Explicația și înțelegerea profanului ' a ecuațiilor de câmp ale lui Einstein '

Ecuațiile lui Einstein pot fi rezumate vag ca relația principală dintre materie și geometria spațiu-timp . Voi încerca să dau o descriere calitativă a ceea ce înseamnă fiecare termen din ecuație. Totuși, va trebui să avertizez potențialii cititori că acest lucru nu va nu fi un răspuns scurt. Abțineți-vă să încercați să obțineți ecuațiile în mod ” elementar „, deoarece sigur nu știu de niciunul.

Materie

În partea dreaptă a ecua , cel mai important lucru este apariția tensor de impuls-energie $ T _ {\ mu \ nu} $ . Codifică exact modul în care materia — înțeleasă într-un sens larg, adică orice energie (sau masă sau impuls sau presiune) care transportă mediul — este distribuită în univers. Pentru a înțelege cum să interpretați indicii de subindice ai $ T $ , consultați explicația mea despre tensorul metric de mai jos.

Acesta este înmulțit cu unele elemente fundamentale constante ale naturii $ \ Big ($ factorul $ \ frac {8 \ pi G} {c ^ 4} \ Big ) $ dar acest lucru nu are o importanță crucială: se pot vedea ca instrumente de evidență contabilă care țin evidența unităților cantităților legate de ecuație. De fapt, fizicienii profesioniști își iau de obicei libertatea pentru a ne redefini unitățile de măsură pentru a simplifica aspectul expresiilor noastre, scăpând de constante greoaie ca aceasta. O opțiune specială ar fi să alegem ” unități Planck reduse „, în care $ 8 \ pi G = 1 $ și $ c = 1 $ , astfel încât factorul să devină $ 1 $ .

g diferențial eometrie

În partea stângă a ecuațiilor lui Einstein, găsim câțiva termeni diferiți, care împreună descriu geometria spațiu-timpului. Relativitatea generală este o teorie care folosește cadrul matematic cunoscut sub numele de (semi-) geometrie riemanniană . În această ramură a matematicii, se studiază spații care sunt într-un anumit sens netede și care sunt echipate cu o metrică . Să încercăm mai întâi să înțelegem ce înseamnă aceste două lucruri.

Proprietatea de netezime poate fi ilustrată prin exemplul intuitiv (și important din punct de vedere istoric!) Al unei suprafețe netede (bidimensionale) în spațiul tridimensional obișnuit. . Imaginați-vă, de exemplu, suprafața unui fotbal idealizat, adică o 2-sferă. Acum, dacă cineva își concentrează atenția asupra unui petic foarte mic de suprafață (ține mingea până la fața ta), se pare că mingea este destul de plată. Cu toate acestea, este evident că nu este global plat. Fără respect pentru rigoarea matematică, putem spune că spațiile care au această proprietate de a apărea local plat sunt netede într-un anumit sens. Din punct de vedere matematic, cineva le numește varietăți. Desigur, o suprafață plană la nivel global, cum ar fi o foaie de hârtie infinită, este cel mai simplu exemplu al unui astfel de spațiu.

În geometria Riemanniană (și geometria diferențială mai general) se studiază astfel de spații netede (multiple) de dimensiune arbitrară. Un lucru important de realizat este că pot fi studiate fără imaginarea lor ca fiind încorporate într-un spațiu cu dimensiuni superioare, adică fără vizualizarea pe care am putut să o folosim cu fotbalul sau orice altă referință la ceea ce poate sau nu să fie ” în afara ” spațiul în sine.Se spune că se pot studia și geometria lor, intrinsec .

