Hamilton ' s Principiul

Notele din săptămâna 1 din Cursul lui John Baez în mecanica lagrangiană oferă o oarecare perspectivă asupra motivațiilor pentru principiile acțiunii.

Ideea este că cea mai mică acțiune ar putea fi considerată o extensie a principiului muncii virtuale. Când un obiect se află în echilibru, este nevoie de muncă zero pentru a face o mică deplasare arbitrară pe el, i. e. produsul punct al oricărui vector mic de deplasare și forța este zero (în acest caz pentru că forța în sine este zero).

Când un obiect accelerează, dacă adăugăm o „forță inerțială” egală cu $ \, – ma \, $ , atunci o deplasare mică, arbitrară, dependentă de timp de la obiectele adevăratei traiectorii, ar avea din nou produs cu punct zero cu $ \, F-ma, \, $ adevărata forță și forța inerțială adăugate. Aceasta oferă

$$ (F-ma) \ cdot \ delta q (t) = 0 $$

De la acolo, câteva calcule găsite în note duc la integralul acțiunii staționare.

Baez discută despre D „Alembert mai mult decât Hamilton, dar în orice caz este o privire interesantă asupra originilor ideii.

Comentarii

• Rețineți că principiul muncii virtuale se numește D ‘ Principiul Alembert: en.wikipedia.org/wiki/D%27Alembert%27s_principle

După cum puteți vedea din imaginea de mai jos, doriți ca variația integralei de acțiune să fie minimă, prin urmare $ \ displaystyle \ frac {\ delta S} {\ delta q} $ trebuie să fie $ 0 $. În caz contrar, nu luați adevărata cale între $ q_ {t_ {1}} $ și $ q_ {t_ {2}} $, ci o cale puțin mai lungă. Cu toate acestea, chiar și după $ \ delta S = 0 $, după cum știți, ați putea ajunge cu un alt extremum.

Urmând linkul de la jc, puteți găsi Despre o metodă generală privind dinamica , care probabil răspunde la întrebarea dvs. cu privire la raționamentul lui Hamilton. Nu am citit dar aproape sigur merită.

Comentarii

• Acesta pare un răspuns tautologic, deoarece este exact Hamilton ‘ principiul care este folosit pentru a ajunge la imaginea de mai sus, în primul rând.
• Poate că ați fost învățat principiul Hamilton ‘ și ați ajuns la acel imaginea ca explicație, dar imaginea este perfect generală. Descrie variația unei funcții cu puncte finale fixe.

În general, povestesc că principiul acțiunii este un alt mod de a ajunge la aceleași ecuații diferențiale – deci la nivelul mecanicii, cele două sunt echivalente. Cu toate acestea, când vine vorba de teoria cuantică a câmpului, descrierea în termeni de integrale de cale asupra acțiunii exponențiate este esențială atunci când se iau în considerare efectele instantonului. Deci, în cele din urmă, se constată că formularea în termeni de acțiuni este mai fundamentală și mai sănătoasă din punct de vedere fizic.

Dar totuși, oamenii nu au o „senzație” de acțiune așa cum simt energia.

Să ne amintim că ecuațiile mișcării cu initial condițiile $ q (0), (dq / dt) (0) $ au fost avansate mai întâi și cel mai mic principiu de acțiune a fost formulat ulterior, ca o succesiune. Deși frumos și elegant matematic, cel mai mic principiu de acțiune folosește o condiție viitoare, „de graniță” $ q (t_2) $, care este necunoscută fizic. Nu există nici un principiu de acțiune minim care să funcționeze numai cu condițiile inițiale.

Mai mult, este implicat că ecuațiile au soluții fizice. Acest lucru este valabil în mecanica clasică, dar este greșit în electrodinamica clasică. Deci, chiar derivat din „principiul” corect corect, ecuațiile pot fi greșite la nivel fizic și matematic. respectul, formularea ecuațiilor fizice corecte este o sarcină mai fundamentală pentru fizicieni decât să se bazeze pe un „principiu” al obținerii ecuațiilor „automat”. Noi, fizicienii, suntem responsabili pentru formularea corectă a ecuațiilor.

