Găsiți h [n] folosind proprietăți DTFT

În timp ce asta se întâmplă prin temele de admitere (și destul de simple), voi mușca. Reamintim definiția DTFT :

$$ X (\ omega) = \ sum_ {n = 0} ^ {\ infty} x [n] e ^ {- j \ omega n} $$

Și amintește definiția răspunsului în frecvență $ H ( \ omega) $:

$$ H (\ omega) = \ frac {Y (\ omega)} {X (\ omega)} $$

unde $ x [n ] $ este intrarea în sistem și $ y [n] $ este ieșirea sa. Combinați aceste două ecuații:

$$ \ begin {eqnarray *} H (\ omega) X (\ omega) & = & Y (\ omega) \\ \ frac {1 – a ^ 4 e ^ {- j 4 \ omega}} { 1 – a ^ 4 e ^ {- j \ omega}} X (\ omega) & = & Y (\ omega) \ \ (1 – a ^ 4 e ^ {- j 4 \ omega}) X (\ omega) & = & (1 – a ^ 4 e ^ {- j \ omega}) Y (\ omega) \\ X (\ omega) – a ^ 4 e ^ {- j 4 \ omega} X (\ omega) & = & Y (\ omega) – a ^ 4 e ^ {- j \ omega} Y (\ omega) \ end {eqnarray *} $$

Acum, efectuați DTFT invers pe ambele părți ale ecuației. Prin definiție, $ X (\ omega) $ și $ x [n] $ sunt o pereche de transformare; la fel pentru $ Y (\ omega) $ și $ y [n] $. Pentru ceilalți doi termeni, reamintim proprietatea de schimbare a timpului din DTFT:

$$ x [nk] \ leftrightarrow e ^ { -jk \ omega} X (\ omega) $$

care poate fi afișat cu ușurință din definiția DFT. Folosind această proprietate, inversa ecuației se transformă în specificația ecuație diferență pentru sistem:

$$ x [n] – a ^ 4 x [n-4] = y [n] – a ^ 4 y [n-1] $$

$$ y [n] = x [n] – a ^ 4 x [n-4 ] + a ^ 4 y [n-1] $$

Aceasta este definiția unui filtru recursiv, care sunt de obicei IIR; acesta este cazul pentru acesta. Găsirea răspunsului la impuls este ușoară; să $ x [n] = \ delta [n] $ și să găsim că ieșirea sistemului este:

$$ y [n] = a ^ {4n} u [n] – a ^ {4 ( n-4) +4} u [n-4] $$

$$ y [n] = a ^ {4n} u [n] – a ^ {4n-12} u [n- 4] $$

Cele de mai sus sunt reprezentate pentru $ a = 0.99 $. Trebuie remarcat faptul că sistemul este stabil numai pentru $ | a | \ le1 $.

Comentarii

• I ' Am încercat să calculez răspunsul la impuls, dar m-am încurcat. Ați putea arăta cum s-a făcut '? mulțumesc.

$$ \ begin {align *} H (\ omega) & = \ frac {1-a ^ 4 \ exp (-4j \ omega)} {1-a ^ 4 \ exp (-j \ omega)} \\ & = (1-a ^ 4 \ exp (-4j \ omega)) \ sum_ {n = 0} ^ \ infty (a ^ 4 \ exp (-j \ omega)) ^ n \\ & = \ sum_ {n = 0} ^ \ infty a ^ {4n} \ exp (-nj \ omega) – \ sum_ {n = 0} ^ \ infty a ^ {4n +4} \ exp (- (n + 4) j \ omega) \\ & = \ sum_ {n = 0} ^ 3 a ^ {4n} \ exp (-nj \ omega) + \ sum_ {n = 4} ^ \ infty [a ^ {4n} – a ^ {4n-12}] \ exp (-nj \ omega) \\ h [n] & = \ begin {cases} 0, & n < 0, \\ a ^ {4n}, & n = 0, 1, 2, 3, \\ a ^ {4n} – a ^ {4n-12}, & n \ geq 4. \ end {cases} \ end {align *} $$ Deoarece răspunsul la impuls se extinde la $ \ infty $, acesta este un filtru IIR. JasonR afirmă în răspunsul său că filtrul este stabil numai dacă $ | a | < 1 $. De fapt, filtrul este stabil când $ | a | \ leq 1 $ și este instabil numai pentru $ | a | > 1 $. Cu toate acestea, când $ | a | = 1 $, din formula seriei geometrice $ 1 + r + r ^ 2 + r ^ 3 = \ frac {1-r ^ 4} {1-r} $, obținem $$ H (\ omega) = \ frac {1- \ exp (-4j \ omega)} {1- \ exp (-j \ omega)} = 1 + \ exp (-j \ omega) + \ exp (-2j \ omega) + \ exp (-3j \ omega) $$ este funcția de transfer a unui filtru (stabil) FIR care poate fi descris ca un integrator pe termen scurt sau media pe termen scurt (cu câștig de 4 $).

Comentarii

• Derivație alternativă drăguță. Mi-am fixat pretenția privind stabilitatea și în răspunsul meu.