Teorema Feynman-Kac afirmă că pentru un proces Ito de forma $$ dX_t = \ mu (t, X_t) dt + \ sigma (t , X_t) dW_t $$ există o funcție măsurabilă $ g $ astfel încât $$ g_t (t, x) + g_x (t, x) \ mu (t, x) + \ frac {1} {2} g_ {xx } (t, x) \ sigma (t, x) ^ 2 = 0 $$ cu o condiție de delimitare adecvată $ h $: $ g (T, x) = h (x) $. Știm, de asemenea, că $ g (t, x) $ are forma $$ g (t, x) = \ mathbb {E} \ left [h (X_T) \ big | X_t = x \ right]. $$
Acest lucru înseamnă că pot preța o opțiune cu funcția de plată $ h (x) $ la $ T $ rezolvând ecuația diferențială fără a lua în considerare procesul stocastic.
Există o explicație intuitivă a modului în care este posibil să se modeleze comportamentul stochastic al procesului Ito printr-o ecuație diferențială, chiar dacă ecuația diferențială nu are o componentă stochastic?
Comentarii
- În cadrul așteptărilor, nu ar trebui să ‘ să puneți $ h (X_T) $ în loc de $ h (X_t) $ ?
Răspuns
Martingales + Markovian
Iată motivația. Așteptările condiționate sunt martingale de către proprietatea turnului a așteptărilor condiționate (un exercițiu ușor de arătat). Să presupunem că $ r = 0 $, prin teorema de stabilire a prețurilor neutră la risc $ E ^ \ star \ left [h (X_T) \ bigg | \ mathscr {F} _t, \, X_t = x \ right] $ este prețul oricărui instrument derivat garanție cu X $ ca activ subiacent și funcția de plată $ h $ presupunând pentru moment că garanția subiacentă și instrumentul derivat în sine nu plătesc fluxuri de numerar intermediare. Într-un cadru markovian, trebuie să fie cazul în care prețul instrumentului derivat este o funcție măsurabilă a prețului activului curent și a timpului până la scadență, să spunem o funcție $ g (t, x) $. Apoi, prin lema lui Ito $ d (g (t, x)) = \ ldots $. Deoarece $ g $ este o martingală (deplasată), termenul de derivare trebuie să fie egal cu zero . condiția la limită nu provine din arbitraj, vedeți acest lucru observând ce este $ g (T, x) $ din definiția dată la început (amintiți-vă măsurabilitatea atunci când luați o așteptare condiționată).
Comentarii
- Mulțumesc. Ce este $ \ mathscr {F} _t $?
- Este o sigmă Algebră dintr-o filtrare. en.wikipedia.org/wiki/Filtration_(mathematics)
- @ user25064 – îmi complimentează destul de bine răspunsul +1
- @Raphael – gândește-te doar la $ \ mathscr F_t $ ca informație disponibilă până la data $ t $. Bara verticală citește ” dat ” astfel încât atunci când scrieți această înainte de acel moment, ‘ nu acceptați deloc așteptările și poate ieși în același mod în care o va face o constantă. Ca $ E [X_ {t- \ epsilon} | \ mathscr F_t ] = X_ {t- \ eps ilon} $. Există o explicație relativ bună a așteptării condiționate în această carte.
Răspuns
Teorema Feynman-Kac are sens în primul rând într-un context de stabilire a prețurilor. Dacă știți că unele funcții rezolvă ecuația Feynman-Kac, puteți reprezenta soluția acesteia ca o așteptare în ceea ce privește procesul. ( conferiți acest document )
Pe de altă parte, o funcție de stabilire a prețurilor rezolvă FK-PDE. Astfel, de multe ori s-ar încerca să rezolve PDE pentru a obține o formulă de preț închisă. ( conferă acest lucru document începând cu pagina 22 )
Nu ați folosi Feynman-Kac pentru a simula un proces stochastic. Pe de altă parte, puteți utiliza un proces stocastic pentru a găsi o soluție la FK-PDE ( vezi aici )
Editează 26.02.2014: Am găsit un document care încearcă să explice legătura dintre densitatea de tranziție și FK-PD ( vezi aici începând cu pagina 5 )
De asemenea, există o legătură între formula FK și ecuațiile Sturm-Liouville care pot fi utilizate pentru descompunere a căilor browniene. ( vezi această lucrare )
Comentarii
- Vă mulțumim pentru linkuri! Postarea dvs. explică mai multe aplicații și utilizări pentru teorema Feynman-Kac. Principalul meu interes în acest moment este să înțeleg de ce teorema este adevărată, adică intuiția din spatele teoremei.
- Aș sugera dovada aici: en. wikipedia.org/wiki/Feynman%E2%80%93Kac_formula Citirea probelor ajută adesea la înțelegerea modului în care apare o teoremă. Sau vă interesează o explicație din punct de vedere Phyiscs?
Răspuns
Modul în care mă gândesc PDE descrie fluxul unei distribuții de probabilitate dependente de timp. Procesul stochastic descrie realizări individuale (plimbări aleatorii cu drift), dar dacă ați executa un număr mare dintre ele, ați construi o distribuție.
PDE spune cum această distribuție se schimbă în timp (primul termen) datorită derivei deterministe (al doilea termen) și difuziei (al treilea termen, care este legătura dintre „o mulțime de alergători aleatori” și răspândirea distribuția probabilității care descrie cât de mult au ajuns, în medie). De obicei, distribuția probabilității începe ca o funcție delta datorită condiției inițiale cunoscute.
Comentarii
- Sunt puțin confuz. Avem PDE-ul funcției de prețare $ g (t, x) $, în afară de deriva și volatilitate, nu există prea multe informații pe care le puteți culege din FK-PDE cu privire la distribuție
Răspuns
Să abordăm acest răspuns în doi pași.
În primul rând, Mi se pare destul de intuitiv, că pentru un anumit PDE stocastic există un PDE determinist care evoluează densitatea într-o perioadă ulterioară. Această ecuație este ecuația directă Kolmogorov sau Fokker-Plank. De ce este intuitiv? Se știe, de asemenea, distribuția viitoare a unei mișcări browniene (prin definiție), de ce ar trebui să se schimbe această situație pentru un termen stochastic mai complex?
În al doilea rând, odată ce ați obținut ecuația directă, „este o chestiune de matematică obțineți o versiune inversată în timp. Aceasta este ecuația Feynman-Kac și propagă o distribuție înapoi în timp.