Am „probleme cu modelul Ho-Lee pentru rate scurte și diferențierea între modul de găsire a valorilor parametrului liber λ și utilizarea model pentru a prezice ratele viitoare.
Modelul Ho-Lee pentru fiecare pas dintr-un arbore binomial: $$ \ lambda_tdt + \ sigma \ sqrt dt $$
Am citit că pentru a seta parametrul liber la fiecare pas într-un arbore binomial recombinat, setați rata la starea 0 la rata spot curentă (adică: rata spot spot de 1 lună) și găsiți o valoare pentru lambda care, atunci când este conectată la model, va avea ca rezultat rata spot curentă pentru următoarea etapă de timp (de exemplu: începând cu rata spot spot de 1 lună la starea 0 și folosind o etapă de timp de 1 lună, valoarea corectă pentru lambda atunci când este conectată la model va produce rata spot curentă de 2 luni etc.).
Acest lucru mă încurcă. Odată ce „am determinat valoarea lambda pentru fiecare pas din arborele meu, ce intrări schimb pentru a folosi modelul cu coșul meu arborele omial pentru a prezice ratele futures .. adică: o rată de o lună într-o lună, în două luni etc?
În cazul în care descrierea mea nu este „clară, iată o excepție din cartea lui Bruce Tuckman de pe subiect.
… găsiți λ1 astfel încât modelul să producă o rată spot de două luni egală cu cea de pe piață. Apoi găsiți λ2 astfel încât modelul să producă o rată spot de trei luni egală cu cea de pe piață. Continuați în acest mod până când se termină arborele.
Răspunde
Știi că modelul Ho-Lee este reprezentat de ecuațiile diferențiale stochastice \ begin {align} dr_t = \ lambda_t \, dt + \ sigma \, dW_t \ end {align} Pentru a implementa arborele nostru binomial, folosim discretizarea Euler. \ begin {align} r_t = r_ {t- \ Delta t} + \ lambda_ {t- \ Delta t} \, \ Delta t + \ sigma \, \ sqrt {\ Delta t} \, Z \ end {align} unde $ Z $ este o variabilă normală aleatoare standard. Să $ t_0 = 0 < t_1 < … < t $ și extindeți ecuația, în timp discret \ begin {align} r_t = r_0 + \ Delta t \ sum_ {t_0 \ leq t_i \ leq t- \ Delta t} \ lambda_ {t_i} + \ sigma \ Delta t \ sum_ {t_0 \ leq t_i \ leq t- \ Delta t} \ \, Z \ end {align} Această relație arată că rata scurtă este suma unui set de termeni de derivă nestocastici și a unui set de termeni aleatori . Prețul obligațiunilor cu cupon zero fără arbitraj $ P (t, t + \ Delta t) $ va fi astfel declarat ca
\ begin {align} P (0, t_n) = E ^ Q \ left [ exp \ left (- \ Delta t \, \ sum_ {i = 0} ^ {n-1} r (t_i) \ right) \ right] \ end {align} De exemplu, calcularea prețului obligațiunii la momentul $ n = 2 $, ne oferă: \ begin {align} P (0, t_2) = E ^ Q [\ Delta t \, exp (-r_ {t_0} -r_ {t_1})] = e ^ {- \ Delta t \, r_ {t_0}} E ^ Q [e ^ {- \ Delta t \, r_ {t_1}}] \ end {align} cu alte cuvinte \ begin {align} P (0, t_2) = e ^ {- \ Delta t \, r_ {t_0}} \, exp \ left (- \ De lta t \, E ^ Q [r_ {t_1}] + \ frac {1} {2} \ Delta t \, Var ^ Q [r_ {t_1}] \ right) \ end {align} În acest caz, $ r_t $ are o distribuție normală, astfel \ begin {align} \ ln P (0, t_2) = – \ Delta t \, r_ {t_0} – \ Delta t \, r_ {t_0} – \ Delta t \ lambda_0 \, + \ frac {1} {2} \ sigma ^ 2 (\ Delta t) ^ 2 = -2 \ Delta t \, r_ {t_0} – \ lambda_0 \, \ Delta t + \ frac {1} {2} \ sigma ^ 2 (\ Delta t) ^ 2 \ \ end {align} Dar \ begin {align} \ ln P (0, t_2) = \ Delta t \, [- f (0,0) -f (0, t_1)] \ end {align} Poate fi rescris ca: \ begin {align} -r_ {t_0} -f (0, t_1) = – 2r_ {t_0} – \ lambda_0 \ t + \ frac {1} {2} \ sigma ^ 2 \ Delta t \ \ end {align} apoi \ begin {align} \ lambda_ {t_0} = f (0, t_1) -r_ {t_0} + \ frac {1} {2} \ sigma ^ 2 \ Delta t \ \ end {align} Această relație oferă relațiile recursive necesare pentru a evolua modelul Ho-Lee fără arbitraj al ratelor scurte. Luăm un set de prețuri ale obligațiunilor și structura volatilităților ca element de intrare pentru ratele scurte. Prin urmare, obținem ecuația evolutivă pentru a descrie arborele binomial al modelului.
Comentarii
- Vă mulțumim pentru răspuns, deși ' este peste nivelul meu de înțelegere. Pur și simplu, înțeleg că scopul modelului este de a modela ratele viitoare. Am ' am citit că setăm parametrii liberi la fiecare pas din arbore astfel încât modelul să scape ratele spot curente. Dacă așa știm că modelul este calibrat, ce intrări aș schimba pentru a-l putea folosi pentru a modela ratele viitoare?