Știu că prin principiul incertitudinii lui Heisenberg că nu este posibil să se cunoască valorile exacte ale poziției și impulsului unei particule simultan, dar putem ști valorile exacte ale impulsului și vitezei unei particule simultan? Aș crede că răspunsul ar fi nu deoarece, chiar dacă am fi 100% siguri de poziția particulei, am fi complet nesiguri de impulsul particulelor, făcându-ne astfel de asemenea complet nesigur de viteza particulelor. Are cineva vreo perspectivă în acest sens?
Răspuns
Este destul de obișnuit să discutăm cele două extreme ale principiului incertitudinii, sinusoid și funcția delta. Una are o lungime de undă perfect definită, dar nu are o poziție, cealaltă are o poziție perfect definită, dar nu are o lungime de undă.
Cu toate acestea, niciuna dintre aceste forme nu este teribil de fizică pentru funcția de undă a poziției unei particule. s-ar extinde prin tot spațiul, ceea ce este absurd din mai multe motive (inclusiv prezența altor materii). O funcție delta adevărată ar fi la fel de probabil să aibă orice impuls, care ar încălca probabil conservarea energiei. interesant, dar nu relevant din punct de vedere fizic.
Având în vedere întrebarea „Principiul incertitudinii pune o anumită legătură cu impulsul și viteza fiind simultan bine definite?”, răspunsul este nu.
Dat fiind întrebarea „Îmi interzice principiul incertitudinii să măsoară o singură variabilă cu o precizie infinită?”, răspunsul este nu.
Având în vedere întrebarea „Are ceva interzice-mi măsurarea cu precizie infinită? „, răspunsul este da .
Deci, întrebarea dvs. menționează„ valori exacte ”, ceea ce este foarte interesant, spinos subiect. (Este vreodată posibil să se măsoare o valoare exactă? Cum am face diferența?) Sunteți cu adevărat curioși cu privire la „valorile exacte”? Sunteți mai curioși cu privire la principiul incertitudinii Heisenberg care se aplică și nu se aplică? Sau sunteți curios dacă există alte limite în ceea ce privește capacitatea noastră de măsurare, pe lângă principiul incertitudinii?
Comentarii
- Întrebam doar pentru că a fost întrebat la un test și am fost curios să aflu răspunsul după ce am dat testul. Știu că principiul Incertitudinii se ocupă de energie și timp și apoi se ocupă și de poziție și impuls. Așa că m-am gândit că dacă am măsura ipotetic poziția cu certitudine exactă, atunci am fi complet incerti cu privire la poziția sa, deci complet incert cu privire la viteza sa. Tot ce voiam să știu era dacă incertitudinea cu privire la poziție asigură incertitudinea cu privire la viteză
- Dacă ignorăm efectele relativiste, atunci viteza și impulsul sunt direct proporționale între ele cu particula ‘ masa de odihnă ca constantă a proporționalității, așa că, dacă știi exact una, o primești pe cealaltă gratuit.
Răspunde
Dacă în teoria dvs. operatorul de impuls și operatorul de viteză sunt proporționale între ele, atunci da. Cunoașterea valorii proprii a unuia înseamnă a cunoaște celălalt. Este întotdeauna cazul cu orice funcție a unui operator „cunoscut”.
Comentarii
- I ‘ Sunt fizic de bază 3 la Georgia Tech, luându-l ca opțional, așa că nu am ajuns ‘ atât de departe. ‘ voi fi sigur că voi analiza acest lucru, deși
Răspunde
Valorile proprii ale vitezei ecuației Dirac sunt $ \ pm c $. Acest lucru este bine cunoscut de când a fost găsită ecuația; vezi cartea lui Dirac, „Principiile mecanicii cuantice, ediția a IV-a”, Oxford University Press, Oxford 1958, capitolul XI „Teoria relativistă a electronului”, secțiunea 69, „Mișcarea unui electron liber”, pagina 262 Înainte era un fapt frecvent învățat de mecanica cuantică, dar înțeleg voturile negative, este acum posibil să obții un doctorat în fizică fără să știi cel mai mic lucru despre următorul calcul destul de elementar. În parte, din moment ce acest lucru nu se mai învață mult, derivarea a reapărut recent în literatură, de exemplu, a se vedea: Eur.Phys.J.C50: 673-678,2007 Chiral oscilații în ceea ce privește efectul zitterbewegung / hep-th / 0701091 , în jurul ecuației (11).
Începem prin a observa că viteza este rata de schimbare a poziției în timp și că puteți defini rata de schimbare a poziției în timp utilizând comutatorul:
$$ \ hat {v} _x = \ dot {x} = – (i / \ hbar) [\ hat {x}, H] $$
Dacă cele de mai sus vi se pare magice, citiți intrarea wikipedia pe Teorema lui Ehrenfest care afirmă principiul și oferă situația identică pentru mecanica cuantică nerelativistă: $$ \ frac {d} {dt} \ langle x \ rangle = – (i / \ hbar) \ langle [\ hat {x}, H] \ rangle = \ langle p_x \ rangle / m $$ și așa $ \; m v_x = m \ dot {x} = p_x $ (pentru cazul non-relativist) Astfel, pentru modelul de electron non-relativist, este posibil să se măsoare simultan viteza și impulsul; constanta lor de proporționalitate este masa. Dar cu relativitatea proporționalitatea nu se întâmplă deci situația este diferită.
