Problemă
Să presupunem că $ Y \ sim \ text {N} (\ text {mean} = \ mu, \ text {Var} = \ frac {1} {\ tau}) $.
Pe baza unui eșantion, obțineți distribuțiile posterioare de $ \ mu $ și $ \ tau $ folosind eșantionatorul Gibbs.
Notare
$ \ mu $ = media populației
$ \ tau $ = precizia populației (1 / varianță )
$ n $ = dimensiunea eșantionului
$ \ bar {y} $ = eșantionul mediu
$ s ^ 2 $ = varianța eșantionului
Sampler Gibbs
[ Casella, G. & George, EI (1992). Explicarea eșantionului Gibbs. The American Statistician, 46, 167–174. ]
La iterație $ i $ ($ i = 1, \ dots, N $ ):
- mostră $ \ mu ^ {(i)} $ din $ f (\ mu \, | \, \ tau ^ {(i – 1)}, \ text {data} ) $ (vezi mai jos)
- mostră $ \ tau ^ {(i)} $ din $ f (\ tau \, | \, \ mu ^ {(i)}, \ text {data}) $ (vezi mai jos)
Teoria asigură că după un număr suficient de mare de iterații, $ T $, setul $ \ {( \ mu ^ {(𝑖)}, \ tau ^ {(𝑖)}): i = T + 1, \ dots, 𝑁 \} $ poate fi văzut ca un eșantion aleatoriu din distribuția posterioară articulară.
Priori
$ f (\ mu, \ tau) = f (\ mu) \ ori f (\ tau) $, cu
$ f (\ mu) \ propto 1 $
$ f (\ tau) \ propto \ tau ^ {- 1} $
Condițional posterior pentru medie, dată fiind precizia $$ (\ mu \, | \, \ tau, \ text {data}) \ sim \ text {N} \ Big (\ bar {y}, \ frac {1} {n \ tau} \ Big) $$
Condițional posterior pentru precizie , având în vedere media $$ (\ tau \, | \, \ mu, \ text {data}) \ sim \ text {Gam} \ Big (\ frac {n} {2}, \ frac {2} {(n-1) s ^ 2 + n (\ mu – \ bar {y}) ^ 2} \ Big) $$
(rapid) Implementare R
# summary statistics of sample n <- 30 ybar <- 15 s2 <- 3 # sample from the joint posterior (mu, tau | data) mu <- rep(NA, 11000) tau <- rep(NA, 11000) T <- 1000 # burnin tau[1] <- 1 # initialisation for(i in 2:11000) { mu[i] <- rnorm(n = 1, mean = ybar, sd = sqrt(1 / (n * tau[i - 1]))) tau[i] <- rgamma(n = 1, shape = n / 2, scale = 2 / ((n - 1) * s2 + n * (mu[i] - ybar)^2)) } mu <- mu[-(1:T)] # remove burnin tau <- tau[-(1:T)] # remove burnin
$$ $$
hist(mu) hist(tau)
Comentarii