvs. a fost singurul calcularea probabilităților condiționate. Utilizarea acelorași termeni ar putea ajuta la compararea și a vedea care parte este aceeași și care este diferită. Aș putea spune că găsesc și alte răspunsuri fără sens, dar nu le-am spus pentru că ar fi nepoliticos;). Dacă nu înțelegeți sth, puteți jusk să solicitați clarificări. ” Broasca 2 este Broasca aleatorie ” înseamnă că nu este broasca masculă cunoscută ca fiind în pereche ….
- Există două surse de întâmplare, una provenind de la broasca masculină despre care se știe că se află în pereche, cealaltă provenind din populația de broaște. Din moment ce știm că broasca masculă este acolo, incertitudinea este doar despre poziție. Este broasca 1 sau broasca 2? Sau, este în stânga sau în dreapta? Sfatul meu este să utilizați diagrama arborelui pentru a construi spațiul de probă de la zero și să utilizați toate informațiile disponibile.