În CED, QED și QFT trebuie să „reparăm din mers” soluțiile greșite doar pentru că fizica a fost ghicită și inițial implementată incorect.

PS Aș dori să arăt cum în realitate sistemul își „alege” traiectoria: dacă la $ t = 0 $ particula are un impuls $ p (t) $, atunci la următoarea dată $ t + dt $ are impulsul $ p (t) + F (t) \ cdot dt $. Această creștere este destul de locală în timp, este determinată de valoarea forței actuale $ F (t) $, deci nicio condiție viitoare de „graniță” nu o poate determina. Traiectoria nu este „aleasă” dintre cele virtuale; este „trasat” de valorile instant ale forței, coordonatelor și vitezei.

Comentarii

• Îmi place să cred că ambele opțiuni sunt doar matematice modele și deci niciunul nu este mai real. Nici sistemul nu își alege traiectoria, nici viitorul nu determină cea mai mică cale de acțiune. Non-localitatea QM duce la îndoieli similare.
• În mod uimitor, există acum un principiu de acțiune minim care funcționează numai cu condițiile inițiale! prl.aps.org/abstract/PRL/v110/i17/e174301
• Iată un versiunea arXiv . Fără a citi articolul în detaliu, miroase a un formalism Keldysh clasic , cf. aceasta și aceasta postările Phys.SE.

În loc să specificăm poziția inițială și impulsul așa cum am făcut în formalismul lui Newton, să reformulăm întrebarea după cum urmează:

Dacă alegem să specificăm pozițiile inițiale și finale: $ \ textbf {Ce cale ia particula?} $

Let” Afirmăm că putem recupera formalismul lui Newton prin următorul formalism, așa-numitul formalism lagrangian sau principiul hamiltonian.

Fiecărei căi ilustrate în figura de mai sus, atribuim un număr pe care îl numim acțiune

$$ S [\ vec {r} (t)] = \ int_ {t_1} ^ {t_2} dt \ left (\ dfrac {1} { 2} m \ dot {\ vec {r}} ^ 2-V (\ vec {r}) \ right) $$

unde acest integrand este diferența dintre energia cinetică și energia potențială.

$ \ textbf {Principiile lui Hamilton susțin}} $: adevărata cale luată de particulă este un extremum al S.

$ \ textbf {Dovadă:} $

1. Schimbați ușor calea:

$$ \ vec {r} (t) \ rightarrow \ vec {r} (t) + \ delta \ vec {r} (t) $$

2. Păstrați punctele finale ale căii fixate :

$$ \ delta \ vec {r} (t_1) = \ delta \ vec {r} (t_2) = 0 $$

3. Luați variația acțiunii $ S $:

în cele din urmă, veți obține

$$ \ delta S = \ int_ {t_1} ^ {t_2} \ left [-m \ ddot {\ vec {r}} – \ nabla V \ right] \ cdot \ delta \ vec {r} $$

Condiția cu care calea pe care am început-o este extrem de acțiune este

$$ \ delta S = 0 $$

care ar trebui să fie valabil pentru toate modificările $ \ delta \ vec {r} (t) $ pe care le facem pe cale. Singurul mod în care acest lucru se poate întâmpla este dacă expresia din $ [\ cdots] $ este zero.Aceasta înseamnă

$$ m \ ddot {\ vec {r}} = – \ nabla V $$

Acum recunoaștem acest lucru ca $ \ textbf {ecuațiile lui Newton} $. A cere ca acțiunea să fie extremizată este echivalent cu a cere ca calea să respecte ecuațiile lui Newton.

Pentru mai multe detalii puteți citi această prelegere pdf.

Sper că vă va ajuta.

Comentarii

• Dacă vedem o particulă constrânsă să se deplaseze pe o sferă, ajungem la căi unul este maxim sau minim. Simt că o particulă urmează calea celei mai mici acțiuni, dar ecuația matematică δS = 0 ne oferă un răspuns ambiguu, dar o anumită parte a acestui răspuns conține o cale cu cea mai mică acțiune. Puteți vedea Arfken și Weber.