Metrica

Când vine vorba de studierea intrinsecă a geometriei varietăților, principalul obiectul de studiu este metrica (tensorul). Fizicienii îl denotă de obicei cu $ g _ {\ mu \ nu} $ . Într-un anumit sens, ne înzestrează cu o noțiune de distanță pe varietate. Luați în considerare un colector bidimensional cu metrică și puneți o ” grilă de coordonate ” pe ea, adică atribuiți fiecărui punct un set de două numere, $ (x, y) $ . Apoi, valoarea poate fi vizualizată ca o matrice $ 2 \ times 2 $ cu $ 2 ^ 2 = 4 $ intrări. Aceste intrări sunt etichetate cu indicii $ \ mu, \ nu $ , care pot fi selectați fiecare la egal cu $ x $ sau $ y $ . Valoarea poate fi apoi înțeleasă ca o simplă matrice de numere:

$$ \ begin {pmatrix} g_ {xx} & g_ {xy} \\ g_ {yx} & g_ {yy} \ end {pmatrix} $$

Ar trebui, de asemenea, spuneți că metrica este definită astfel încât $ g _ {\ mu \ nu} = g _ {\ nu \ mu} $ , adică este simetrică față de indicii săi. Aceasta implică faptul că, în exemplul nostru, $ g_ {xy} = g_ {yx} $ . Acum, ia în considerare două puncte care sunt în apropiere, astfel încât diferența de coordonate dintre cele două este $ (\ mathrm {d} x, \ mathrm {d} y) \;. $ Putem denota acest lucru în notare abreviere ca $ \ mathrm {d} l ^ \ mu $ unde $ \ mu $ este fie $ x $ , fie $ y \;, $ și $ \ mathrm {d} l ^ x = \ mathrm {d} x $ și $ \ mathrm {d} l ^ y = \ mathrm {d} y \;. $ Apoi definim pătratul distanței dintre cele două puncte, numit $ \ mathrm {d} s \;, $ ca

$$ \ mathrm {d} s ^ 2 = g_ {xx} \ mathrm {d} x ^ 2 + g_ {yy} \ mathrm { d} y ^ 2 + 2 g_ {xy} \ mathrm {d} x \ mathrm {d} y = \ sum _ {\ mu, \ nu \ in \ {x, y \}} g _ {\ mu \ nu} \ mathrm {d} l ^ \ mu \ mathrm {d} l ^ \ nu $$

Pentru a vă face o idee despre cum funcționează acest lucru în practică, să vedem un infinit de două- spațiu plan dimensional (adică foaie de hârtie menționată mai sus), cu două ” standard ” coordonate plane $ x, y $ definit pe el printr-o grilă pătrată. Apoi, știm cu toții din „teorema lui Pitagora că

$$ \ mathrm {d} s ^ 2 = \ mathrm {d} x ^ 2 + \ mathrm { d} y ^ 2 = \ sum _ {\ mu, \ nu \ in \ {x, y \}} g _ {\ mu \ nu} \ mathrm {d} l ^ \ mu \ mathrm {d} l ^ \ nu $ $

Acest lucru arată că, în acest caz, metrica naturală pe spațiul bidimensional plat este dată de

$ $ g _ {\ mu \ nu} = \ begin {pmatrix} g_ {xx} & g_ {xy} \\ g_ {xy} & g_ {yy} \ end {pmatrix} = \ begin {pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \ end { pmatrix} $$

Acum că am știut cum să ” măsura ” distanțele dintre punctele din apropiere , putem folosi o tehnică tipică din fizica de bază și integra segmente mici pentru a obține distanța dintre punctele care sunt în continuare eliminate:

$ $ L = \ int \ mathrm {d} s = \ int \ sqrt {\ sum _ {\ mu, \ nu \ in \ {x, y \}} g _ {\ mu \ nu} \ mathrm {d} l ^ \ mu \ mathrm {d} l ^ \ nu} $$

Ge neralizarea la dimensiuni superioare este simplă.