Pentru ca o stare să fie o stare proprie a vitezei necesită:
$$ \ hat {v} _x \; \ psi (x) = – (i / \ hbar) [\ hat {x}, H] \; \ psi ( x) = \ lambda \ psi (x) $$
Dirac a definit Hamiltonianul cu particule libere ca $ H = c \ vec {\ alpha} \ cdot \ vec {p} + \ beta mc ^ 2 $. În notația modernă, $ \ beta = \ gamma ^ 0 $ și $ \ alpha ^ k = \ gamma ^ 0 \ gamma ^ k $, în timp ce $ p $ este operatorul de impuls obișnuit.
Rețineți că singurul lucru care nu face naveta cu $ \ hat {x} $ este componenta x a operatorului de impuls, care dă $ [\ hat {x}, \ hat {p} _x] = i \ hbar $. Astfel de mai sus se reduce la:
$$ – (i / \ hbar) [\ hat {x}, c \ gamma ^ 0 \ gamma ^ 1p_x] \ psi (x) = \ lambda \ psi (x) $$ $$ – (ic / \ hbar) \ gamma ^ 0 \ gamma ^ 1 [\ hat {x}, p_x] \ psi (x) = \ lambda \ psi (x) $$ $$ – (ic / \ hbar) (i \ hbar) \ gamma ^ 0 \ gamma ^ 1 \ psi (x) = \ lambda \ psi (x) $$ $$ c \ gamma ^ 0 \ gamma ^ 1 \ psi (x) = \ lambda \ psi (x) $$
Folosind alegerea reprezentării matricei gamma a Wikipedia, avem: $$ c \ gamma ^ 0 \ gamma ^ 1 = c \ left (\ begin {array} {cccc} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & 0
-1 \ end {array} \ right) \ left (\ begin {array} {cccc} 0 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & -1 & 0 & 0 \\ – 1 & 0 & 0 & 0 \ end {array} \ right) = c \ left (\ begin {array} {cccc} 0 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 0 & 0 \ end {array} \ right) $$ Valorile proprii sunt obținut prin rezolvarea polinom caracteristic . Adică, calculați determinantul matricei și setați-l la zero: $$ \ left [\ begin {array} {cccc} – \ lambda & 0 & 0 & c \\ 0 & – \ lambda & c & 0 \\ 0 & c & – \ lambda & 0 \\ c & 0 & 0 & – \ lambda \ end {array} \ right] = \ lambda ^ 4-2 \ lambda ^ 2c ^ 2 + c ^ 4 = 0 $$ Îl las ca un exercițiu pentru cititor să arate că există două rădăcini reale, $ \ pm c $ fiecare cu ordinea doi.
Cele patru soluții la problema autovalorii vitezei pentru ecuația Dirac corespund electronului și pozitronului dreptaci și stângaci. Adică, stările proprii ale vitezei ecuației Dirac sunt tocmai stările stânga și dreapta utilizate pentru a reprezenta fermioni în modelul standard .
Comentarii
- Există două probleme separate care ar putea provoca voturi negative (nu ‘ nu am votat încă, vă rugăm să remediați). În primul rând, Dirac Hamiltonian se află într-o imagine discreditată a unei singure particule a ecuației Dirac, unde x este un operator care descrie poziția electronului. În imaginea teoretică a câmpului adecvată, stările din apropierea Fock au un impuls care este p și o viteză care este p / E într-un pachet de unde, iar cele două cantități pot avea valori simultane (un fel de, deoarece particulele sunt nelocale). Cealaltă problemă este că ecuația pe care o dați pentru valorile proprii ale vitezei are patru soluții, (c, -c, ic, -ic).
- În ceea ce privește problema cu câmpul teoria față de QM merge, stările proprii ale vitezei electronului sunt legate de zitterbewegung (zbw), care a avut o reapariție recent din cauza cercetărilor fizice în stare solidă.Așadar, ‘ nu sunt sigur că ‘ este discreditat, de exemplu, a se vedea discuția despre stările proprii zbw și viteză în Eur. Fizic. J. B 83, 301-317 (2011): arxiv.org/abs/1104.5632
- Bine, eu ‘ m fixarea calculului valorii proprii; Am suflat determinantul.
- Nu ‘ cred că ‘ este complet discreditat, are nevoie doar de o discuție — zbw este o proprietate a stărilor de pozitroni care se amestecă cu stările de electroni din imaginea unei singure particule, electronul său ziggulând înainte și înapoi în timp în descrierea Feynman. Este ‘ s fizic, dar numai în forma Feynman a dinamicii particulelor, nu atât în forma teoriei câmpului. Sunt sigur că acesta este motivul pentru care mulți oameni votează în mod automat discuțiile cu particule unice despre Dirac eqn. Nu ‘ nu cred că este o prostie, conține multă fizică, dar necesită o discuție atentă.
Răspuns
Argumentul conform căruia principiul de incertitudine al lui Heisenberg interzice faptul că putem cunoaște simultan valorile exacte ale impulsului și vitezei unei particule este deja discreditat în vechiul manual de Feynman despre Quantum Electrodinamică.
Două observabile pot fi determinate simultan dacă operatorii fac naveta. Pentru viteză și impuls, operatorii navighează $ [\ hat {p}, \ hat {v}] = 0 $; fac chiar și în teoria funcției de undă Dirac cu efectele sale Zitterbewegung.