Înțelesul spațiului Fock

Să presupunem că aveți un sistem descris de un spațiu Hilbert $ H $ , de exemplu, o singură particulă. Spațiul Hilbert al a două particule care nu interacționează de același tip cu cel descris de $ H $ este pur și simplu produsul tensoric

$$ H ^ 2: = H \ otimes H $$

Mai general, pentru un sistem de $ N $ particule ca mai sus, spațiul Hilbert este

$$ H ^ N: = \ underbrace {H \ otimes \ cdots \ otimes H} _ {N \ text {times}}, $$

cu $ H ^ 0 $ definit ca $ \ mathbb C $ (adică câmpul care stă la baza $ H $ ).

În QFT există operatori care împletesc diferitele $ H ^ N $ s, adică creează și anihilează particule. Exemple tipice sunt operatorii de creare și anihilare $ a ^ * $ și $ a $ . În loc să le definim în termeni de acțiune pe fiecare pereche de $ H ^ N $ și $ H ^ M $ , se poate da o " cuprinzătoare " definiție pe spațiul Hilbert mai mare definit luând suma directă a tuturor -spatii de particule, adica

$$ \ Gamma (H): = \ mathbb C \ oplus H \ oplus H ^ 2 \ oplus \ cdots \ oplus H ^ N \ oplus \ cdots, $$

cunoscut sub numele de spațiul Fock Hilbert din $ H $ și uneori denotat și ca $ e ^ H $ .

Din punct de vedere fizic, definiția generală de mai sus a spațiului Fock este imaterială. Se știe că particulele identice observă statistici definite (para) care vor reduce spațiul Hilbert real (prin simetrizare / antisimetriere pentru cazul bosonic / fermionic etc …).

Comentarii

• Răspuns superb! Aș vrea să scrie manualele QFT astfel.

Răspunsuri grozave, dar doar pentru completare, poate va fi ilustrativ pentru a avea un exemplu.

Să presupunem că $ H ^ 1 $ conține unele stări de particule $ | a \ rangle $, $ | b \ rangle $, etc. Spațiul Fock elimină limitarea pe fiind o singură particulă și este compus din $ H ^ 0 $ (care este unidimensional), $ H ^ 1 $, $ H ^ 2 = H \ otimes H $, etc. permite stări precum

• starea de vid, să-i spunem ket gol $ | \ rangle $,
• toate stările cu particule simple, $ | a \ rangle, | b \ rangle, \ ldots $,
• toate stările cu două particule, $ | aa \ rangle, | ab \ rangle, | ba \ rangle, \ ldots $ (NB că această construcție le consideră distincte),

dar cel mai important

• orice suprapunere a celor de mai sus , cum ar fi $ \ frac {e ^ {i \ pi / 4 }} {\ sqrt2} | \ rangle + \ frac12 | a \ rangle – \ frac12 | aab \ rangle \ otimes \ left (\ frac1 {\ sqrt2} | a \ rangle + \ frac i {\ sqrt2} | b \ rangle \ dreapta) $.

Acest spațiu este în mod inerent infinit-dimensional chiar dacă începeți cu ceva mic ca un qubit. Dacă doriți să vă imaginați rezultatul cu ajutorul unei baze, pur și simplu concatenați listele stărilor de bază ale tuturor componentelor:

$$ \ {| \ rangle, | 0 \ rangle, | 1 \ rangle, | 00 \ rangle, | 01 \ rangle, | 10 \ rangle, | 11 \ rangle, | 000 \ rangle, | 001 \ rangle, \ ldots \} $$

În cea mai banală setare a particulei unice nu are într-adevăr stări distincte, deci $ H ^ 1 $ este unidimensional. Încă are sens să alegeți o stare fiducială $ | {} \ circ {} \ rangle \ în H ^ 1 $ și să construiți spațiul Fock cu bază

$$ \ {| \ rangle =: | 0 \ rangle, | {} \ circ {} \ rangle =: | 1 \ rangle, | {} \ circ {} \ circ {} \ rangle =: | 2 \ rangle, | {} \ circ {} \ circ {} \ circ {} \ rangle =: | 3 \ rangle, \ ldots \}, $$

un exemplu de stare ar putea fi, să zicem, o stare coerentă

$$ | \ alpha \ rangle = \ sum_ {n = 0} ^ {\ infty} \ frac {\ alpha ^ n} {\ sqrt {e ^ {| \ alpha | ^ 2} n!}} | n \ rangle $$

și aveți un exemplu frumos de ce oamenii pot vorbi de excitații ca de „fononi” într-un oscilator armonic, chiar dacă există o singură particulă oscilantă!

Da, da. Construiți un spațiu Hilbert „mare” din cele „mici”, dacă doriți.