Tensorii de curbură

După cum am încercat să argumentez mai sus, tensorul metric definește geometria colectorului nostru (sau spațiu-timp, în cazul fizic) . În special, ar trebui să putem extrage din ea toate informațiile relevante despre curbura colectorului. Acest lucru se realizează prin construirea tensorului Riemann (curbură) $ R ^ {\ mu} _ {\ \ \ \ nu \ rho \ sigma} $ , care este un obiect foarte complicat care poate, în analogie cu vizualizarea matricei metricei, să fie privit ca un tablou cu patru dimensiuni, fiecare index putând prelua $ N $ valori dacă există $ N $ coordonate $ \ { x ^ 1, \ dots x ^ N \} $ pe colector (de exemplu, dacă avem de-a face cu un spațiu $ N $ -dimensional). Este definit pur în termeni metrici într-un mod complicat, care nu este prea important pentru moment. Acest tensor conține aproape toate informațiile despre curbura colectorului și mult mai mult decât suntem interesați în mod obișnuit fizicienilor. Cu toate acestea, uneori este util să aruncăm o privire bună la tensorul Riemann dacă cineva într-adevăr vrea să știe ce se întâmplă.De exemplu, un tensor Riemann dispărut peste tot ( $ R ^ \ mu _ {\ \ \ \ nu \ rho \ sigma} = 0 $ ) garantează că spațiu-timp este plat. Un caz celebru în care un astfel de lucru este util este în metrica Schwarzschild care descrie o gaură neagră, care pare a fi singulară pe raza Schwarzschild $ r = r_s \ neq 0 $ . După inspecția tensorului Riemann, devine evident că curbura este de fapt finită aici, deci este vorba de o coordonată singularitate, mai degrabă decât de o ” reală ” singularitate gravitațională.

Luând anumite ” părți din ” tensorul Riemann, putem arunca unele informații pe care le conține în schimbul faptului că trebuie să se ocupe doar de un obiect mai simplu, tensorul Ricci:

$$ R_ { \ nu \ sigma}: = \ sum _ {\ mu \ in \ {x ^ 1, \ dots x ^ N \}} R ^ \ mu _ {\ \ \ \ \ nu \ mu \ sigma} $$

Acesta este unul dintre tensorii care apare în ecuațiile câmpului Einstein. al doilea termen al ecuațiilor include Ricci scalar $ R $ , care este definit încă o dată prin contractare ( un cuvânt elegant pentru ” însumând toate valorile posibile ale indexului unor indici „) tensorul Ricci, de data aceasta cu invers metrică $ g ^ {\ mu \ nu} $ care poate fi construită din metrica obișnuită prin ecuație

$$ \ sum _ {\ nu \ in \ {x ^ 1, \ dots, x ^ N \}} g ^ {\ mu \ nu} g _ {\ nu \ rho} = 1 \ \ text {if} \ mu = \ rho \ \ text {și} 0 \ \ text {altfel} $$

După cum a fost promis, scalarul Ricci este contracția tensorului Ricci și invers metrică:

$$ R: = \ sum _ {\ mu, \ nu \ in \ {x ^ 1, \ dots x ^ N \}} g ^ {\ mu \ nu} R _ {\ mu \ nu} $$

Desigur, scalarul Ricci conține din nou mai puține informații decât tensorul Ricci, dar este chiar mai ușor de manevrat . Pur și simplu înmulțiți-l cu $ g _ {\ mu \ nu} $ rezultă din nou într-o matrice bidimensională, la fel ca $ R _ {\ mu \ nu} $ și $ T _ {\ mu \ nu} $ sunt. Combinația specială de tensori de curbură care apare în ecuațiile câmpului Einstein este cunoscută sub numele de tensorul Einstein

$$ G _ {\ mu \ nu}: = R _ {\ mu \ nu} – \ frac {1} {2} R g _ {\ mu \ nu} $$

Constanta cosmologică

Există un termen pe care l-am lăsat deoparte până acum: termenul constant cosmologic $ \ Lambda g _ {\ mu \ nu} $ . După cum sugerează și numele, $ \ Lambda $ este pur și simplu o constantă care înmulțește metrica. Acest termen este uneori pus pe cealaltă parte a ecuației, deoarece $ \ Lambda $ poate fi văzut ca un fel de ” conținutul de energie ” al universului, care poate fi grupat mai adecvat cu restul materiei care este codificată de $ T _ {\ mu \ nu} $ .

Constanta cosmologică este în principal de interes, deoarece oferă o posibilă explicație pentru (in) faimoasa energie întunecată care pare să dea seama de anumite observații cosmologice importante. Dacă constanta cosmologică este cu adevărat diferită de zero în universul nostru este o problemă deschisă, la fel cum explicăm observațiile valorice sugerate pentru aceasta (așa-numita problemă a constantei cosmologice aka ” cea mai proastă predicție a fizicii teoretice a făcut vreodată „, unul dintre interesele mele personale).

---

PS. După cum sa menționat în comentarii, dacă v-a plăcut acest lucru, vă puteți bucura, de asemenea, de citirea această întrebare și a răspunsurilor la aceasta, care se adresează acelui > importantă ecuație a relativității generale, care descrie mișcarea ” particulelor de test ” în spațiu curbat.

Ecuația lui Einstein leagă conținutul materiei (partea dreaptă a ecuației) de geometrie (partea stângă) poate fi rezumat cu „masa creează geometrie, iar geometria acționează ca masa”.

Pentru mai multe detalii, să luăm în considerare ce este un tensor. Un tensor cu doi indici (ceea ce avem în ecuația lui Einstein), poate fi gândit ca o hartă care ia un vector într-un alt vector. De exemplu, tensorul tensiune-energie ia un vector de poziție și returnează un vector de impuls (matematic, $ p _ {\ nu} = T _ {\ nu \ mu} x ^ {\ mu} $, și amestec vectori și co-vectori peste tot pentru a simplifica discuția). Interpretarea este că partea dreaptă a ecuației lui Einstein ne spune impulsul care trece printr-o suprafață definită de vectorul de poziție.

Partea stângă poate fi interpretată și în acest mod. Curbura Ricci $ R _ {\ mu \ nu} $ ia un vector de poziție și returnează un vector care ne spune cât de mult se schimbă curbura prin suprafața definită de $ \ vec {x} $. Al doilea și al treilea termen, ambii având factori metrici $ g _ {\ mu \ nu} $, ne spun cât de mult se modifică măsurătorile distanței atunci când călătorim de-a lungul vectorului. Există două contribuții la această modificare a distanței – curbura scalară $ R $ și $ \ Lambda $. Dacă $ R _ {\ mu \ nu} $ este „curbura într-o singură direcție”, $ R $ este „curbura totală”. $ \ Lambda $ este o constantă care ne spune câtă energie înnăscută are spațiul gol, făcând ca toate distanțele să crească pentru $ \ Lambda > 0 $.

, citind ecuația de la dreapta la stânga, ecuația „Einstein” ne spune că impulsul (masa în mișcare) provoacă atât curbură, cât și o modificare a modului în care sunt măsurate distanțele. „Citind de la stânga la dreapta, ecuația„ Einstein ”ne spune că curbura și schimbarea distanța acționează la fel ca masa în mișcare. „

Comentarii

• Wow – explicație simplificată excelentă.
• @levitopher De ce ‘ se numește ” stres ” în stres-energie?
• a fost în regulă? en.wikipedia.org/wiki/Stress_(mechanics)

Derivarea pas la pas a ecuațiilor Einstein Field (EFE) pe blogul meu: http://www.thespectrumofriemannium.com/2013/05/24/log105-einsteins-equations/

Înțelesul EFE (de Wheeler): „Spațiul-timp spune materiei cum să se miște, materia-energie spune spațiului-timp cum să curbăm”

Cuvinte simple pentru EFE: „Geometrie” = „Curbură” (nicio torsiune în relativitatea generală nu presupune că energia-impuls este simetrică, așa cum se arată în cazul metricului, al tensorului Ricci și al tensorului Einstein).

Un sens mai serios este următorul:

-La stânga: Tensorul Einstein este format din două (trei dacă numărați termenul cosmologic) piese. Măsurează curbura cauzată de faptul că o metrică spațiu-timp locală nu este constantă (metrica Minkowski este spațiu-timp plat, gravitația pornită implică metrica este un câmp, adică, dependent de coordonatele spațiu-timp locale) și implică o curbură locală măsurată de scalarul de curbură și de tensorul Ricci, care combinat în felul în care a făcut Einstein (și Hilbert), oferă un curent fără divergențe (de exemplu, conservarea impulsului energetic prin echivalarea cu partea dreaptă).

-Dreapta: energia-impuls a câmpurilor, determinând deformarea spațiului-timp / curbă / îndoire. Puteți adăuga la această latură termenul cosmologic, apoi numit energie întunecată … Rezultă că energia întunecată este cumva (cu o anumită grijă) energia spațiului-timp a vidului. Și credem că nu este doar zero, ci principalul ingredient cosmic care produce materia-energie în acest moment (aproximativ 70%, sateliții WMAP + PLANCK par să fie de acord cu acest lucru …).